高中数学2232圆与圆的位置关系ppt课件北师大版必修.ppt

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1、1.1.两圆位置关系的判断方法两圆位置关系的判断方法(1)(1)几何法：解题步骤几何法：解题步骤计算两圆的半径计算两圆的半径r r1 1,r,r2 2；计算计算r r1 1+r+r2 2,r r1 1-r-r2 2；计算两圆的圆心距计算两圆的圆心距d d；比较比较d d与与r r1 1+r+r2 2,r r1 1-r-r2 2的大小关系；的大小关系；给出两圆的位置关系给出两圆的位置关系.判断两圆的位置关系判断两圆的位置关系 (2)(2)代数法：解题步骤代数法：解题步骤联立方程得方程组；联立方程得方程组；消元得到关于消元得到关于x x或或y y的一元二次方程；的一元二次方程；计算判别式计算判别式

2、；由判别式由判别式0 0得两圆相交得两圆相交;由判别式由判别式=0=0得两圆内切或得两圆内切或外切外切;由判别式由判别式0 0得两圆外离或内含得两圆外离或内含.2.2.判断两圆位置关系应注意的问题判断两圆位置关系应注意的问题(1)(1)两圆没有公共点不一定外离两圆没有公共点不一定外离,也可能内含也可能内含;(2)(2)两圆有且仅有一个公共点不一定外切两圆有且仅有一个公共点不一定外切,也可能内切也可能内切.由于代数法运算量比较大运用不方便由于代数法运算量比较大运用不方便,所以一所以一般用几何法来判断两圆的位置关系般用几何法来判断两圆的位置关系.【例【例1 1】已知圆】已知圆C C1 1:x:x2

3、 2+y+y2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0,-5=0,与圆与圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+2x=0.+2x=0.(1)(1)当当m=1m=1时时,圆圆C C1 1与圆与圆C C2 2什么关系什么关系?(2)(2)是否存在是否存在m m使得圆使得圆C C1 1与圆与圆C C2 2内含内含?【审题指导【审题指导】(1)(1)参数参数m m的值已知的值已知,求解时可先找出圆心及半径求解时可先找出圆心及半径,然后比较两圆的圆心距然后比较两圆的圆心距d d与与r r1 1+r+r2 2，|r|r1 1-r-r2 2|的大小关系的大小关系.(2).(2)假设假设存在

4、存在m m使得圆使得圆C C1 1与圆与圆C C2 2内含内含,则圆心距则圆心距d dr r1 1-r-r2 2.【规范解答【规范解答】(1)m=1,(1)m=1,两圆的方程分别可化为：两圆的方程分别可化为：C C1 1:(x-1):(x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9.=9.C C2 2:(x+1):(x+1)2 2+y+y2 2=1.=1.两圆的圆心距两圆的圆心距又又r r1 1+r+r2 2=3+1=4,r=3+1=4,r1 1-r-r2 2=3-1=2=3-1=2，r r1 1-r-r2 2d dr r1 1+r+r2 2，所以圆所以圆C C1 1与圆与圆C C2 2相交

5、相交.(2)(2)假设存在假设存在m m使得圆使得圆C C1 1与圆与圆C C2 2内含内含,则则即即(m+1)(m+1)2 20 0，显然不等式无解，显然不等式无解.故不存在故不存在m m使得圆使得圆C C1 1与圆与圆C C2 2内含内含.两圆相交公共弦所在的直线方程及弦长的求法两圆相交公共弦所在的直线方程及弦长的求法(1)(1)可先求得两圆的公共点，进而求得公共弦所在的直线方可先求得两圆的公共点，进而求得公共弦所在的直线方程，利用两点间距离公式求弦长程，利用两点间距离公式求弦长.此法易懂，但计算较繁琐，一般选用下面的方法此法易懂，但计算较繁琐，一般选用下面的方法.与两圆的公共弦相关的问题

6、与两圆的公共弦相关的问题(2)(2)设圆设圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0，圆圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0,=0,联立方程组联立方程组-得得(D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0 =0 若两圆交点分别为若两圆交点分别为A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2)，可知点，可知点A A，B B的坐标的坐标满足方程满足方程，同时也满足，同时也满足，而二元一次方程与直线，

7、而二元一次方程与直线间的关系又是一一对应的，故间的关系又是一一对应的，故就是过两圆交点的直线方就是过两圆交点的直线方程程.求得公共弦所在的直线方程后，可根据弦心距、半径、求得公共弦所在的直线方程后，可根据弦心距、半径、公共弦的一半所在的直角三角形求公共弦长公共弦的一半所在的直角三角形求公共弦长.【例【例2 2】求两圆】求两圆x x2 2+y+y2 2-2x+10y-24=0-2x+10y-24=0和和x x2 2+y+y2 2+2x+2y-8=0+2x+2y-8=0的公共的公共弦所在的直线方程及公共弦长弦所在的直线方程及公共弦长.【审题指导【审题指导】将两圆方程相减，先得到公共弦所在直线的将两

8、圆方程相减，先得到公共弦所在直线的方程，再将两圆相交问题转化为直线与圆的相交问题求得方程，再将两圆相交问题转化为直线与圆的相交问题求得公共弦长公共弦长.也可以利用圆的半径长、弦心距及弦长的一半组也可以利用圆的半径长、弦心距及弦长的一半组成直角三角形这一性质求解成直角三角形这一性质求解.【规范解答【规范解答】联立两圆的方程得方程组联立两圆的方程得方程组-得得x-2y+4=0,x-2y+4=0,此即为两圆公共弦所在直线的方程此即为两圆公共弦所在直线的方程.方法一：设两圆相交于点方法一：设两圆相交于点A A，B,B,则则A A，B B两点满足方程组两点满足方程组 解得解得 或或所以所以即公共弦长为即

9、公共弦长为 方法二：由方法二：由x x2 2+y+y2 2-2x+10y-24=0,-2x+10y-24=0,得得(x-1)(x-1)2 2+(y+5)+(y+5)2 2=50,=50,其圆心坐标为其圆心坐标为(1(1，-5)-5)，半径为，半径为圆心到直线圆心到直线x-2y+4=0 x-2y+4=0的距离为的距离为设公共弦长为设公共弦长为2 2l，由勾股定理得，由勾股定理得r r2 2=d=d2 2+l2 2，即即 解得解得 故公共弦长故公共弦长 过两圆的交点的圆系方程的设法过两圆的交点的圆系方程的设法(1)(1)过两圆交点的圆的方程的求法，可联立两个圆的方程，过两圆交点的圆的方程的求法，可

10、联立两个圆的方程，求出两交点的坐标，再由一个独立的条件，代入圆的一般求出两交点的坐标，再由一个独立的条件，代入圆的一般方程求解方程求解.过两圆交点的圆系方程过两圆交点的圆系方程(2)(2)过两圆过两圆f fi i(x,y(x,y)=x)=x2 2+y+y2 2+D+Di ix+Ex+Ei iy+Fy+Fi i=0(i=1,2)=0(i=1,2)的交点的圆的交点的圆系方程可设为系方程可设为x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1+(x+(x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2)=0)=0(-1),(-1),即即f f1 1(x

11、,y)+f(x,y)+f2 2(x,y)=0(-1)(*).(x,y)=0(-1)(*).利用过两圆的交点的圆系方程利用过两圆的交点的圆系方程f f1 1(x,y)+(x,y)+ff2 2(x,y)=0(-1)(x,y)=0(-1)求圆的方程时，要验证求圆的方程时，要验证=-1=-1的情形的情形.【例【例3 3】求圆心在直线】求圆心在直线x-y-4=0 x-y-4=0上，且经过两圆上，且经过两圆x x2 2+y+y2 2-4x-6=0-4x-6=0和和x x2 2+y+y2 2-4y-6=0-4y-6=0交点的圆的方程交点的圆的方程.【审题指导【审题指导】思路一：先求两圆的交点坐标，再设出圆心

12、思路一：先求两圆的交点坐标，再设出圆心坐标，根据圆心到两圆交点的距离相等求得参数的值，进坐标，根据圆心到两圆交点的距离相等求得参数的值，进而写出圆的方程而写出圆的方程.思路二：直接设过交点的圆系方程思路二：直接设过交点的圆系方程x x2 2+y+y2 2-4x-6+(x-4x-6+(x2 2+y+y2 2-4y-4y-6)=06)=0，然后把方程转化成一般式，把圆心坐标代入，然后把方程转化成一般式，把圆心坐标代入x-y-4=0 x-y-4=0中中,求求的值的值.【规范解答【规范解答】方法一：由方法一：由得得 或或即两圆的交点坐标为即两圆的交点坐标为A(-1,-1),B(3,3).A(-1,-1

13、),B(3,3).设所求圆的圆心坐标设所求圆的圆心坐标C C为为(a,a-4)(a,a-4)，由题意可知，由题意可知|CA|=|CB|,|CA|=|CB|,即即解得解得a=3,C(3,-1),a=3,C(3,-1),所以，所求圆的方程为所以，所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=16.=16.方法二：设经过两圆交点的圆系方程为方法二：设经过两圆交点的圆系方程为x x2 2+y+y2 2-4x-6+(x-4x-6+(x2 2+y+y2 2-4y-6)=0(-1),-4y-6)=0(-1),即即圆心坐标为圆心坐标为又又圆心在直线圆心在直线x-y-4=0 x-y-4

14、=0上上,即即所求圆的方程为所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2-6x+2y-6=0.-6x+2y-6=0.涉及圆与圆相关的轨迹求法涉及圆与圆相关的轨迹求法建立适当的坐标系建立适当的坐标系利用圆与圆的位置关系建立等量关系利用圆与圆的位置关系建立等量关系对上述等量关系化简对上述等量关系化简明确曲线形式明确曲线形式,并验证范围的有效性并验证范围的有效性.轨迹与轨迹方程是不同的轨迹与轨迹方程是不同的,前者是图形后前者是图形后者是方程者是方程.与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题【例】【例】(2011(2011黄冈高二检测黄冈高二检测)已知点已知点F(0,1)F(0,1)，一动圆过点，一动圆过点F

15、 F且与圆且与圆x x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=8=8内切内切.(1)(1)求动圆圆心的轨迹求动圆圆心的轨迹C C的方程；的方程；(2)(2)设点设点A(a,0)A(a,0)，点，点P P为曲线为曲线C C上任一点，求点上任一点，求点A A到点到点P P距离的距离的最大值最大值d(d(用用a a表示表示).).【审题指导【审题指导】(1)(1)从题目可得到以下信息：从题目可得到以下信息：动圆过点动圆过点F;F;与圆与圆x x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=8=8内切内切,解答本题的关键是通解答本题的关键是通过内切建立等量关系过内切建立等量关系,并适当注意半径间的关系并适当注意

16、半径间的关系;(2);(2)建立最建立最值函数值函数,利用函数思想求点利用函数思想求点A A到点到点P P距离的最大值的表达式距离的最大值的表达式.【规范解答【规范解答】(1)(1)设圆心坐标为设圆心坐标为C(x,yC(x,y)，则动圆的半径为，则动圆的半径为又动圆与又动圆与x x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=8=8内切，内切，所以有所以有化简得化简得2x2x2 2+y+y2 2=2=2所以动圆圆心轨迹所以动圆圆心轨迹C C的方程为的方程为2x2x2 2+y+y2 2=2.=2.(2)(2)设设P(x,yP(x,y)，则则PAPA2 2=(x-a)=(x-a)2 2+y+y2 2=(x

17、-a)=(x-a)2 2+2-2x+2-2x2 2=-(x+a)=-(x+a)2 2+2a+2a2 2+2,+2,令令f(xf(x)=-(x+a)=-(x+a)2 2+2a+2a2 2+2,x+2,x-1,1-1,1,所以，当所以，当-a-a-1-1，即，即a a1 1时时f(xf(x)在在-1,1-1,1上是减函数，上是减函数，f(xf(x)maxmax=f(-1)=(a+1)=f(-1)=(a+1)2 2；当当-1-a1-1-a1，即，即-1a1-1a1时，时，f(xf(x)在在-1,-a-1,-a上是增函上是增函数，数，在在-a,1-a,1上是减函数，上是减函数，则则f(xf(x)max

18、max=f(-a)=2a=f(-a)=2a2 2+2+2；当当-a-a1 1，即，即a a-1-1时，时，f(xf(x)在在-1,1-1,1上是增函数，上是增函数，f(xf(x)maxmax=f(1)=(a-1)=f(1)=(a-1)2 2.所以，所以，【典例】【典例】(12(12分分)求半径为求半径为4 4，与圆，与圆x x2 2+y+y2 2-4x-2y-4=0-4x-2y-4=0相切，且相切，且和直线和直线y y0 0相切的圆的方程相切的圆的方程【审题指导【审题指导】利用与直线利用与直线y=0y=0相切可知，圆心纵坐标为相切可知，圆心纵坐标为4 4或或 -4-4，设出圆的方程，利用两圆相

19、切，要分内切和外切两种，设出圆的方程，利用两圆相切，要分内切和外切两种情况，求得圆心横坐标，写出圆的方程情况，求得圆心横坐标，写出圆的方程【规范解答【规范解答】由题意，设所求圆由题意，设所求圆C C的方程为的方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)(y-b)2 2=16=16，因为圆，因为圆C C与直线与直线y y0 0相切，且半径为相切，且半径为4 4，故，故b=b=4,4,所以圆心坐标为所以圆心坐标为C(aC(a，4)4)或或(a(a，4)4)又已知圆的方又已知圆的方程可化为程可化为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9，则圆心坐标为，则圆心坐标为A(2A(2

20、，1)1)，半径为，半径为3.3.若两圆相切，则若两圆相切，则|CA|=4+3=7|CA|=4+3=7，或，或|CA|=4-3=1.|CA|=4-3=1.2 2分分当取当取C(aC(a，4)4)时，时，(a-2)(a-2)2 2+(4-1)+(4-1)2 2=7=72 2或或(a-2)(a-2)2 2+(4-1)+(4-1)2 2=1=12 2(无解无解)，故，故 此时圆的方程为此时圆的方程为 6 6分分当取当取C(aC(a，4)4)时，时，(a-2)(a-2)2 2+(-4-1)+(-4-1)2 2=7=72 2或或(a-2)(a-2)2 2+(-4-1)(-4-1)2 2=1=12 2(无

21、解无解)，故，故 此时圆的方程为此时圆的方程为 1010分分综上，所求圆的方程为综上，所求圆的方程为1212分分【误区警示【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.1.圆圆(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=5=5与圆与圆(x-1)(x-1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1的位置关系是的位置关系是()()(A)(A)相离相离 (B)(B)相外切相外切(C)(C)相交相交 (D)(D)相内切相内切【解析【解析】选选C.C.由题意可知由题意可知r r1 1-r-r2 2d=3d=3r r1 1+r+r2 2,所以两圆相

22、交所以两圆相交.2.2.两圆两圆x x2 2+y+y2 2-2y-3=0-2y-3=0与与x x2 2+y+y2 2+2x=0+2x=0的公共弦所在的直线方程的公共弦所在的直线方程为为()()(A)2x-2y(A)2x-2y3 30 (B)2x-2y+3=00 (B)2x-2y+3=0(C)2x+2y+3=0 (D)2x+2y-3=0(C)2x+2y+3=0 (D)2x+2y-3=0【解析【解析】选选C.C.联立联立 两方程相减得两方程相减得2x+2y+3=0,2x+2y+3=0,选选C.C.3.3.已知圆已知圆C C1 1:(x+1):(x+1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1，

23、圆，圆C C2 2与圆与圆C C1 1关于直线关于直线x-y-1=0 x-y-1=0对称，则圆对称，则圆C C2 2的方程为的方程为()()(A)(x+2)(A)(x+2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1 (B)(x-2)=1 (B)(x-2)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1(C)(x+2)(C)(x+2)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1 (D)(x-2)=1 (D)(x-2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1【解析【解析】选选B.B.设圆设圆C C2 2的圆心为的圆心为(a(a，b)b)，则依题意，有，则依题意，有 解得：解得：对称圆的半径不变，对称圆的

24、半径不变，故选故选B.B.4.4.圆圆x x2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆x x2 2+(y+m)+(y+m)2 2=9=9相外切相外切,则实数则实数m=_.m=_.【解析【解析】由题意可知由题意可知m m=2+3,m=2+3,m=5.5.答案：答案：5 55.5.两圆两圆x x2 2+y+y2 2-10 x-10y=0-10 x-10y=0与与x x2 2+y+y2 2+6x+2y-40=0+6x+2y-40=0的公共弦长为的公共弦长为_._.【解析【解析】两圆的方程可分别化为：两圆的方程可分别化为：(x-5)(x-5)2 2+(y-5)+(y-5)2 2=50,=50,(x+3)(x

25、+3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=50.=50.由于两圆是等圆且圆心距由于两圆是等圆且圆心距 由圆的几何性质可得由圆的几何性质可得,公共弦长等公共弦长等于于答案：答案：10106.6.判断下列两圆的位置关系判断下列两圆的位置关系.(1)(x+2)(1)(x+2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1与与(x-2)(x-2)2 2+(y-5)+(y-5)2 2=16=16；(2)x(2)x2 2+y+y2 2+6x-7=0+6x-7=0与与x x2 2+y+y2 2+6y-27=0.+6y-27=0.【解析【解析】(1)(1)圆心圆心(-2,2),(2,5)(-2,2),(2,5

26、)，半径，半径r r1 1=1,r=1,r2 2=4,=4,圆心距圆心距r r1 1+r+r2 2=5.=5.d=rd=r1 1+r+r2 2,两圆外切两圆外切.(2)(2)圆心圆心(-3,0),(0,-3)(-3,0),(0,-3)，半径，半径r r1 1=4,r=4,r2 2=6,=6,圆心距圆心距r r1 1+r+r2 2=10,r=10,r2 2-r-r1 1=2.=2.2d10,2d0),(r0),由两圆相外切可知由两圆相外切可知故所求圆的标准方程为故所求圆的标准方程为(x+3)(x+3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=9.=9.答案：答案：(x+3)(x+3)2 2+(y-4

27、)+(y-4)2 2=9=96.6.若圆若圆x x2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆x x2 2+y+y2 2+2ay-6=0(a0)+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为的公共弦的长为 则则a=_.a=_.【解析【解析】x x2 2+y+y2 2+2ay-6=0+2ay-6=0的半径为的半径为 由圆的几何性质由圆的几何性质可知可知 解之得解之得a=1.a=1.答案：答案：1 1三、解答题三、解答题(每题每题8 8分，共分，共1616分分)7.(20117.(2011石家庄高二检测石家庄高二检测)求经过两圆求经过两圆(x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=13=13和和x x2 2+(y+

28、3)+(y+3)2 2=37=37的交点，且圆心在直线的交点，且圆心在直线x xy y4=04=0上的圆的方上的圆的方程程【解析【解析】设所求圆的方程为：设所求圆的方程为：(x+3)(x+3)2 2+y+y2 2-13+x-13+x2 2+(y+3)+(y+3)2 237370 0，即即所以圆心坐标为所以圆心坐标为因为圆心在因为圆心在x-y-4=0 x-y-4=0上，上，所以所以 所以所以-7-7，所以圆方程是：所以圆方程是：x x2 2+y+y2 2-x+7y-32=0.-x+7y-32=0.8.8.求与圆求与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0外切且与直线外切且与直线 相切于点

29、相切于点 的圆的方程的圆的方程.【解题提示【解题提示】设圆的标准形式设圆的标准形式,利用两圆外切及与直利用两圆外切及与直线相切求圆心和半径线相切求圆心和半径.【解析【解析】设所求圆的方程为设所求圆的方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(r(r0),0),由题知所求圆与圆由题知所求圆与圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0外切外切,则则 又所求圆过点又所求圆过点M M的切线为直线的切线为直线故故 解由解由组成的方程组得组成的方程组得a=4,b=0,r=2a=4,b=0,r=2或或a=0,a=0,故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x-4)(x-4)

30、2 2+y+y2 2=4=4或或【挑战能力【挑战能力】(10(10分分)已知半径为已知半径为5 5的动圆的动圆C C的圆心在直线的圆心在直线l:x-y+10=0:x-y+10=0上上.(1)(1)若动圆若动圆C C过点过点(-5,0),(-5,0),求圆求圆C C的方程的方程;(2)(2)是否存在正实数是否存在正实数r,r,使得动圆使得动圆C C中满足与圆中满足与圆O:xO:x2 2+y+y2 2=r=r2 2相外相外切的圆有且仅有一个，若存在切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来请求出来;若不存在若不存在,请说明请说明理由理由.【解析【解析】(1)(1)依题意依题意,可设动圆可设动圆C C的方

31、程为的方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=25,=25,其中圆心其中圆心(a,b(a,b)满足满足a-b+10=0.a-b+10=0.又又动圆过点动圆过点(-5,0),(-5-a)(-5,0),(-5-a)2 2+(0-b)+(0-b)2 2=25.=25.解方程组解方程组可得可得 或或故所求圆故所求圆C C的方程为的方程为(x+10)(x+10)2 2+y+y2 2=25=25或或(x+5)(x+5)2 2+(y-5)+(y-5)2 2=25.=25.(2)(2)圆圆O O的圆心的圆心(0,0)(0,0)到直线到直线l的距离的距离当当r r满足满足r+5r+5d d时，动圆时，动圆C C中不存在与圆中不存在与圆O:xO:x2 2+y+y2 2=r=r2 2相外切的相外切的圆；圆；当当r r满足满足r+5r+5d d时，时，r r每取一个数值，动圆每取一个数值，动圆C C中存在两个圆与中存在两个圆与圆圆O:xO:x2 2+y+y2 2=r=r2 2相外切；相外切；当当r r满足满足r+5=d,r+5=d,即即 时，动圆时，动圆C C中有且仅有中有且仅有1 1个圆与个圆与圆圆O:xO:x2 2+y+y2 2=r=r2 2相外切相外切.综上可知，存在综上可知，存在 满足条件满足条件.