四边形压轴专题训练.doc

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1、四边形压轴专题训练四边形压轴专题训练参考答案与试题解析1（2015临沂)如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE(1）请判断：AF与BE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直；(2)如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF,ED=FC，第（1)问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断【解答】解:（1）AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AFBE答案是：相等，互相垂直；（

2、2）结论仍然成立理由是：正方形ABCD中，AB=AD=CD,在ADE和DCF中，ADEDCF，DAE=CDF,又正方形ABCD中，BAD=ADC=90，BAE=ADF，在ABE和ADF中，,ABEADF，BE=AF，ABM=DAF，又DAF+BAM=90,ABM+BAM=90，在ABM中,AMB=180(ABM+BAM)=90,BEAF;（3）第（1）问中的结论都能成立理由是:正方形ABCD中,AB=AD=CD，在ADE和DCF中，ADEDCF，DAE=CDF，又正方形ABCD中，BAD=ADC=90,BAE=ADF，在ABE和ADF中，,ABEADF，BE=AF，ABM=DAF，又DAF+B

3、AM=90，ABM+BAM=90，在ABM中,AMB=180（ABM+BAM)=90，BEAF2（2014绵阳)如图1,矩形ABCD中，AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE(1）求证：DECEDA；（2）求DF的值；(3）如图2,若P为线段EC上一动点,过点P作AEC的内接矩形,使其顶点Q落在线段AE上,定点M、N落在线段AC上,当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值【解答】(1）证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA，在ADE与CED中,DECEDA（SSS）；（2)解:如图1,ACD=BAC，BAC=C

4、AE，ACD=CAE，AF=CF，设DF=x，则AF=CF=4x，在RtADF中，AD2+DF2=AF2，即32+x2=（4x)2，解得：x=,即DF=（3)解：如图2,由矩形PQMN的性质得PQCA又CE=3,AC=5设PE=x（0x3），则，即PQ=过E作EGAC于G,则PNEG,=又在RtAEC中,EGAC=AECE，解得EG=，=，即PN=(3x），设矩形PQMN的面积为S,则S=PQPN=x2+4x=+3（0x3）所以当x=，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为33（2014威海）猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE

5、在边CD上，连接AF，若M为AF的中点,连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论拓展与延伸:（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=ME，DMME(2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立【解答】猜想：DM=ME证明：如图1，延长EM交AD于点H，四边形ABCD和CEFG是矩形，ADEF,EFM=HAM，又FME=AMH,FM=AM，在FME和AMH中，FMEAMH(ASA)HM=EM，在RTHDE中，HM=EM，DM=HM=

6、ME,DM=ME（1）如图1，延长EM交AD于点H，四边形ABCD和CEFG是正方形，ADEF，EFM=HAM，又FME=AMH,FM=AM,在FME和AMH中,FMEAMH(ASA)HM=EM，在RTHDE中，HM=EM，DM=HM=ME,DM=ME四边形ABCD和CEFG是正方形,AD=CD，CE=CF，FMEAMH，EF=AH，DH=DE，DEH是等腰直角三角形，又MH=ME,故答案为:DM=ME，DMME（2）如图2,连接AE，四边形ABCD和ECGF是正方形，FCE=45,FCA=45，AE和EC在同一条直线上，在RtADF中,AM=MF，DM=AM=MF，MDA=MAD,DMF=2

7、DAM在RtAEF中，AM=MF，AM=MF=ME，DM=MEMDA=MAD，MAE=MEA，DME=DMF+FME=MDA+MAD+MAE+MEA=2（DAM+MAE）=2DAC=245=90DMME4（2014潍坊)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF,交点为G（1）求证：AEBF;（2)将BCF沿BF对折，得到BPF（如图2）,延长FP到BA的延长线于点Q，求sinBQP的值;（3）将ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到AHM（如图3），若AM和BF相交于点N,当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积【解答】（1)证明：

8、如图1，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CF=BE，在RtABE和RtBCF中，RtABERtBCF（SAS）,BAE=CBF，又BAE+BEA=90，CBF+BEA=90，BGE=90，AEBF（2）解:如图2，根据题意得,FP=FC,PFB=BFC，FPB=90CDAB，CFB=ABF，ABF=PFB，QF=QB，令PF=k（k0），则PB=2k在RtBPQ中,设QB=x，x2=(xk)2+4k2，x=，sinBQP=（3）解:正方形ABCD的面积为4,边长为2，BAE=EAM，AEBF，AN=AB=2，AHM=90，GNHM，=，=，SAGN=,S四边形GHMN=SAHMS

9、AGN=1=，四边形GHMN的面积是二解答题（共5小题）5(2014海南）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB的平分线分别交BD，BC于点E,F，作BHAF于点H,分别交AC，CD于点G,P,连接GE，GF（1）求证:OAEOBG;（2)试问:四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明;若不是，请说明理由；（3）试求：的值（结果保留根号）【解答】(1)证明:四边形ABCD是正方形，OA=OB，AOE=BOG=90 BHAF，AHG=90，GAH+AGH=90=OBG+AGH，GAH=OBG，即OAE=OBG在OAE与OBG中，OAEOBG（ASA）；（2）四边形BFGE是菱形，理由如下：

10、在AHG与AHB中，AHGAHB（ASA）,GH=BH，AF是线段BG的垂直平分线,EG=EB，FG=FBBEF=BAE+ABE=67.5，BFE=90BAF=67.5BEF=BFE EB=FB，EG=EB=FB=FG，四边形BFGE是菱形；（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEBF的边长为b四边形BFGE是菱形，GFOB，CGF=COB=90，GFC=GCF=45，CG=GF=b，(也可由OAEOBG得OG=OE=ab，OCCG=ab，得CG=b)OG=OE=ab，在RtGOE中,由勾股定理可得：2（ab)2=b2，求得 a=bAC=2a=(2+）b，AG=ACCG=（1+)bPCAB,CG

11、PAGB，=1，由（1）OAEOBG得 AE=GB，=1，即=16（2014衢州)提出问题：（1）如图1,在正方形ABCD中,点E，H分别在BC，AB上，若AEDH于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2)如图2，在正方形ABCD中，点H，E,G，F分别在AB，BC,CD，DA上，若EFHG于点O，探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由；综合运用：(3）在(2)问条件下，HFGE，如图3所示，已知BE=EC=2,EO=2FO，求图中阴影部分的面积【解答】解：(1)四边形ABCD是正方形，AB=DA，ABE=90=DAHHAO+OAD=90AEDH，ADO+OAD=90HAO=ADOABEDA

12、H(ASA），AE=DH（2）EF=GH将FE平移到AM处，则AMEF，AM=EF将GH平移到DN处，则DNGH，DN=GHEFGH，AMDN,根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；（3）四边形ABCD是正方形,ABCDAHO=CGOFHEGFHO=EGOAHF=CGEAHFCGEEC=2AF=1过F作FPBC于P,根据勾股定理得EF=，FHEG,根据(2）知EF=GH，FO=HO，,阴影部分面积为7（2014盘锦）已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DFPG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P

13、逆时针旋转90得到线段PE,连结EF（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时求证：DG=2PC;求证：四边形PEFD是菱形；(2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想【解答】（1）证明：作PMDG于M，如图1，PD=PG,MG=MD,四边形ABCD为矩形,PCDM为矩形，PC=MD，DG=2PC；四边形ABCD为正方形,AD=AB，四边形ABPM为矩形，AB=PM,AD=PM，DFPG,DHG=90，GDH+DGH=90，MGP+MPG=90，GDH=MPG，在ADF和MPG中ADFMPG（ASA)，DF

14、=PG，而PD=PG,DF=PD，线段PG绕点P逆时针旋转90得到线段PE,EPG=90，PE=PG，PE=PD=DF,而DFPG，DFPE，即DFPE，且DF=PE，四边形PEFD为平行四边形，DF=PD，四边形PEFD为菱形；(2）解：四边形PEFD是菱形理由如下：作PMDG于M,如图2,与（1)一样同理可证得ADFMPG，DF=PG,而PD=PG,DF=PD,线段PG绕点P逆时针旋转90得到线段PE，EPG=90,PE=PG，PE=PD=DF而DFPG，DFPE，即DFPE，且DF=PE，四边形PEFD为平行四边形，DF=PD，四边形PEFD为菱形8(2014沈阳）如图1，在菱形ABCD

15、中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合)，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60得到线段AM，连接FM(1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=AM；(3）连接EM，若AEM的面积为40，请直接写出AFM的周长【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，ACBD,OB=OD=BD,BD=24，OB=12，在RtOAB中，AB=13，OA=5(2）如图2，四边形ABCD是菱形，BD垂直平分AC，FA=FC，FAC=FCA，由已知AF=AM

16、，MAF=60，AFM为等边三角形，M=AFM=60，点M，F,C三点在同一条直线上,FAC+FCA=AFM=60，FAC=FCA=30,MAC=MAF+FAC=60+30=90，在RtACM中tanM=，tan60=，AC=AM（3）如图，连接EM，ABE是等边三角形，AE=AB，EAB=60，由（2）知AFM为等边三角形，AM=AF，MAF=60,EAM=BAF，在AEM和ABF中，AEMABF（SAS），AEM的面积为40，ABF的高为AOBFAO=40，BF=16，FO=BFBO=1612=4AF=,AFM的周长为39（2014北海）如图(1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点(E

17、与B、C两点不重合），过点E作射线EPAE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FGBC交BC的延长线于点G（1)求证：FG=BE；（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分DCG；（3)当=时，求sinCFE的值【解答】（1）证明:EPAE，AEB+GEF=90，又AEB+BAE=90,GEF=BAE，又FGBC，ABE=EGF=90,在ABE与EGF中，ABEEGF（AAS)，FG=BE；（2)证明：由（1)知：BC=AB=EG，BCEC=EGEC,BE=CG，又FG=BE,FG=CG，又CGF=90，FCG=45=DCG，CF平分DCG；（3)解：如图，作CHEF于H,HEC=GEF，CHE=FGE=90，EHCEGF，=，根据=，设BE=3a，则EC=a，EG=4a，FG=CG=3a，EF=5a,CF=3a，=，HC=a，sinCFE=第15页（共15页）