年山东省高考文科数学真题及答案.pdf

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1、第 1 页（共 22 页）2014 年山东省高考数学试卷（文科）年山东省高考数学试卷（文科）一一.选择题每小题选择题每小题 5 分，共分，共 50 分分1（5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 a+i=2bi，则（a+bi）2=（）A34iB3+4i C43i D4+3i2（5 分）设集合 A=x|x22x0，B=x|1x4，则 AB=（）A（0，2 B（1，2）C1，2）D（1，4）3（5 分）函数 f（x）=的定义域为（）A（0，2）B（0，2 C（2，+）D2，+）4（5 分）用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方

2、程 x3+ax+b=0 没有实根B方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根C方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根D方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根5（5 分）已知实数 x，y 满足 axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）Ax3y3BsinxsinyCln（x2+1）ln（y2+1）D6（5 分）已知函数 y=loga（x+c）（a，c 为常数，其中 a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）Aa1，c1 Ba1，0c1 C0a1，c1 D0a1，0c1第 2 页（共 22 页）7（5 分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数 m=（）A2BC0

3、D8（5 分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（）A6B8C12D189（5 分）对于函数 f（x），若存在常数 a0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f（x）=f（2ax），则称 f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）Af（x）=Bf（x）=x2Cf（x）=tanx

4、Df（x）=cos（x+1）10（5 分）已知 x，y 满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值 2时，a2+b2的最小值为（）A5B4CD2二二.填空题每小题填空题每小题 5 分，共分，共 25 分分11（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为第 3 页（共 22 页）12（5 分）函数 y=sin2x+cos2x 的最小正周期为13（5 分）一个六棱锥的体积为 2，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为14（5 分）圆心在直线 x2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截

5、x 轴所得弦的长为 2，则圆 C 的标准方程为15（5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x2=2py（p0）的焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为三三.解答题共解答题共 6 小题，共小题，共 75 分分16（12 分）海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测地区ABC数量50150100（）求这 6 件样品来自 A，B，C 各地区商品的数量；（）若在这 6 件样品中随机抽

6、取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率17（12 分）ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知第 4 页（共 22 页）a=3，cosA=，B=A+（）求 b 的值；（）求ABC 的面积18（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F 分别为线段 AD，PC 的中点（）求证：AP平面 BEF；（）求证：BE平面 PAC19（12 分）在等差数列an中，已知公差 d=2，a2是 a1与 a4的等比中项（）求数列an的通项公式；（）设 bn=a，记 Tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn，求 Tn2

7、0（13 分）设函数 f（x）=alnx+，其中 a 为常数（）若 a=0，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论函数 f（x）的单调性21（14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为（）求椭圆 C 的方程；（）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点）点D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点（i）设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1=k2，并求出 的值；（ii）求OMN 面积的最大值

8、第 5 页（共 22 页）第 6 页（共 22 页）2014 年山东省高考数学试卷（文科）年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一.选择题每小题选择题每小题 5 分，共分，共 50 分分1（5 分）（2014山东）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 a+i=2bi，则（a+bi）2=（）A34iB3+4i C43i D4+3i【分析】利用两个复数相等的充要条件求得 a、b 的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值【解答】解：a+i=2bi，a=2、b=1，则（a+bi）2=（2i）2=34i，故选：A2（5 分）（2014山东）设集合 A=x|x

9、22x0，B=x|1x4，则 AB=（）A（0，2 B（1，2）C1，2）D（1，4）【分析】分别解出集合 A 和 B，再根据交集的定义计算即可【解答】解：A=x|0 x2，B=x|1x4，AB=x|1x2故选：C3（5 分）（2014山东）函数 f（x）=的定义域为（）A（0，2）B（0，2 C（2，+）D2，+）【分析】分析可知，解出 x 即可【解答】解：由题意可得，第 7 页（共 22 页）解得，即 x2所求定义域为（2，+）故选：C4（5 分）（2014山东）用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程 x3+ax+b=0

10、没有实根B方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根C方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根D方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是：方程 x3+ax+b=0 没有实根故选：A5（5 分）（2014山东）已知实数 x，y 满足 axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）Ax3y3BsinxsinyCln（x2+1）ln（y2+1）D【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的

11、关键【解答】解：实数 x，y 满足 axay（0a1），xy，A当 xy 时，x3y3，恒成立，B当 x=，y=时，满足 xy，但 sinxsiny 不成立C若 ln（x2+1）ln（y2+1），则等价为 x2y2成立，当 x=1，y=1 时，满足xy，但 x2y2不成立第 8 页（共 22 页）D若，则等价为 x2+1y2+1，即 x2y2，当 x=1，y=1 时，满足xy，但 x2y2不成立故选：A6（5 分）（2014山东）已知函数 y=loga（x+c）（a，c 为常数，其中a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）Aa1，c1 Ba1，0c1 C0a1，c1 D0a1，0c1

12、【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：函数单调递减，0a1，当 x=1 时 loga（x+c）=loga（1+c）0，即 1+c1，即 c0，当 x=0 时 loga（x+c）=logac0，即 c1，即 0c1，故选：D7（5 分）（2014山东）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数 m=（）A2BC0D【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得 m 的值【解答】解：由题意可得 cos=，解得 m=，故选：B第 9 页（共 22 页）8（5 分）（2014山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数

13、据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（）A6B8C12D18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为 0.24，0.16，所以第一组有 12 人，第二组 8 人，第三组的频率为 0.36，

14、所以第三组的人数：18 人，第三组中没有疗效的有 6 人，第三组中有疗效的有 12 人故选：C9（5 分）（2014山东）对于函数 f（x），若存在常数 a0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f（x）=f（2ax），则称 f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）Af（x）=Bf（x）=x2Cf（x）=tanx Df（x）=cos（x+1）【分析】由题意判断 f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可【解答】解：对于函数 f（x），若存在常数 a0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f（x）=f（2ax），则称 f（x）为准偶函数，函数的对称轴是 x=a，a0，选项 A 函数

15、没有对称轴；选项 B、函数的对称轴是 x=0，选项 C，函数没有对称第 10 页（共 22 页）轴函数 f（x）=cos（x+1），有对称轴，且 x=0 不是对称轴，选项 D 正确故选：D10（5 分）（2014山东）已知 x，y 满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值 2时，a2+b2的最小值为（）A5B4CD2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到 2a+b2=0a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b2=0 的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：

16、A（2，1）化目标函数为直线方程得：（b0）由图可知，当直线过 A 点时，直线在 y 轴上的截距最小，z 最小2a+b=2第 11 页（共 22 页）即 2a+b2=0则 a2+b2的最小值为故选：B二二.填空题每小题填空题每小题 5 分，共分，共 25 分分11（5 分）（2014山东）执行如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为3【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于 0 时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可【解答】解：循环前输入的 x 的值为 1，第 1 次循环，x24x+3=00，满足判断框条件，x=2，n=1，x24x+3=10，满足判断框

17、条件，x=3，n=2，x24x+3=00满足判断框条件，x=4，n=3，x24x+3=30，不满足判断框条件，输出 n：3故答案为：312（5 分）（2014山东）函数 y=sin2x+cos2x 的最小正周期为【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期第 12 页（共 22 页）【解答】解：函数 y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=，故答案为：13（5 分）（2014山东）一个六棱锥的体积为 2，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积

18、为12【分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积【解答】解：一个六棱锥的体积为 2，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为 h，则，h=1，棱锥的斜高为：=2，该六棱锥的侧面积为：=12故答案为：1214（5 分）（2014山东）圆心在直线 x2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2，则圆 C 的标准方程为（x2）2+（y1）2=4【分析】由圆心在直线 x2y=0 上，设出圆心坐标，再根据圆与 y 轴相切，得到圆心到 y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径 r，由弦

19、长的一半，圆的半径 r 及表示出的 d 利用勾股定理列出关于 t 的方程，求出方程的解得到 t 的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即第 13 页（共 22 页）可【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为 r=|2t|，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2，t2+3=4t2，t=1，圆 C 与 y 轴的正半轴相切，t=1 不符合题意，舍去，故 t=1，2t=2，（x2）2+（y1）2=4故答案为：（x2）2+（y1）2=415（5 分）（2014山东）已知双曲线=1（a0，b0）的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x2=2py（p0）的焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得

20、线段长为 2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为y=x【分析】求出双曲线的右顶点 A（a，0），拋物线 x2=2py（p0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出 a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=x【解答】解：右顶点为 A，A（a，0），F 为抛物线 x2=2py（p0）的焦点，F，|FA|=c，抛物线的准线方程为第 14 页（共 22 页）由得，由，得=2c，即 c2=2a2，c2=a2+b2，a=b，双曲线的渐近线方程为：y=x，故答案为：y=x三三.解答题共解答题共 6 小题，共小题，共 75 分分16（12 分）（2014山东）海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的

21、某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测地区ABC数量50150100（）求这 6 件样品来自 A，B，C 各地区商品的数量；（）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率【分析】（）先计算出抽样比，进而可求出这 6 件样品来自 A，B，C 各地区商品的数量；（）先计算在这 6 件样品中随机抽取 2 件的基本事件总数，及这 2 件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解答】解：（）A，B，C 三个地区商品的总数量为 50+150

22、+100=300，故抽样比 k=，故 A 地区抽取的商品的数量为：50=1；B 地区抽取的商品的数量为：150=3；第 15 页（共 22 页）C 地区抽取的商品的数量为：100=2；（）在这 6 件样品中随机抽取 2 件共有：=15 个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这 2 件商品来自相同地区”为事件 A，则这 2 件商品可能都来自 B 地区或 C地区，则 A 中包含=4 种不同的基本事件，故 P（A）=，即这 2 件商品来自相同地区的概率为17（12 分）（2014山东）ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 a=3，cosA=，B=A+（）求 b 的值；

23、（）求ABC 的面积【分析】（）利用 cosA 求得 sinA，进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB，最后利用正弦定理求得 b 的值（）利用 sinB，求得 cosB 的值，进而根两角和公式求得 sinC 的值，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：（）cosA=，sinA=，B=A+sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，b=sinB=3（）sinB=，B=A+第 16 页（共 22 页）cosB=，sinC=sin（AB）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（）+=，S=absinC=33=18（12 分）（2014山东）如图，四棱锥 PABCD

24、 中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F 分别为线段 AD，PC 的中点（）求证：AP平面 BEF；（）求证：BE平面 PAC【分析】（）证明四边形 ABCE 是平行四边形，可得 O 是 AC 的中点，利用 F为线段 PC 的中点，可得 PAOF，从而可证 AP平面 BEF；（）证明 BEAP、BEAC，即可证明 BE平面 PAC【解答】证明：（）连接 CE，则ADBC，BC=AD，E 为线段 AD 的中点，四边形 ABCE 是平行四边形，BCDE 是平行四边形，设 ACBE=O，连接 OF，则 O 是 AC 的中点，F 为线段 PC 的中点，PAOF，PA平面 BEF，OF平

25、面 BEF，AP平面 BEF；（）BCDE 是平行四边形，第 17 页（共 22 页）BECD，AP平面 PCD，CD平面 PCD，APCD，BEAP，AB=BC，四边形 ABCE 是平行四边形，四边形 ABCE 是菱形，BEAC，APAC=A，BE平面 PAC19（12 分）（2014山东）在等差数列an中，已知公差 d=2，a2是 a1与 a4的等比中项（）求数列an的通项公式；（）设 bn=a，记 Tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn，求 Tn【分析】（）由于 a2是 a1与 a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出（）利用（）可得 bn=a=n（n+1），因此 Tn=

26、b1+b2b3+b4+（1）nbn=1（1+1）+2（2+1）+（1）nn（n+1）对 n 分奇偶讨论即可得出第 18 页（共 22 页）【解答】解：（）a2是 a1与 a4的等比中项，在等差数列an中，公差 d=2，即，化为，解得 a1=2an=a1+（n1）d=2+（n1）2=2n（）bn=a=n（n+1），Tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn=1（1+1）+2（2+1）+（1）nn（n+1）当 n=2k（kN*）时，b2kb2k1=2k（2k+1）（2k1）（2k1+1）=4kTn=（b2b1）+（b4b3）+（b2kb2k1）=4（1+2+k）=4=2k（k+1）=当 n=2k1（

27、kN*）时，Tn=（b2b1）+（b4b3）+（b2k2b2k3）b2k1=n（n+1）=故 Tn=20（13 分）（2014山东）设函数 f（x）=alnx+，其中 a 为常数（）若 a=0，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论函数 f（x）的单调性【分析】（）根据导数的几何意义，曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程为yf（1）=f（1）（x1），代入计算即可第 19 页（共 22 页）（）先对其进行求导，即，考虑函数 g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成 a0，a0，a三种情况分别讨论即可【解答】解：，（）当 a=0 时，f（1）=，f（1）=0曲线 y

28、=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 y=（x1）（）（1）当 a0 时，由 x0 知 f（x）0，即 f（x）在（0，+）上单调递增；（2）当 a0 时，令 f（x）0，则0，整理得，ax2+（2a+2）x+a0，令 f（x）0，则0，整理得，ax2+（2a+2）x+a0以下考虑函数 g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a0.，对称轴方程当 a时，0，g（x）0 恒成立（x0）当a0 时，此时，对称轴方程0，g（x）=0 的两根一正一负，计算得当 0 x时，g（x）0；当 x时，g（x）0综合（1）（2）可知，当 a时，f（x）在（0，+）上单调递减；当a0 时，f（x）在

29、（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增第 20 页（共 22 页）21（14 分）（2014山东）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为（）求椭圆 C 的方程；（）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点）点D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点（i）设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1=k2，并求出 的值；（ii）求OMN 面积的最大值【分析】（）由椭圆离心率得到

30、a，b 的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则 a 的值可求，进一步得到 b 的值，则椭圆方程可求；（）（i）设出 A，D 的坐标分别为（x1，y1）（x1y10），（x2，y2），用 A 的坐标表示 B 的坐标，把 AB 和 AD 的斜率都用 A 的坐标表示，写出直线 AD 的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到 AD 横纵坐标的和，求出 AD 中点坐标，则 BD 斜率可求，再写出 BD 所在直线方程，取 y=0 得到 M 点坐标，由两点求斜率得到 AM 的斜率，由两直线斜率的关系得到 的值；（ii）由 BD 方程求出 N 点坐标，结合（i）

31、中求得的 M 的坐标得到OMN 的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值【解答】解：（）由题意知，则 a2=4b2椭圆 C 的方程可化为 x2+4y2=a2将 y=x 代入可得，因此，解得 a=2则 b=1椭圆 C 的方程为；（）（i）设 A（x1，y1）（x1y10），D（x2，y2），第 21 页（共 22 页）则 B（x1，y1）直线 AB 的斜率，又 ABAD，直线 AD 的斜率设 AD 方程为 y=kx+m，由题意知 k0，m0联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0因此由题意可得直线 BD 的方程为令 y=0，得 x=3x1，即 M（3x1，0）可得，即因此存在常数使得结论成立（ii）直线 BD 方程为，令 x=0，得，即 N（）由（i）知 M（3x1，0），可得OMN 的面积为 S=第 22 页（共 22 页）当且仅当时等号成立OMN 面积的最大值为