复变函数习题解答(第1章).doc

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1、复变函数习题解答(第1章)p44第一章习题(一） 13, 16， 17 ， 2013. 试证arg z （ -p 0,D2 = zC | Im（z） 0，D3 = zC | Im（z) 0(1) 首先,f(z)在原点无定义，故f（z)在原点处不连续(2） 设aR，且a 0 上的二元连续函数,故f(z)是D1上的连续函数（3。2） 在D2上，f(z) = arccot(x/y），因arccot(x/y）是(x, y)R2 y 0 上的二元连续函数，故f(z)是D2上的连续函数(3。3) 在D3上，f（z） = arccot(x/y） - p，因arccot（x/y） - p是(x， y）R2 y

2、 0 上的二元连续函数,故f（z)是D3上的连续函数（4) 最后证明f(z)是D = C zC Im（z) = 0，Re（z） 0上的连续函数aD，因为D = D1 D2 D3，故存在k （k = 1， 2， 3)，使得aDk因Dk是开集故存在r 0，使得Ur（a） = zC | | z a | r Dk根据(3)，f（z）在Dk上是连续的,故e 0，$h 0，使得 zDk，当 z a | h时,| f（z） - f(a） e设d = min r, h ，则 zD,当| z a d时，zUr(a） Dk，又因| z a d h,故必有| f(z) - f(a) | e所以,f在a处连续由a的任

3、意性，f（z)是上的连续函数连续性部分的证明可以用几何的方法,而且写起来会简单些但我们之所以选择这个看起来很复杂的方法，是可以从这里看出q(z) = arg（z）作为(x, y）的二元函数，在D1， D2， D3上都有很明显的可导的表达式，因此它在区域D上不仅是连续的，而且是连续可导二元函数：qx = y/(x2 + y2)，qy = - x/（x2 + y2）证明中的第四部分并不是多余的，这是因为若f在两个集合A， B上都连续(即使它们有公共的部分)，一般说来，并不能保证f在两个集合AB上也连续问题：若f在区域A， B上都连续，且A B ，问f在AB上是否必连续？16。 试问函数f(z） =

4、 1/（1 z )在单位圆| z | 1内是否连续？是否一致连续？【解】(1） f(z)在单位圆| z 1内连续因为z在C内连续，故f(z） = 1/（1 z ）在C1内连续(连续函数的四则运算)，因此f（z）在单位圆 z | 1内连续(2） f(z)在单位圆 z 1内不一致连续令zn = 1 1/n,wn = 1 1/（n + 1）,nN+则zn, wn都在单位圆 z 1内， zn - wn | 0，但 f（zn) - f(wn） = n - (n + 1) = 1 0,故 f(z）在单位圆 z 1内不一致连续也可以直接用实函数f(x） = 1/(1 x )在(0， 1）不一致连续来说明，只

5、要把这个实函数看成是f（z)在E = zC Im(z） = 0, 0 Re(z) N，有 zn - z0 e此时有| xn - x0 | | zn - z0 | e； yn - y0 | zn - z0 | e故实数列xn及yn分别以x0及y0为极限（） 若实数列xn及yn分别以x0及y0为极限，则e 0，$N1N+，使得n N1，有| xn - x0 N2，有| yn - y0 | e/2令N = maxN1， N2，则n N,有n N1且n N2，故有| zn - z0 = | (xn - x0） + i （yn - y0） | xn - x0 | + | yn - y0 | e/2 +

6、e/2 = e所以，复数列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0为极限20. 如果复数列zn合于lim n zn = z0 ，证明lim n （z1 + z2 + .。 + zn)/n = z0当z0 时，结论是否正确？【解】(1) e 0,$KN+，使得n K，有| zn - z0 L,有M/n e /2令N = maxK， L，则当n K时,有 （z1 + z2 + 。. + zn)/n - z0 M/n + e /2 e /2 + e /2 = e所以,lim n （z1 + z2 + 。 + zn)/n = z0（2) 当z0 时,结论不成立这可由下面的反例看出例：

7、zn = (-1）n n,nN+显然lim n zn = 但kN+，有（z1 + z2 + 。. + z2k)/(2k) = 1/2，因此数列（z1 + z2 + 。. + zn）/n不趋向于这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同,甚至反例都是一样的p45第一章习题(二) 6， 8， 9, 11, 12 6. 设 z = 1，试证： (a z + b）/(b* z + a* ） | = 1(z*表示复数z的共轭)【解】此题应该要求b* z + a* 0 a z + b | = | (a z + b）* = | a z* + b* = | a z + b | z | = | (a* z +

8、b*） z = a z z + b* z = | a* z |2 + b* z | = b* z + a* 故 (a z + b)/(b z + a* ） | = 18。 试证：以z1， z2， z3为顶点的三角形和以w1， w2， w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为= 0【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的）旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形（注意没有反射变换)例如我们将采用下述的观点来证明:以z1, z2， z3为顶点的三角形和以w1, w2， w3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转记

9、f1（z) = z - z1 (将z1变到0的平移）；f3（z） = z - w1 (将0变到w1的平移)；那么,三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似存在某个绕原点的旋转位似变换f2(z） = z0 z，使得f2 （ f1(zk）) = f3(wk)，(k = 2, 3）,其中z0C0存在z0C0，使得z0（zk - z1） = wk - w1，（k = 2, 3）(w2 - w1)/（z2 - z1) = （w3 - w1）/（z3 - z1)= 0= 0= 0证完9。 试证：四个相异点z1, z2, z3， z4共圆周或共直线的充要条件是（z1 z4）/（z1 z2） ： （z3

10、 z4）/(z3 z2)为实数【解】在平面几何中，共线的四个点A， B, C, D的交比定义为(A, B; C， D） = (AC/CB） : (AD/DB)这是射影几何中的重要的不变量类似地，在复平面上，（不一定共线的）四个点z1, z2, z3， z4的交比定义为z1z2， z3z4 = (z1 z3）/（z2 z3） ： (z1 z4）/（z2 z4）本题的结论是说:复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数（) 分两种情况讨论（1） 若(z1 z4)/（z1 z2)为实数，则(z3 z4）/(z3 z2)也是实数设(z1 z4）/(z1 z2） = t，tR则z4 = (1 t）

11、z1 + t z2，故z4在z1， z2所确定的直线上，即z1， z2, z4共线因此,同理,z1, z2, z3也共线所以，z1， z2, z3, z4是共线的（2） 若(z1 z4）/(z1 z2）为虚数，则(z3 z4)/(z3 z2）也是虚数故Arg （(z1 z4)/（z1 z2) kp，Arg （(z3 z4)/（z3 z2) kp而Arg (（z1 z4）/（z1 z2)） Arg （(z3 z4)/（z3 z2)= Arg (z1 z4)/（z1 z2) ： （z3 z4）/（z3 z2)） = kp注意到Arg （(z z4)/(z z2)） = Arg (（z4 z)/（z

12、2 z）是z2 z到z4 z的正向夹角,若Arg （(z1 z4）/（z1 z2） = Arg （z3 z4)/(z3 z2)）,则z1， z3在z2, z4所确定的直线的同侧，且它们对z2, z4所张的角的大小相同，故z1， z2， z3， z4是共圆的若Arg (z1 z4）/(z1 z2)） = Arg (z3 z4）/(z3 z2) + p,则z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，且它们对z2， z4所张的角的大小互补，故z1， z2， z3, z4也是共圆的(） 也分两种情况讨论（1) 若z1， z2， z3， z4是共线的，则存在s, tR0， 1,使得z4 = （1 s)

13、z3 + s z2,z4 = （1 t)z1 + t z2，那么，z3 z4 = s (z3 z2),即(z3 z4）/（z3 z2) = s；而z1 z4 = t (z1 z2)，即(z1 z4）/（z1 z2） = t，所以，（z1 z4）/(z1 z2） ： (z3 z4)/(z3 z2) = t/sR(2) 若z1, z2， z3, z4是共圆的,若z1， z3在z2， z4所确定的直线的同侧，那么，Arg (（z4 z1)/(z2 z1)） = Arg (（z4 z3）/（z2 z3)）因此(z4 z1）/（z2 z1) : （z4 z3)/（z2 z3)是实数也就是说(z1 z4）

14、/(z1 z2) : (z3 z4）/（z3 z2)是实数若z1， z3在z2, z4所确定的直线的异侧，则Arg (z4 z1）/（z2 z1) + Arg （(z2 z3)/（z4 z3）) = (2k + 1）p，故Arg (（z1 z4）/(z1 z2) ： （z3 z4)/(z3 z2）)= Arg (z1 z4）/(z1 z2） Arg (（z3 z4)/（z3 z2）= Arg （z1 z4）/(z1 z2)） + Arg (z3 z2）/(z3 z4）)= Arg （z4 z1)/（z2 z1)） + Arg (z2 z3)/(z4 z3)） = （2k + 1）p，所以,（z

15、1 z4)/（z1 z2) ： （z3 z4）/(z3 z2)仍为实数证完这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法11. 试证：方程| z - z1 /| z - z2 | = k ( 0 k 1，z1 z2 ）表示z平面的一个圆周,其圆心为z0，半径为r,且z0 = （z1 - k2 z2)/(1 - k2），r = k | z1 - z2|/ 1 - k2 |【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆设0 0 | (1 - z）/（1 + z） 0 点z在y轴右侧 点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分

16、线的右侧 点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧 点z到点-1的距离大于点z到点1的距离 |1 + z 1 - z | | (1 - z)/(1 + z） | 1 - z 2 1 + z2 + 2Re(z） 1 + z2 - 2Re(z） Re(z） 0由本题结论，可知映射f（z） = （1 - z)/（1 + z）必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点并且容易看出，映射f（z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点问题:f（z）在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射?f（z）在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？$-abcdefghijklmnopqrstuvwxyz FY NZQSDPTEHRCK#DSGFLWmN+，$mN+, a1， a2, .。， an lim n，+ne 0， un， n 1 un,mR，e 0,$d 0，【解】0， 2p l 2 dx,f（x） = （-, +)-p， p1 k n un,0, 2p10