人教版高中数学选修1.1.2导数的概念课件.ppt

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1、1.1.2导数的概念导数的概念平均变化率平均变化率如果上述的两个函数关系用如果上述的两个函数关系用y=f(x)y=f(x)表示表示 那么当自变量那么当自变量x x从从x x1 1变化到变化到x x2 2时，时，函数值函数值y y就从就从y y1 1变化到变化到y y2 2则函数则函数f(x)f(x)从从x x1 1到到x x2 2的的平均变化率：平均变化率：它的几何意义是什么呢？它的几何意义是什么呢？问题：瞬时速度问题：瞬时速度物体自由落体的运动方程是物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt S(t)=gt2 2,12如何求如何求t=3t=3这时刻的瞬时速度呢？这时刻的瞬时速度呢？能否用求平均

2、速度的方法求某一时刻的瞬时速度？能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？（我们可以取（我们可以取t=3t=3临近时间间隔内的平均速临近时间间隔内的平均速度当作度当作t=3t=3时刻的平均速度，不过时间隔要很小时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小）很小）问题：瞬时速度问题：瞬时速度物体自由落体的运动方程是物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt S(t)=gt2 2,12如何求如何求t=3t=3这时刻的瞬时速度呢？这时刻的瞬时速度呢？解：取一小段时间：解：取一小段时间：3,3+t 3,3+t=g(3+t)g(3+t)2 2g gV=V=t(6+t)问题：瞬时速度问题：瞬时速度解：取一小段时间

3、：解：取一小段时间：3,3+t 3,3+t=g(3+t)g(3+t)2 2g gV=V=t(6+t)当当t 0t 0时，时，v 3g=29.4v 3g=29.4（平均速度的极限为瞬时速度）（平均速度的极限为瞬时速度）瞬时速度：瞬时速度：（平均速度的极限为瞬时速度）（平均速度的极限为瞬时速度）即：即：limlimt 0t 0S(3S(3+t)t)S(3)S(3)t t=29.4=29.4 思考：在思考：在t t0 0时刻的瞬时速度呢？时刻的瞬时速度呢？limlimt 0t 0S(tS(t0 0+t)t)S(tS(t0 0)t t瞬时变化率：瞬时变化率：思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，思

4、考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数那么如何求函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0点的瞬时变化率呢？点的瞬时变化率呢？可知可知:函数函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率为：处的瞬时变化率为：limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+x)x)f(xf(x0 0)x xlimlimx 0 x 0f fx x=导数导数函数函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的处的瞬时变化率瞬时变化率为：为：limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+x)x)f(xf(x0 0)x xlimlimx 0 x 0f fx x=我们称它为函数我们称它为函数f(x)

5、f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数记作：记作：f f(x(x0 0)=)=limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+x)x)f(xf(x0 0)x x导数的概念导数的概念一般地，函数一般地，函数 y y=f f(x x)在点在点x x=x x0 0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是我们称它为函数我们称它为函数 y=f(x)在点在点x x=x x0 0处的导数，处的导数，记为记为 或或，即，即导数导数的概念的概念也可记作也可记作 若这个若这个极限不极限不存在存在，则称在点，则称在点x x0 0 处处不可导不可导。设函数设函数 y y=f f(x x)在点在点 x x=x x0 0

6、的附近有定义，当自变量的附近有定义，当自变量 x x 在在 x x0 0 处取得增量处取得增量 x x (点点 x x0 0+x x 仍在该定义内）时，仍在该定义内）时，相应地函数相应地函数 y y 取得增量取得增量 y y=f f(x x0 0+x x)-f-f(x x0 0)，若，若y y与与x x之比当之比当 x x00的极限存在，则称函数的极限存在，则称函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0 处处可导可导 ，并称这个并称这个极限极限为函数为函数 y y=f f(x x)在点在点 x x0 0 处的处的导数，导数，记为记为 。即即说明：说明：（1）函数）函数在点在点处可导，

7、是指处可导，是指时，时，有极限如果有极限如果不存在极限，就说函数在不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数处不可导，或说无导数点点是自变量是自变量x在在处的改变量，处的改变量，而，而是函数值的改变量，可以是零是函数值的改变量，可以是零（2）由导数的定义可知，求函数由导数的定义可知，求函数在在处的处的导数的步骤导数的步骤:（1）求函数的增量）求函数的增量:；（2）求平均变化率）求平均变化率:；（3）取极限，得导数）取极限，得导数:如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?由定义知，由定义知，求求f(x)f(x)在在x x0 0处的导数步骤为：处的导数步骤为：例例1.1.求求y=xy=x2

8、2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：问题:求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.分析：先求分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2 再求再求再求再求应用：应用：例例1 物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为：运动方程为：其中位其中位 移单位是移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求：(1)物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度；(2)物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度；(3)物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度.分析分析:解解:(1)将将 t=0.1代入上式，得代

9、入上式，得:(2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得:应用：例例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第油进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：0C）为）为 f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第计算第2（h)和第和第6（h）时，原由温度的瞬）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。时变化率，并说明它们的意义。关键是求出：关键是求出：它说明在第它说明在第2（h)附近，原油温度大约以附近，原油温度大约以3 0C/h的速度下降；在第的速度下降；在第6

10、（h)附近，原附近，原油温度大约以油温度大约以5 0C/H的速度上升。的速度上升。应用：例例3 3质量为质量为kgkg的物体，按照的物体，按照s(t)=3ts(t)=3t2 2+t+4+t+4的规律做直线运动，的规律做直线运动，（）求运动开始后（）求运动开始后s s时物体的瞬时速度；时物体的瞬时速度；（）求运动开始后（）求运动开始后s s时物体的动能。时物体的动能。小结：1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t)(2)(2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限v1由导数的定义可得求导数的一般步骤

11、：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限练习：(1)求函数求函数y=在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数y=的导数的导数.知识拓展：知识拓展：注意：注意：在导数的定义中，增量在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但无论的形式是多种多样的，但无论x选选择哪种形式，择哪种形式，y也应该选择相应的形式。利用函数也应该选择相应的形式。利用函数f(x)在点在点x0可导的可导的条件，可以将已给定极限式恒等变形转化为导数定义的结果形式条件，可以将已给定极限式恒等变形转化为导数定义的结果形

12、式 f f(x(x0 0)=)=limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+x)x)f(xf(x0 0)x x f f(x(x0 0)=)=limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+2 2x)x)f(xf(x0 0)2 2x x增量在形式上必须保持一致1 1-1-1小结：小结：平均速度瞬时速度；平均速度瞬时速度；平均变化率瞬时变化率；平均变化率瞬时变化率；导数导数f f(x(x0 0)=)=limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+x)x)f(xf(x0 0)x x谢谢观看！谢谢观看！小结：小结：平均速度瞬时速度；平均速度瞬时速度；平均变化率瞬时变化率；平均变化率瞬时变化率；导数导数f f(x(x0 0)=)=limlimx 0 x 0f(xf(x0 0+x)x)f(xf(x0 0)x x