矩形的判定定理 (3)(精品).ppt

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1、八年级数学八年级数学下下 新课标新课标冀冀教教第二十二章第二十二章 四边形四边形 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考门窗、方砖、数学教科书等都是什么图形?一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生日的小华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给小华,在里面摆放她们三个人的相片,为了相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法知道拿的就是矩形相框呢?活动活动1矩形的判定矩形的判定(一一)用上、下一样长，左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做成一个木条框一定是矩形吗?如果不是,还要满足什么条件呢?有一个角是直角的平行四边形是矩

2、形可以作为判定平行四边有一个角是直角的平行四边形是矩形可以作为判定平行四边形是否是矩形的方法形是否是矩形的方法,这种方法就是矩形的定义法这种方法就是矩形的定义法.矩形的判定矩形的判定(二二)如图所示的是一个平行四边形的木条框,拉动一对不相邻的顶点时,平行四边形的形状会发生变化.(1)随着的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化?当由小变大时,其中一条对角线变长,而另一条对角线变短;当是直角时,两条对角线的长度相等.(2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想?矩形的判定方法:两条对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图所示,在ABCD中,AC=BD.求证AB

3、CD是矩形.证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC.在ABD和BAC中,AD=BC,AB=BA,AC=BD.ABDBAC.DAB=CBA.又ADBC,DAB+CBA=180.DAB=CBA=90.ABCD是矩形.活动活动3矩形的判定矩形的判定(三三)想一想:矩形的四个角是直角,反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢?结论:“有三个角是直角的四边形是矩形”.知识拓展(1)由四边形直接判定矩形的方法是:有三个角是直角的四边形是矩形.(2)由平行四边形判定矩形的方法有:有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.(教材第138页例2)已知:如

4、图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为OA,OB,OC,OD的中点.求证四边形EFGH是矩形.证明:四边形ABCD是矩形,AC=BD,且OA=OC,OB=OD.OA=OC=OB=OD.又E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,OE=OG=OF=OH.四边形EFGH是平行四边形.又EG=OE+OG=OF+OH=HF.四边形EFGH是矩形.想一想:在上述问题中,如果四边形ABCD是平行四边形,那么四边形EFGH是平行四边形吗?1.矩形的判定方法:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)对角线相等的平行四边形是矩形.课堂小结课堂小结2.判定

5、一个四边形是矩形的方法与思路是:检测反馈检测反馈1.如图所示,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是()A.AB=BE B.DEDCC.ADB=90 D.CEDE解析:四边形ABCD为平行四边形,ADBC,且AD=BC.又AD=DE,DE=BC,四边形BCED为平行四边形.选项A,AB=BE,DE=AD,BDAE,DBCE为矩形;选项B,DEDC,EDB=90+CDB90,四边形DBCE不能为矩形;选项C,ADB=90,EDB=90,DBCE为矩形;选项D,CEDE,CED=90,DBCE为矩形.故选B.B2

6、.(2016黑龙江中考)如图所示,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.请你添加一个条件为,使四边形DBCE是矩形.解析:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,且AD=BC,DEBC,又DE=AD,DE=BC,四边形DBCE为平行四边形.又EB=DC,四边形DBCE是矩形.故填EB=DC.EB=DC3.木工师傅做了一张桌面,要求为矩形,现量得桌面的长为60 cm,宽为32 cm,对角线长为66 cm,这个桌面(填“合格”或“不合格”).解析:根据勾股定理求出桌面的对角线长为68 cm.故填不合格.不合格4.如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边

7、的中点,要使四边形EFGH为矩形,四边形ABCD应具备的条件是.解析:连接BD,AC.H,G分别是AD,CD的中点,HG是DAC的中位线,HGAC,同理可得EFAC,HEBDFG.四边形EHGF是矩形,FEH=EHG=HGF=EFG=90,DBAC.故填对角线互相垂直.对角线互相垂直5.在ABC中,D是BC边的中点,E,F分别在AD及其延长线上,CEBF,连接BE,CF.(1)求证BDFCDE;(2)若DE=BC,试判断四边形BFCE是怎样的四边形?并证明你的结论.解析解析:(1)由CEBF得出CED=BFD,根据“AAS”推出BDFCDE;(2)根据三角形全等得出DE=DF,根据BD=DC推

8、出四边形BFCE是平行四边形,求出BEC=90,根据矩形的判定定理即可推得结论.证明证明:(1)CEBF,CED=BFD.D是BC边的中点,BD=DC.在BDF和CDE中,BDFCDE(AAS).解:(2)四边形BFCE是矩形.证明:BDFCDE,DE=DF.BD=DC,四边形BFCE是平行四边形.BD=CD,DE=BC,BD=DC=DE,BEC=90,平行四边形BFCE是矩形.6.如图所示,在ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,以AB,BD为邻边作ABDE,连接AD,EC.求证四边形ADCE是矩形.解析解析:由等腰三角形“三线合一”的性质得出ADBC,BD=CD,ADC=90,从而由平行

9、四边形的性质得出AEBD,AE=BD,从而得出AECD,AE=CD,证出四边形ADCE是平行四边形,即可得出结论.证明:AB=AC,D为BC边的中点,ADBC,BD=CD,ADC=90.四边形ABDE是平行四边形,AEBD,AE=BD,AECD,AE=CD,四边形ADCE是平行四边形.又ADC=90,四边形ADCE是矩形.7.如图所示,在ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MNBC,设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F.(1)求证OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?解析:(1)根据MNBC,CE平分ACB,CF平分ACD,得到相等的角,再由等

10、角对等边即可证得OE=OF;(2)根据矩形的性质可知矩形的对角线互相平分,即AO=CO,OE=OF,故当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.证明:(1)MNBC,OEC=ECB.CE平分ACB,BCE=ACE,OEC=ACE.OE=OC.同理可证OC=OF.OE=OF.解:(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:AO=CO,OE=OF,四边形AECF是平行四边形.ECA+ACF=ACB+ACD,ECF=90,四边形AECF是矩形.8.如图所示,BD是ABCD的对角线,E,F分别为BD上两点,AC交BD于点O.(1)请你添加一个条件,使得ABECDF,并证明;(

11、2)在问题(1)中,当AC与EF满足什么条件时,四边形AECF是矩形,请说明理由.解析解析:(1)根据平行四边形的性质得一组边相等、一组角相等,然后找到另外一组相等的角或相等的边即可证明全等;(2)首先得到四边形AECF是平行四边形,然后利用对角线相等的平行四边形是矩形即可判定.解:(1)(答案不唯一)添加条件BE=DF即可证得ABECDF.证明如下:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABCD,ABD=CDB.在ABE和CDF中,ABECDF.(2)当AC=EF时,四边形AECF是矩形.理由如下:四边形ABCD是平行四边形,BAC=DCA.由ABECDF知BAE=DCF,AE=CF,EA

12、O=FCO,AECF.四边形AECF是平行四边形.AC=EF,四边形AECF是矩形.9.已知:如图所示,BE,BF分别是ABC与它的邻补角ABD的平分线,AEBE,垂足为点E,AFBF,垂足为点F,EF分别交边AB,AC于点M和N.求证:(1)四边形AFBE是矩形;(2)MN=BC.解解析析:(1)由BE,BF分别是角平分线可得EBF=90,进而由条件中的两个垂直可得两个直角,可得四边形AEBF是矩形;(2)由矩形的性质定理可得2=5,利用角平分线的定义可得1=2,所以5=1,所以MEBC,进而可得N为AC的中点,根据三角形的中位线定理即可证明.证明证明:(1)BE,BF分别是ABC与它的邻补角ABD的平分线,1=2,3=4.1+2+3+4=180,2+3=90.AEBE,AFBF,AFB=AEB=90,四边形AEBF为矩形.(2)四边形AEBF为矩形,BM=MA=ME,2=5.2=1,1=5.MEBC.M是AB的中点,N为AC的中点,MN=BC.