届湖北省第一次八校联考理科数学试题及答案.pdf

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1、八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 1 页 共 10 页湖北省湖北省 八校八校2015 届高三第一次联考数学试题（理科）命题学校：襄阳五中 出题人：何宇飞 王丹 审题人：丁全华考试时间：2014 年 12 月 11 日下午 15:0017:00 试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 5 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1已知复数R)，若为纯虚数，则aaiz(21iz21221zz|1z AB23 C2D52如图给出的是计算的值的程序框图，其中20141614121L 判断框内应填入的是 A

2、B 2013i2015i C D 2017i2019i3设，则二项式61()a xx展开式中含222cos4axdx 2x项的系数是 AB193192 CD764棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体，其 中一个 几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 A B4 314 C D33105“且”是“”的5a5b0ba A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既非充分条件也非必要条件6已知实数等比数列an的前 n 项和为 Sn，则下列结论中一定成立的 A若，则 B若，则03a02013a04a02014a鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中 学襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一

3、附中八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 2 页 共 10 页 C若，则D若，则03a02013S04a02014S7用表示非空集合 A 中的元素个数，定义若，)(AC)()(),()()()(),()(|BCACACBCBCACBCACBA2,1A ，且，由 a 的所有可能值构成的集合为 S，那么 C(S)等于|32|2axxxB1|BA A1 B2 C3 D48已知 x,y,R，且，则的最小值是z522zyx222)3()1()5(zyx A20 B25 C36 D479已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ，点 R 在直线 PQ 上，且满足，R 在抛物线)(21OQOPOR准

4、 线上的射影为 S，设，是PQS 中的两个锐角，则下列四个式子 1tantan2sinsin1coscos2tan|)tan(|中一定正确的有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10设定义在 D 上的函数在点处的切线方程为，当时，若)(xhy)(,(00 xhxP)(:xgyl0 xx 在 D 内恒成立，则称 P 为函数的“类对称点”，则的0)()(0 xxxgxh)(xhy xxxxfln46)(2 “类对称点”的横坐标是 A1 B Ce D23二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请 将答案填在答题卡对 应题号的位置上，答错位置，书写不清，

5、模棱两可均不得分（一）必考题（1114 题）11随机向边长为 5，5，6 的三角形中投一点 P，则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率是_12已知直线过点，若可行域的外接圆直径为 20，则)0(:nnmyxl)5,35(A003yyxnmyxn=_13已知函数，将 f(x)的图像与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周，则所31,3210,2)(2xxxxxxf得旋转体的体积为_14以(0,m)间的整数N)为分子，以 m 为分母组成分数集合 A1，其所有元素和为 a1；以mm,1(),0(2m 间的整数N)为分子，以为分母组成不属于集合 A1的分数集合 A2，其所有元素和为mm,1(

6、2m a2；，依次类推以间的整数N)为分子，以为分母组成不属于),0(nmmm,1(nmA1，A2，的分数集合 An，其所有元素和为 an；则=_1nAnaaaL21八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 3 页 共 10 页(二）选考题(从两个小题中选择一个小题作答，两题都作答的按 15 题记分)15（选修 4-1：几何证明选讲）如图，C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一 点，过 C 的直线交直线 AB 于 E，交过 A 点的切线于 D，BCOD.若 AD=AB=2，则 EB=_16（选修 4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线 C1的方程 为，以极点为原点，极轴方向

7、为正04)sin2(cos22x 半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线 C2的参数 方程为(为参数)设点 P 为曲线 C2上的动点，过点 P 作曲线 C1的两条切线，则这tytx3185415t两 条切线所成角余弦的最小值是_三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.源17（本小题满分 12 分）已知ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长依次为 a,b,c，若，43cosA 81cosC （）求；cba:（）若，求ABC 的面积46|BCAC18（本小题满分 12 分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，

8、编 码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字 符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组 组成.明文字符ABCD第一排密码字符11121314明文字符EFGH第二排密码字符21222324明文字符MNPQ第三排密码字符1234 设随机变量表示密码中所含不同数字的个数.（）求；)2(P （）求随机变量的分布列和它的数学期望19（本小题满分 12 分）如图 1，平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称，60A90C，2CD 把ABD 沿 BD 折起（如图 2），使二面角为直二面角如图 2，CBDA （）求

9、AD 与平面 ABC 所成的角的余弦值；（）求二面角的大小的正弦值DACB图 2BCDADCBA图 1八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 4 页 共 10 页20（本小题满分 12 分）已知等比数列an的公比，前 n 项和为 Sn，S3=7，且，1q31a23a43a 成等差数列，数列bn的前 n 项和为 Tn，其中N*2)13(6nnbnTn （）求数列an的通项公式；（）求数列bn的通项公式；（）设，求集合 C 中所有元素之和,1021aaaAL,4021abbBLBACU21（本小题满分 13 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆的离心率为，)0(12222baby

10、ax22 过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦 AB 与 CD当直线 AB 斜率为 0 时，F23 CDAB （）求椭圆的方程；（）求由 A，B，C，D 四点构成的四边形的面积的取值范围22（本小题满分 14 分）已知，设函数0t132)1(3)(23txxtxxf （）若在(0,2)上无极值，求 t 的值；)(xf （）若存在，使得是在0,2上的最大值，求 t 的取值范围；)2,0(0 x)(0 xf)(xf （）若为自然对数的底数)对任意恒成立时m 的最大值为1，求 t 的emxexfx(2)(),0 x取值范围2015 届高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题一、选择题12345678910

11、DBABDCACCBxyABF（第 21 题）DCO八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 5 页 共 10 页二、填空题二、填空题 11.12.13.14.15.16.2413102032387解析如下：1由于为纯虚数,则,则,故选择 D.5422521221221iaaiaiiaizz1a1z52由程序知道,都应该满足条件,不满足条件,故应该选择 B.2014,6,4,2Li2016i3由于222222222coscossincossin24axdxxx dxxdxx则61()a xx含2x项的系数为,故选择A.192)1(2516C4几何体如图，体积为：,故选择 B422135

12、且推不出,例如时5a5b0ba2,2ba0ba 推不出且,例如，故“且”是“”的0ba5a5b6,5ba5a5b0ba既不充分又不必要条件，故选择 D6设，因为所以 A，B 不成立,对于 C,当时,因为与同号,11nnqaa02010q03a01aq120131q所以,选项 C 正确,对于 D,取数列：-1，1，-1，1，不满足条件，D 错.故选 C02013S7由于的根可能是 2 个,3 个,4 个,而|A-B|=1,故只有 3 个根,axx|32|2axx|32|2故,故选 A.4a1C(S)8由于324)3(21)2(5)221(3152222222zyxzyx 则(当且仅当即时取等号.

13、故选 C222315zyx232115zyx133zyx9由于PQS 是直角三角形，则，故都对，2 当 PQ 垂直对称轴时，故选 C|tan()|0tan210由于，则在点 P 处切线的斜率.4()26fxxx切k642)(000/xxxf所以切线方程为20000004()2664lnyg xxxxxxxx 200004264ln4xxxxx，22000000464ln2664lnxf xg xxxxxxxxxxx八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 6 页 共 10 页则，.0()0 x)2)(2)21)(2)642(642)(000000 xxxxxxxxxxxxxx当时，在上

14、单调递减，所以当时，从而有02x x002,xx002,xxx0()()0.xx时，；002,xxx0)(0 xxx当时，在上单调递减，所以当时，从而有02x x002,xx002,xxx0()()0.xx时，；002,xxx 00 xxx所以在上不存在“类对称点”.当时，所以在(0,2)(2,)U02x 22()2xxx x上是增函数，故(0,)0()0.xxx 所以是一个类对称点的横坐标.（可以利用二阶导函数为 0，求出，则2x 24()20fxx）2x故选择 B11分别以三角形的三个顶点为圆心，1 为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于 1 的部分，即

15、.241462112112P12作图可知，则10025352 nn31013将)(xf的图像与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为 2，棱锥的底面半径为 2，高为 1，所以所得旋转体的体积为.23114202123233 14由题意+1a1m2m+=+-(+)+2a1m2m+-a1a3+-a2-a1an+-an-1-a2-a1所以=+=1+2+(mn-1)12naaa15连接则则则，则是半圆的切OCCODBCOCBODOACODAODCDOC CDO线八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 7 页 共 10 页设，由 BCOD 得

16、，则，则，则xEB BOEBCDECxEC2 222xxx32x16曲线的一般方程为:即,圆心为,半径为 1.1C044222yxyx12122yx2,1曲线的一般方程为:2C01543yx点到直线的距离是：，2,1451583d则这两条切线所成角余弦的最小值是.8741212三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.源源17(I)依题设：sinA，sinC，21 cos A2341()7421 cos C2181()3 78 故 cosBcos(AC)cos(AC)(cosAcos

17、C-sinAsinC)().3322132916 则:sinB21 cos B29161()5 716 所以4:5:66 分CBAcbasin:sin:sin:(II)由(I)知：4:5:6，CBAcbasin:sin:sin:不妨设：a 4k，b5k，c6k，k0.故知：|b5k，|a4k.ACuuu vBCuuu v 依题设知：|2|22|cosC46 46k246，又 k0k1.ACuuu vBCuuu vACuuu vBCuuu v 故ABC 的三条边长依次为：a4，b5，c6.ABC 的面积是12 分4715873542118（I）密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数

18、字，注意到密码的第 1，2 列分别总是 1，2，即只能取表格第 1，2 列中的数字作为密码.4 分3321(2).48P （II）由题意可知，的取值为 2，3，4 三种情形.若，注意表格的第一排总含有数字 1，第二排总含有数字 2 则密码中只可能取数字31，2，3 或 1，2，4.2123332(221)19(3).324ACP 若（或用求得）.8 分12223232394,(4)432A AA AP则)3()2(1PP 的分布列为：234p813219329 12 分.32101329432193812E19如图 2 所示，以的中点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在BDOOCxOD

19、yOA的 直线为轴建立空间直角坐标系，则z ,0,0,0O0,2,0D0,2,0 B0,0,2C6,0,0A八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 8 页 共 10 页 （）设面的法向量为ABCzyxn,取有 00BCnABn1zn1,3,3 ,6,2,0AD721,cosnAD 与面所成角的余弦值是.6 分ADABC772 （）同理求得面的法向量为，则ACD1,3,31n71,cos1nn 则二面角的正弦值为.12 分DACB73420（），73S7321aaa ，成等差数列，2 分31a23a43a231643aaa 得，即22a21qa 又由得，5211qaa 消去得，解得或（

20、舍去）1a02522 qq2q21q 4 分12nna （）当N*时，当时，n2)13(6nnbnT2n2)23(611nnbnT 当时，即 6 分2n1)23()13(6nnnbnbnb53231nnbbnn ，1412bb4723bb71034bb53231nnbbnn ，即532371047141342312nnbbbbbbbbnnLL231 nbbn ，11b)2(23nnbn 故N*)8 分nnbn(23 （），10 分1023122121101010S23808024140340T A 与 B 的公共元素有 1，4，16，64，其和为 85，集合 C 中所有元素之和 12 分331

21、88510232380851040TS21（）由题意知，则，22ceacbca,223222222ccabaCDAB 所以所以椭圆的方程为 4 分1c 2212xy （）当两条弦中一条斜率为 0 时，另一条弦的斜率不存在，由题意知；5 分22222121CDABS四四四 当两弦斜率均存在且不为 0 时，设，11(,)A x y22(,)B xy八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 9 页 共 10 页 且设直线的方程为，AB(1)yk x 则直线的方程为CD1(1)yxk 将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，AB2222(12)4220kxk xk 所以 8 分222212222

22、 212 211|11212kkABkxxkkk 同理，9 分222212 2(1)2 2(1)221kkCDkk 所以24222222522)1(42)1(2221)1(222121kkkkkkkCDABS四四四 ，2221422112121kkkkkk 当且仅当时取等号 11 分9112211222kkkkQ1k )2,916四四四S 综合与可知，13 分2,916四边形S22（）2()33(1)33(1)()fxxtxtxxtQ，又()f x在(0,2)无极值1t 3 分 （）当01t 时，()f x在(0,)t单调递增，在(,1)t单调递减，在(1,2)单调递增，()(2)f tf 由

23、()(2)f tf得：3234tt在01t 时无解 当1t 时，不合题意；当12t 时，()f x在(0,1)单调递增，在(1,)t单调递减，在(,2)t单调递增，(1)(2)12fft 即1332212tt 523t 当2t 时，()f x在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，满足条件 综上所述：时，存在，使得是在0,2上的最大值.8 分),35t)2,0(0 x)(0 xf)(xf （）若对任意0,x恒成立323(1)3122xtxxtxxem 即对任意0,x恒成立3223(1)3(1)313122xxttmxexxtxx exxt 令，0,x 由于的最大值为 1，23(1)32xtg xexxtm八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 10 页 共 10 页 则恒成立，否则存在使得 23(1)302xtg xexxt,00 x 00g x 则当，时，不恒成立.0 xx 1m()2xf xxem 由于，则 10 分 0310tg310 t 当时，则，若310 t 3(1)22xtgxex 2xgxe 20 xgxe 则在上递减，在上递增，2lnx gx2ln,0,2ln 则 02ln212322lnmintgxg 在上是递增的函数 xg,0 ，满足条件 0310tgxg 的取值范围是14 分t31,0