二次函数与最值问题.doc

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1、二次函数与最值问题二次函数与最值问题1。如图，二次函数y=x22(m2）x3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0)，抛物线的顶点为D。（)求m的值及顶点D的坐标；()当axb时,函数y的最小值为,最大值为4，求a，b应满足的条件;（）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解:（）把A(3，0）代入y=x22(m2)x3,得96（m2)3=0,解得m=3,则二次函数为y=x22x3，y=x22x3=（x1)24，顶点D的坐标为（1，4);()把y=代入y=x22x3中，得=x22x3，解得x1=,x2=

2、,又函数y的最大值为4,顶点D的坐标为（1,4），结合图象知a1。当a=时，1b，当a1时，b=;（)存在点P，使得PDC是等腰三角形,当x=0时,y=3,点C坐标为(0，3)。当PDC是等腰三角形时,分三种情况：如解图,当DC=DP时,由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,点P坐标为(2,3）;如解图,当PC=PD时，则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P,过点D作x轴的平行线交y轴于点H,过点P作PMy轴于点M，PNDH的延长线于点N,HD=HC=1，PC=PD,HP是线段CD的垂直平分线。HD=HC，HPCD,HP平分MHN，PMy轴于点M，PNHD的

3、延长线于点N，PM=PN。设P(m,m22m3)，则m=4(m22m3)，解得m=,点P的坐标为（，）（解图中未标记此点)或(，)；如解图，当CD=CP时,点P在y轴左侧，不符合题意.综上所述，所求点P的坐标为（2，3)或(，）或(，)。 图 图 图 第1题解图2.已知抛物线y=ax2bxc（a0)过(m，b），（m1,a）两点，（)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;(）若ba，求m的取值范围；（）当ba,m0时，二次函数y=ax2bxc有最大值2，求a的最大值。解：(）m=1，c=1，抛物线的解析式为y=ax2bx1(a0)过(1,b),（2,a）两点，解得,抛物线的解析式为y=x2x1；

4、（)依题意得,由得b=am，ba，ama,a0，m1;(） 由(）得b=am,代入得am2am2c=b,c=b=am，ba,m0,1m0，二次函数y=ax2bxc有最大值2，=2，=m24m,= (m2)24，1m0,3（m2）240,a,a的最大值为。3。平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx22m2x2交y轴于A点,交直线x=4于B点。(）求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示）;（）若ABx轴,求抛物线的解析式；（)若抛物线在A，B之间的部分任取一点P(xp，yp）,一定满足yp2,求m的取值范围.解:()由抛物线的对称轴公式可得x=m,抛物线的对称轴为直线x=m;()当x=0时，y=mx

5、22m2x2=2, 点A(0,2).ABx轴，且点B在直线x=4上，点B(4,2）,抛物线的对称轴为直线x=2,m=2,抛物线的解析式为y=2x28x2;（)当m0时,如解图,A(0，2)，要使0xp4时，始终满足yp2,只需使抛物线y=mx22m2x2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧。m2;当m0时,如解图，m0时，yp2恒成立。综上所述，m的取值范围为m0或m2。 第3题解图4。已知抛物线y=ax2bxc的顶点为（2，5）,且与y轴交于点C(0，1）。()求抛物线的表达式；(）若1x3，试求y的取值范围;（)若M（n24n6,y1)和N(n2n，y2）是抛物线上的不重合的两点,

6、试判断y1与y2的大小,并说明理由.解:()抛物线y=ax2bxc的顶点为（2，5），设抛物线的表达式为：y=a（x2)25,把（0，1）代入得：a(02）25=1，a=1，抛物线的表达式为：y=（x2)25=x24x1;（）抛物线的顶点为(2，5）,a=1,对称轴为直线x=2，且1x3,当x=1时,y有最小值,最小值为y=（12）25=4,当x=2时，y有最大值,最大值为y=5,y的取值范围是4y5；()n24n6=(n2)222，n2n=（n）222,点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,N(n2n,y2）, 点N关于对称轴对称的点坐标为(n2n,y2)，在抛物线对称轴右侧,y随

7、x的增大而减小,当n24n6n2n时,即n时,y1y2；当n24n6=n2n时，即n=时,y1=y2;当n24n6n2n时,即n时,y1y2.5。已知抛物线y=ax2bxc与直线y=mxn相交于两点，这两点的坐标分别是（0,)和(mb， m2mbn),其中a，b,c,m,n为实数，且a,m不为0.(）求c的值；（)求证:抛物线y=ax2bxc与x轴有两个交点;（）当1x1时,设抛物线y=ax2bxc上与x轴距离最大的点为P(x0，y0），求这时|y0|的最小值. 解:()把点（0,)代入抛物线，得：c=；()把点(0，)代入直线得：n=.把点(mb,m2mbn）代入抛物线，得：a(mb)2b(

8、mb）c=m2mbnc=n=，a（mb)2b(mb）=m2mb,am22abmab2bmb2m2mb=0，（a1)m2（a1）2bm（a1)b2=0,(a1）(m22bmb2)=0，(a1）（mb)2=0,若mb=0,则(mb,m2mbn)与(0,)重合，与题意不合,a=1,抛物线y=ax2bxc=x2bx，b24ac=b24(）=b220，抛物线y=ax2bxc与x轴有两个交点;（）y=x2bx，顶点(,），设抛物线y=x2bx在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h，当1时,即b2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0)，H|=y0=b，在x

9、轴下方与x轴距离最大的点是(1，y0),|h|=y0=b|=b，H|h，这时|y0的最小值大于,当10时,即0b2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，y0）,|H|=y0=b,当b=0时等号成立，在x轴下方与x轴距离最大的点是（，），h|=,当b=0时等号成立,这时y0的最小值等于，当01，即2b0时,在x轴上方与x轴距离最大的点是（1,y0),H|=y0=1(1）b=|b=b,在x轴下方与x轴距离最大的点是(,)，|h=|y0|=,这时y0的最小值大于;当1时，即b2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，y0）,|H=b,在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0),|h|=|b=(b）

10、，Hh,这时y0|的最小值大于,综上所述：当b=0,x0=0时，这时|y0取最小值为。6.在平面直角坐标系中，直线l:y=x3与x轴交于点A,抛物线C：y=x2mxn的图象经过点A.（)当m=4时，求n的值；（)设m=2，当3x0时，求二次函数y=x2mxn的最小值；（)当3x0时,若二次函数y=x2mxn时的最小值为4,求m、n的值。解:()当y=x3=0时,x=3，点A的坐标为（3，0）。二次函数y=x2mxn的图象经过点A,0=93mn,即n=3m9，当m=4时，n=3m9=3;(）抛物线的对称轴为直线x=,当m=2时，对称轴为x=1,n=3m9=15,当3x0时，y随x的增大而减小,

11、当x=0时，二次函数y=x2mxn取得最小值，最小值为15.(）当对称轴3,即m6时,在3x0范围内，y随x的增大而增大,当x=3时,y取得最小值0,不符合题意；当30，即0m6时,在3x0范围内，x=时，y取得最小值，二次函数最小值为4,解得：或(舍去)，m=2,n=3；当0,即m0时，在3x0范围内，y随x的增大而减小，当x=0时,y取最小值,即n=4，解得:(舍去）.综上所述：m=2，n=3。 7.在平面直角坐标系中,抛物线y=x22xc（c为常数）的对称轴为x=1。(）当c=3时,点(x1,y1)在抛物线y=x22xc上,求y1的最小值;(）若抛物线与x轴有两个交点，点A在点B左侧,且

12、OA=OB,求抛物线的解析式;(）当1x0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.解：（)当c=3时，抛物线为y=x22x3，抛物线开口向上,有最小值，y最小值=4，y1的最小值为4；（）抛物线与x轴有两个交点，当点A、B都在原点的右侧时，如解图,设A(m，0），OA=OB，B（2m，0)，二次函数y=x22xc的对称轴为x=1,由抛物线的对称性得1m=2m1,解得m=，A（,0)，点A在抛物线y=x22xc上,0=c，解得c=，此时抛物线的解析式为y=x22x;当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时，如解图，设A（n,0)，OA=OB，且点A、B在原点的两侧,B（2n,0）,由抛

13、物线的对称性得n1=2n1，解得n=2，A(2，0），点A在抛物线y=x22xc上，0=44c，解得c=8，此时抛物线的解析式为y=x22x8，综上，抛物线的解析式为y=x22x或y=x22x8;()抛物线y=x22xc与x轴有公共点,对于方程x22xc=0，判别式b24ac=44c0,c1.当x=1时，y=3c；当x=0时，y=c,抛物线的对称轴为x=1,且当1x0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，3c0且c0，解得3c0，综上,当1x0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点时，c的取值范围为3c0. 第7题解图8。已知抛物线y=(m1）x2(m2)x1与x轴交于A、B两点.（）求m的取值范围

14、；（）若m0,且点A在点B的左侧,OA：OB=3：1,试确定抛物线的解析式；（)设（)中抛物线与y轴的交点为C,过点C作直线lx轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象。当直线yxb与新图象只有一个公共点P（x0,y0）且y05时，求b的取值范围.解：（)抛物线y=（m1）x2（m2)x1与x轴交于A、B两点,，由得m1,由得m0,m的取值范围是m0且m1；（)点A、B是抛物线y=（m1）x2（m2）x1与x轴的交点,令y=0,即(m1）x2（m2)x1=0.解得x1=1,x2。m0,10。点A在点B左侧,点A的坐标为（1,0），点B的坐标为(，0).

15、OA=1,OB=。OA:OB=3：1,.m2.抛物线的解析式为y3x24x1。（）点C是抛物线y3x24x1与y轴的交点，点C的坐标为（0，1）.依题意翻折后的图象如解图所示。令y=5,即3x24x15.解得x1=,x2=2.新图象经过点D(2，5).当直线yxb经过D点时，可得b=7。当直线yxb经过C点时，可得b=1。当直线yxb（b1）与函数y3x24x1的图象仅有一个公共点P（x0，y0）时，得x0b3x024x01.整理得3x023x0b10.由3212（b1）=12b3=0，得b.结合图象可知，符合题意的b的取值范围为7b1或b。 第8题解图9.如图,已知c0,抛物线y=x2bxc

16、与x轴交于A(x1，0），B(x2,0）两点(x2x1）,与y轴交于点C。()若x2=1,BC=,求函数y=x2bxc的最小值；（)过点A作APBC，垂足为P（点P在线段BC上),AP交y轴于点M.若=2，求抛物线y=x2bxc顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.第9题图解：(）x2=1，OB=1,BC=，OC=2，C(0，2)，把B(1，0），C（0,2）代入y=x2bxc，得:0=1b2，解得:b=1,抛物线的解析式为：y=x2x2。转化为y=（x）2；函数y=x2bxc的最小值为；()OAMOBC=90,OCBOBC=90，OAM=OCB,又AOM=BOC=90，AOMCOB,，OC=OB=2OB，c0,x20,c=2x2,即x2=。x22bx2c=0,将x2=代入化简得:c=2b4.抛物线的解析式为:y=x2bxc,其顶点坐标为（，）。令x=，则b=2x。y=c=2b4=4x4x2，满足点P在线段BC上的x最小取值，使P、C、M重合，此时C（0，c），B（，0),A(2c,0)，根据根与系数的关系，对于x2bxc=0,b=2c=c，由c=2b4，解得c=1,所以b=c=，x=；所以自变量x的取值范围x顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为：y=x24x4(x).