第二讲-数学工具Laplace变换课件.ppt

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1、第二讲：数学工具-Laplace变换（2 学时）、定义与基本变换、定理与技巧 3、反变换 4、求解微分方程 变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初等数学中：等数学中：等数学中：等数学中：令：令：对数变换对数变换 利用对数变换，我们可以将正数的利用对数变换，我们可以将正数的乘积乘积运算变运算变为对数的为对数的加法加法运算。运算。1、定义与基本变换、定义与基本变换又如，又如，Fourier变换将时间域的实函数变换变换将时间域的实函数变换成频率域的频谱，即，正弦谐波的线性组合。成频率域的

2、频谱，即，正弦谐波的线性组合。对线性时不变系统而言，我们要寻求能对线性时不变系统而言，我们要寻求能简化简化微分方程求解过程微分方程求解过程的变换。一个好的变的变换。一个好的变换至少要有如下换至少要有如下2个特征：个特征：1、它的基本函数具有很大的覆盖面，、它的基本函数具有很大的覆盖面，2、变换本身具有线性叠加性。、变换本身具有线性叠加性。1、定义与基本变换、定义与基本变换 Fourier变换就具有上述特性，变换就具有上述特性，1、它的基本函数为谐波函数，或纯虚、它的基本函数为谐波函数，或纯虚指数函数，它们的线性组合可以表示大部分指数函数，它们的线性组合可以表示大部分常用的函数，常用的函数，2、

3、基本函数线性组合的输入导致的响、基本函数线性组合的输入导致的响应是基本函数响应的线性组合，只是组合系应是基本函数响应的线性组合，只是组合系数发生变化。数发生变化。遗憾的是，遗憾的是，Fourier变换的收敛条件比变换的收敛条件比较严格。较严格。1、定义与基本变换、定义与基本变换 历史从来都是选择性记忆的，优胜劣历史从来都是选择性记忆的，优胜劣汰，大浪淘沙。只有好的工具才会流传后汰，大浪淘沙。只有好的工具才会流传后世。世。Laplace变换就是这样的数学工具，它变换就是这样的数学工具，它对对Fourier变换加以扩展，以复指数函数为变换加以扩展，以复指数函数为基本函数，将时间域的实函数变换成复频

4、基本函数，将时间域的实函数变换成复频率域的频谱函数，将微分算子变成代数算率域的频谱函数，将微分算子变成代数算子，非常方便。子，非常方便。1、定义与基本变换、定义与基本变换复变量和复变函数复变量和复变函数(1)(1)复变量：复变量：(2)(2)复变函数：复变函数：F(s)F(s)是函数，其自变量为是函数，其自变量为是函数，其自变量为是函数，其自变量为s s；s s为复变量为复变量为复变量为复变量 F(s)F(s)函数值也是复的函数值也是复的函数值也是复的函数值也是复的 除此之外，在一般情况下，除此之外，在一般情况下，除此之外，在一般情况下，除此之外，在一般情况下，F(s)F(s)与实函数无异与实

5、函数无异与实函数无异与实函数无异1、定义与基本变换、定义与基本变换(3)复指数函数与尤拉定理：1、定义与基本变换、定义与基本变换尤拉定理证明：尤拉定理证明：有：有：所以：所以：而：而：改写改写所以所以1、定义与基本变换函数函数f(t)的拉氏变换的拉氏变换当当t0,f(t)=0拉氏积分运算符拉氏积分运算符复变量复变量 单边、线性变换 不追求数学细节，如收敛条件等。1、定义与基本变换、定义与基本变换一一映射 由上式可以看出，由上式可以看出，由上式可以看出，由上式可以看出，LaplaceLaplace变换是变换是变换是变换是FourierFourier变换的推广，变换的推广，变换的推广，变换的推广，

6、一些工程上重要的函数，如阶跃函数、指数增长函数等一些工程上重要的函数，如阶跃函数、指数增长函数等一些工程上重要的函数，如阶跃函数、指数增长函数等一些工程上重要的函数，如阶跃函数、指数增长函数等不满足不满足不满足不满足FourierFourier变换的收敛条件，但乘上一个合适的指数变换的收敛条件，但乘上一个合适的指数变换的收敛条件，但乘上一个合适的指数变换的收敛条件，但乘上一个合适的指数衰减因子后，就可以完成变换。衰减因子后，就可以完成变换。衰减因子后，就可以完成变换。衰减因子后，就可以完成变换。当当当当s s为纯虚数时，为纯虚数时，为纯虚数时，为纯虚数时，函数的函数的函数的函数的Laplace

7、Laplace变换就是它的变换就是它的变换就是它的变换就是它的FourierFourier变换；变换；变换；变换；当当当当s s为复数时，函数的为复数时，函数的为复数时，函数的为复数时，函数的LaplaceLaplace变换就是它与实部指数变换就是它与实部指数变换就是它与实部指数变换就是它与实部指数函数乘积的函数乘积的函数乘积的函数乘积的FourierFourier变换。变换。变换。变换。1、定义与基本变换、定义与基本变换基本时间函数及其基本时间函数及其LaplaceLaplace变换变换(1)(1)指数函数指数函数(2)(2)阶跃函数阶跃函数(3)(3)斜坡函数斜坡函数(4)(4)正弦函数正

8、弦函数(5)(5)脉冲函数脉冲函数 1、定义与基本变换、定义与基本变换例例1 1、指数函数指数函数注意：在某一域内复变函数 F(s)及其所有导数皆存在，则称该复变函数 F(s)在该域内是解析的。在复平面上有一个极点1、定义与基本变换、定义与基本变换为使积分收敛，这里假设(s+a)的实部大于零例例2 阶跃函数阶跃函数注意：注意：A=1，称其为单位，称其为单位阶跃函数，记为阶跃函数，记为 1(t)。阶。阶跃函数在跃函数在 t=0 处是不确定处是不确定的，相当于在的，相当于在 t=0 处将一处将一个直流信号突然加到系统个直流信号突然加到系统上。上。1 1、定义与基本变换、定义与基本变换、定义与基本变

9、换、定义与基本变换f(t)A0t例例3 斜坡函数斜坡函数f(t)t0A1注意：注意：A=1A=1，称其，称其为单位斜坡函数。为单位斜坡函数。1、定义与基本变换、定义与基本变换例例3 斜坡函数斜坡函数首先注意到：首先注意到：于是：于是：1、定义与基本变换、定义与基本变换123例例4 4、正弦、余弦函数正弦、余弦函数显然，直接求取并不明智。由尤拉定理有显然，直接求取并不明智。由尤拉定理有：1、定义与基本变换、定义与基本变换例例5.1 脉动函数脉动函数f(t)0t0tA/t01、定义与基本变换、定义与基本变换 例5 脉冲函数f(t)0t注意：A=1，称其为单位脉冲函数，记为1、定义与基本变换和脉动函

10、数相比，脉冲函数和脉动函数相比，脉冲函数“面积面积”不变，时间间隔为不变，时间间隔为0 0。、定理与技巧、定理与技巧 线性叠加原理是显然的。线性叠加原理是显然的。时域位移时域位移-复域指数乘积复域指数乘积0atf(t)的拉氏变换的拉氏变换时域移时域移位定理位定理 2.1时域函数平移 2.2 与 相乘例6复域位移复域位移-时域指数乘积时域指数乘积复域位移定理、定理与技巧、定理与技巧2.3 时间比例尺定理证明、定理与技巧、定理与技巧例7：已知于是：、定理与技巧、定理与技巧几个重要的拉氏变换对、定理与技巧、定理与技巧f(t)F(s)f(t)F(s)2.4 微分定理 式中 f(0)是 f(t)在t=0

11、处的初始值。同样，对于f(t)的n阶导数，则有、定理与技巧、定理与技巧 证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到n阶导函数的拉氏变换注意：若 时，f(t)极限 不存在，也就不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。2.5 2.5 终值定理终值定理 假定假定 f(t)f(t)和和 df(t)/dt df(t)/dt 可以进行拉氏变换，可以进行拉氏变换，存在，并且存在，并且F(s)F(s)在虚轴上无极点，在原点在虚轴上无极点，在原点处无多重极点，即，处无多重极点，即，sF(s)sF(s)在包括虚轴的右半在包括虚轴的右半s s平平面内解析，则有面内解析，则

12、有、定理与技巧、定理与技巧证：由微分定理有：证：由微分定理有：等式两边对等式两边对s s趋向于趋向于0 0取极限取极限2.6 2.6 初值定理初值定理 假定假定 f(t)f(t)和和 df(t)/dt df(t)/dt 可以进行拉氏变换，可以进行拉氏变换，存在，则有存在，则有2.7 2.7 积分定理积分定理式中式中 在在t=0t=0处的值。处的值。证明方法同上。只是要对 取极限。、定理与技巧、定理与技巧证：证：令：由上述微分定理，有即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以 。2.8 卷积定

13、理（了解）将 记为 ，称其为卷积，则有 即：两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。、定理与技巧、定理与技巧证明：定义：从象函数定义：从象函数F(s)F(s)求原函数求原函数f(t)f(t)的运算称为拉的运算称为拉氏反变换。记为氏反变换。记为 由由F(s)F(s)，可以按下式求出，可以按下式求出 式中式中C C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)F(s)所有极点的所有极点的实部。实部。拉氏变换与拉氏反变换，在时域函数和复频拉氏变换与拉氏反变换，在时域函数和复频域函数之间构成了域函数之间构成了变换对变换对。3、拉氏反变换、拉氏反变换 对对于于连连续续的的时时间间函函数数来来说说，

14、它它与与它它的的拉拉普普拉拉斯斯变变换之间保持一一对应关系。换之间保持一一对应关系。一一对应f(t)F(s)3、拉氏反变换、拉氏反变换 直接按上式求原函数太过复杂！直接按上式求原函数太过复杂！求求取取拉拉普普拉拉斯斯反反变变换换的的基基本本方方法法是是，将将复复杂杂的的F(s)F(s)展展开开成成很很多多简简单单项项之之和和，分分别别求求取取简简单单项项的拉普拉斯反变换，再叠加得到的拉普拉斯反变换，再叠加得到f(t)f(t)。3、拉氏反变换、拉氏反变换 我我们们遇遇到到的的F(s)F(s)通通常常是是有有理理分分式式。若若F(s)F(s)不不能能在在表表中中直直接接找找到到原原函函数数，则则需

15、需要要将将它它展展开开成成部部分分分分式式之之和和。这这些些部部分分分分式式的的拉拉氏氏变变换换通通常常可可以以在在表表中中查查到。也就是：到。也就是：3、拉氏反变换、拉氏反变换几个重要的拉氏变换对f(t)F(s)f(t)F(s)3、拉氏反变换、拉氏反变换 例例8 8 例例9 9 求求 的反变换。的反变换。例例1010 最后一项用到频域平移性质。最后一项用到频域平移性质。4 4、求解线性微分方程、求解线性微分方程（1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，将线性微分方程变为 s 的代数方程，然后整理代数方程，得到有关变量的拉氏变换的表达式；（2）进行拉氏反变换，可以得到线性微分方程的解。例例11

16、 11 求解求解 利用性质2.2；并查拉氏变换对照表4、求解线性微分方程、求解线性微分方程 部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法 （1 1 1 1）情况一）情况一）情况一）情况一:F(s):F(s):F(s):F(s)有不同极点有不同极点有不同极点有不同极点,这时这时这时这时,F(s),F(s),F(s),F(s)总能总能总能总能展开成如下简单的部分分式之和展开成如下简单的部分分式之和展开成如下简单的部分分式之和展开成如下简单的部分分式之和4、求解线性微分方程、求解线性微分方程例12（2）情况）情况2:F(s)有共轭极点有共轭极点例例13 13 求解

17、微分方程求解微分方程同样用到了频域平移性质。注意:出现衰减震荡，=1（3）情况）情况3:F(s)有重极点有重极点 假若假若F(s)F(s)有有L L重极点重极点 ,而其余极点均不相同。而其余极点均不相同。那么那么例例14 14 求对应的时间函数求对应的时间函数 解：解：两边同时乘以两边同时乘以 ,有有 比较系数有：比较系数有：于是有：于是有：也用到了频域平移性质。如果不记公式,可用以下方法求解4、求解线性微分方程、求解线性微分方程 在求解微分方程的过程中，可以有如下结论：在求解微分方程的过程中，可以有如下结论：1 1、LaplaceLaplace变换的确简化了微分方程的求解。变换的确简化了微分方程的求解。2 2、分母多项式又称为、分母多项式又称为特征多项式，特征多项式，特征方程特征方程即特征多项式等于即特征多项式等于0 0，其解称为，其解称为特征根或极点。特征根或极点。4、求解线性微分方程、求解线性微分方程 3 3、极点决定了解的结构。、极点决定了解的结构。习题习题 E2.4,E2.21,E2.18,E2.29,E2.30,P2.37（拉普拉斯变换与时间响应求解）（拉普拉斯变换与时间响应求解）