完全平方公式(提高)知识讲解.doc

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1、完全平方公式(提高)知识讲解完全平方公式（提高)【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解。2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。【要点梳理】要点一、公式法-完全平方公式两个数的平方和加上（减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方即，.形如，的式子叫做完全平方式。要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减)这两数之积的2倍。 右边是两数的和（或差)的平方。(3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套

2、用公式时要注意字母和的广泛意义,、可以是字母,也可以是单项式或多项式。要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式,先提取公因式;（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法;(3)如用上述方法也不能分解,那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到）要点三、因式分解注意事项(1)因式分解的对象是多项式；（2)最终把多项式化成乘积形式;（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止【典型例题】类型一、公式法-完全平方公式1、分解因式：（1）； （2);（3)； （4)【答案与解析】解:（1)（2）（3)（4）【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常

3、用思路是：提公因式法；运用公式法（2)因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止举一反三：【变式】分解因式：（1）（2)【答案】解：（1）原式（2)原式2、（2016大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3【思路点拨】先提公因式ab,再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算即可得解【答案与解析】解：a3b+2a2b2+ab3 = ab（a2+2ab+b2）= ab（a+b）2将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=232=18故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用,对于式子较复杂的题目不要轻易去括号举

4、一反三:【变式】若，是整数，求证：是一个完全平方数.【答案】解:令上式即类型二、配方法分解因式3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题,如：那该添什么项就可以配成完全平方公式呢?我们先考虑二次项系数为1的情况:如添上什么就可以成为完全平方式？因此添加的项应为一次项系数的一半的平方。那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了。分解因式：.【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.【答案与解析】解:如 【总结升华】配方法,二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方。 二次项系数不是1的时候,转化为二次项系数为1来解决。类型三、完全平方公式的应用4

5、、（2015春娄底期末)先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x22xy+y2=（xy）2及(xy）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+12x4的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式=2(x2+6x2）=2（x2+6x+992）=2（x+3）211=2（x+3）222因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数所以(x+3）2的最小值为0，此时x=3进而2（x+3）222的最小值是2022=22所以当x=3时，原多项式的最小值是22.解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x26x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值【答案与解析】解

6、:原式=3（x22x+4）=3（x22x+11+4）=3(x1)2+9，无论x取什么数，都有（x1）2的值为非负数，（x1）2的最小值为0，此时x=1，3（x1）2+9的最小值为:30+9=9，则当x=1时，原多项式的最小值是9【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质,以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键举一反三：【变式1】若ABC的三边长分别为、，且满足， 求证：。【答案】解： 所以所以所以因为ABC的三边长分别为、，,所以，矛盾,舍去。所以。【变式2】（2015春萧山区期中)若（2015x）(2013x)=2014,则（2015x）2+（2013x）2= 【答案】4032解：（2015x）（2013x）=2014，（2015x)（2013x）2=（2015x)2+(2013x)22（2015x）(2013x)=4,则(2015x）2+（2013x)2=4+22014=4032