2023届广东省大湾区高三第一次联合模拟考试数学试卷含答案.pdf

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1、大湾区联考 数学试题 第 1 页（共 6 页）启用前注意保密2023 届大湾区普通高中毕业班第一次联合模拟考试2023 届大湾区普通高中毕业班第一次联合模拟考试数 学本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、姓名、班级、座位号和准考证号填写在答题卡上，并填涂 10 位准考证号（考号）。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域

2、内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合14Axx，03Bxx，则AB A|14xxB03xxC.13xxD04xx2.复数z满足(1i)2iz(i为虚数单位)，则复数z A1i B1i C1i D1i3.为深入推进“五育”并举,促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛.现通过简单随机抽样获得了22名学生在1分钟内的跳绳个数如下（单位：

3、个）：6977929899100102103115116116122123124127128129134140142143159估计该校学生在 1 分钟内跳绳个数的第65百分位数为 A.124B.125.5C.127D.127.54.图 1 是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高PMh，日影长PNl.图 2 是地球轴截面的示大湾区联考 数学试题 第 2 页（共 6 页）意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬23 26）在某地利用一表高为2dm的圭表按图 1 方式放置后，测得日影长为2

4、.98dm，则该地的纬度约为北纬（参考数据：tan 340.67，tan 561.49）图 1 图 2 A23 26B32 34 C34 D565.函数221sinlnxyxx的图象可能为 A.B.C.D.6.已知F为双曲线:22145xy的左焦点，P为其右支上一点，点A(0,6),则APF周长的最小值为 A.264 B.564 C.266 D.566 7.与正三棱锥 6 条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为62,侧棱长为3,则此正三棱锥的棱切球半径为A.26 B.26 C.3426 D.3426大湾区联考 数学试题 第 3 页（共 6 页）8.设数列na的前n项和为nS

5、,11a，且*1)21(nnSanN.若对任意的正整数n,都 有12132131nnnnna ba ba ba bn成 立,则 满 足 等 式123nnbbbba的所有正整数n为 A.1或3 B.2或3 C.1或4 D.2或4 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知圆C：22(1)(2)25xy,直线l：(21)(1)740mxmym,则 A.直线l过定点(3,1)B.直线l与圆C可能相离 C.圆C被y轴截得的弦长为46 D.圆C被直线l截得的弦长最短时,直线

6、l的方程为250 xy 10.函 数()c o s()0,0,|2fxAxA的 部 分 图 象 如 图 所 示,71101212ff，223f,则下列选项中正确的有 A.()fx的最小正周期为2 3 B.12fx是奇函数 C.()fx的单调递增区间为2 52,()123123kkkZ D.01212fxfx 大湾区联考 数学试题 第 4 页（共 6 页）11.随着春节的临近，小王和小张等 4 位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为61B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王

7、写的贺卡的概率为31C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为31D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为8512.已知正数a，b满足等式22(2 lnln)abba，则下列不等式中可能成立的有 A212ab B212ab C1ab D1ba三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若函数22,0(,0)xxxaxfxxx为奇函数，则a _.14.6xyxy的展开式中34x y的系数为_（用数字作答).15.若sin 23 cos 21sin3 cosxxxx,则cos3x.16.设A,B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点,且2O A.若存在,m nR,使得m A BO

8、A与n ABO B垂直,且()()2m ABO An ABO B,则A B的最小值为 .大湾区联考 数学试题 第 5 页（共 6 页）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10 分)已知等差数列na的各项均为正数.若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数,依次作为123,aaa,且123,aaa中任何两个数都不在同一行.第一列 第二列 第三列 第一行 4 5 11 第二行 3 10 9 第三行 8 7 6(1)求数列na的通项公式；(2)设116(1)(5)nnnbaa，数列nb的前n项和为nT.求证:34nT.18.(12 分)如图,在A

9、BC中,角,A B C的对边分别为,a b c.已知()coscoscos0bcAaBaC.（1）求角A；（2）若D为线段BC延长线上一点,且4C AD,3BDCD,求tanACB.19.(12 分)如 图,三 棱 柱111A B CA B C中,侧 面11A C C A为 矩 形，ABAC且2ABAC，D为11B C的中点,1122AAB C.（1）证明:1AC平面1A B D；（2）求平面1A B C与平面1A A D所成的夹角的余弦值.大湾区联考 数学试题 第 6 页（共 6 页）20.(12 分)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”

10、和“1”是等可能的.记发射信号 1 的次数为X.（1）当6n 时，求(2)P X；（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望()E Y和方差()D Y均存在，则对任意正实数a，有21DYPYEYaa.根据该不等式可以对事件“YEYa”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值.21.(12 分)设抛物线22yx,过点P的直线,PAPB分别与抛物线相切于,A B两点,且点 A在x轴下方，点B在x轴上方.（1）当点P的坐标为(1,2)时,求AB；（2）点C在抛物线上,且在x轴下方，直线BC交x轴于点N.直线AB

11、交x轴于 点M,且43AMBM.若ABC的重心在x轴上,求A B CB M NSS的最大值.22.(12 分)已知函数1()xefxx.（1）讨论()fx的单调性；（2）设,a b是两个不相等的正数，且lnlnabba，证明：ln2abab.高一数学参考答案第 1 页（共 9 页）2023 届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试数学参考答案2023 届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.题号12345678答案BDCBABCA题号12345678答案BDCBABCA二、选择题：本题

12、共 4 小题，每小题 5 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号9101112答案ACADBCAC题号9101112答案ACADBCAC三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.1311451512162 3四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10 分）解答：(1)由题可得1233,7,11aaa，2 分故*34(1)41()nannnN.4 分(2)116(1)(5)nnnbaa且41nan，故1614(4415)(2)nbnnn n 5 分1112

13、2nn.7 分11111111111232435112nTnnnn8 分3111342124nn.10 分高一数学参考答案第 2 页（共 9 页）18.（12 分）解：（）由条件及正弦定理可得(sinsin)cossincossincos0BCAABAC1 分即sincoscossinsincoscossin0BABACACA故sin()sin()0BACA则有sin()sin()BAAC3 分又(,),(,)BACA 故有BAAC，或()()BAAC（舍去），或()()BAAC（舍去）.5 分则2BCA，又ABC所以3A.6 分（）设ACB,在ABD和ACD中,由正弦定理可得,2sin()s

14、in()sin()sin3434BDADCDAD8 分2sin()sin()3sin()sin344BDCD9 分3sinsin()42sin()sin()34310 分3sin3 131cossin22211 分tan96 3 12 分19（12 分）高一数学参考答案第 3 页（共 9 页）解：（）连接11,AB AB交于点O,连接OD2 分111ABCABC为三棱柱11ABB A为平行四边形,点O为1AB的中点又D为11BC的中点1ACOD4 分又111,ODABD ACABD平面平面11ACABD平面.6 分（2）解法 1：解法 1：AAAABAACAABCA11 11 AABBCA面1

15、11 AABBAB面1 CAAB，2222 222211ACCBAB22,2,211BBABAB121212 ABABBBABAB即7 分以A为坐标原点，ACABAB,1分别为zyx,建立空间直角坐标系，(0,0,0)A,1(2,2,0)A,(2,0,0)B,1(0,2,0)B,1(2,2,2)C,(1,2,1)D 1,0,1 0,2,2 11DAAA8 分AACABACABABAB11 CABAB1 面即平面CAB1的一个法向量为0,0,11n9 分高一数学参考答案第 4 页（共 9 页）设平面DAA1的法向量为zyxn,2，则1212022000AA nxyxzAD n 即1,11zyx，

16、令)1,1,1(2n10 分设平面CAB1与平面DAA1所成夹角为，122121 1 0 1 0(1)13cos3311 11n nnn 11 分平面CAB1与平面DAA1所成夹角的余弦值是33.12 分解法 2：解法 2：设点E为BC的中点,点F为AC的中点,连接DE交1BC于点Q,连接,AE AQ EF,设点P为AQ的中点,连接,EP FP.点E为BC的中点,点D为11BC的中点111=22EQBBEQBBQ且,点为1BC的中点11ACC A为矩形，1ACAA又1,ACAB ABAAA，11ACABB A平面7 分1ACAB1ACB 在中,11,2,2 2ACAB ACBC,可得12AB

17、1ABC 为等腰直角三角形,其中112,2 2ACABBC而点Q为1BC的中点，12AQBCAQ且8 分点P为AQ的中点,点F为AC的中点QEPF高一数学参考答案第 5 页（共 9 页）11112242FPBCFPCQBC且FPAQ9 分又RtABC 在中,2ABAC,点E为BC的中点2AEAEQ 在中,2AEEQAQ，且点P为AQ的中点62EPAQEP且EPF 即为平面1ABC与平面1AAD所成的夹角10 分EFP 在中,1261,222EFABFPEP11 分2223cos23EPFPEFEPFEP FP12 分20（12 分）解：（1）由已知1(6,)2XB，2 分所以(2)(0)(1)

18、(2)P XP XP XP X061522466611111161511()()()()2222264646432CCC；5 分（2）由已知1(,)2XB n，所以()0.5E Xn，()0.25D Xn，7 分若0.40.6Xn，则0.40.6nXn，即0.10.50.1nXnn，高一数学参考答案第 6 页（共 9 页）即0.50.1Xnn.8 分由切比雪夫不等式20.2510.5(0.10).1nnnP Xn，10 分要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在 0.4 与 0.6 之间，则20.2510.98(0.1)nn，解得1250n，所以估计信号发射次数n的最小值为 1250.

19、12 分21（12 分）解：（1）令1122(,),(,)A x yB xy，22yx，2yx，1yy，11PAky1111:()PAlyyxxy2 分又(1,2)P 1111111:2(1)(1)2PAlyxyxy 3 分1112111(1)2622yxyyx 4 分同理可得226y .5 分1212122 6,2()4 6yyxxyy ，22221212|()()(4 6)(2 6)2 30ABxxyy.6 分（2）令33(,)C xy，由条件知1230yyy.7 分1sin2(1)(1)1sin2ABCBMNAB BCABCSABBCAMCNSBMBNBMBNBM BNABC8 分高一数

20、学参考答案第 7 页（共 9 页）31313122222(1)(1)1yyyyyyyyyy 213112112222222()222yyyyyyy yyyy2211122219224yyyyyy 10 分4|3|AMBM，12|3|4yAMBMy12304yy 11 分当1212yy 时,ABCBMNSS取得最大值94.12 分22（12 分）解：（1）证明：（1）1()xef xx的定义域为(,0)(0,)1 分121()xxefxx，令()0fx，得：1x，2 分当x变化时()()f xf x，的关系如下表：x(,0)0(0,1)1(1,)()fx0()f x()f x在(,0)，(0,1

21、)上单调递减；在(1,)上单调递增.4 分（2）证明：要证ln2abab，只需证：lnln2abba高一数学参考答案第 8 页（共 9 页）根据lnlnabba，只需证：ln1ba6 分不妨设ab，由lnlnabba得：lnlnaabb；两边取指数，lnlnaabbee，化简得：abeeab7 分令：(),()()xeg xg ag bx则，1()()xe eg xef xx,根据（1）得()g x在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增（如下图所示），由于()g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，要使()()g ag b且ab，则必有01,1ab，即01ab 由0

22、1ab 得：1,1 ln1ba.8 分要证ln1ba，只需证：1 lnba，由于()g x在(1,)上单调递增，要证：1 lnba,只需证：()(1 ln)g bga，9 分又()()g ag b，只需证：()(1 ln)g aga，10 分高一数学参考答案第 9 页（共 9 页）只需证：1 ln1 ln1 lnaaeeeaaaa，只需证：1 lnaeae，只需证：1 ln1aaee，只需证：1 ln10aaee，即证1 ln0aaee，令1 ln(),(01)xxxexe，(1)0，1 ln()aaaee只需证：()0,(01)xx，111()xxxxeexxeexexeex e ，令(),xh xeex(1)0,()0,(01)xhh xeex，()(0,1)h x 在上单调递减，所以()10h xh，所以()0 xxeexxex e 所以()(0,1)x在上单调递减，所以()10 x所以()0a所以：ln2abab.12 分