《类曲面积分》PPT课件.ppt

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1、一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面规定规定法向量法向量的方向来区分曲面的两的方向来区分曲面的两侧侧.莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:播放播放曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:类似地类似地,可定义可定义 在在yOz面及面及zOx面的投影面的投影:希自己写出希自己写出希自己

2、写出希自己写出在在xOy面上的面上的投影投影在在xOy面上的投影区域的面积附以一定的面上的投影区域的面积附以一定的实际上就是实际上就是正负号正负号.的二面角的二面角.二、概念的引入实例实例:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.1.分割分割则该点流速为则该点流速为 .法向量为法向量为 .2.求和求和3.3.取极限取极限三、概念及性质三、概念及性质被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:性质性质:四、计算法注注:当曲面当曲面 母线平行于母线平行于z轴的柱面时轴的柱面时,注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的

3、侧必须注意曲面所取的侧.解解极坐标极坐标 计算计算对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分时时:(1)认定对哪两个坐标的积分认定对哪两个坐标的积分,将曲面将曲面表为表为这两个变量的函数这两个变量的函数,并确定并确定的投影域的投影域.(2)将将 的方程代入被积函数的方程代入被积函数,化为投影域上化为投影域上的二重积分的二重积分.(3)根据根据的侧的侧(法向量的方向法向量的方向)确定二重积分确定二重积分前的正负号前的正负号.一投一投二代二代三定号三定号 例例其中其中是是所围成的正方体的表面的所围成的正方体的表面的24563 先计算先计算由于平面由于平面都是都是母线平行于母线平行于x轴的柱面轴的柱面,则在其

4、上对坐标则在其上对坐标y,z的积分为的积分为0.解解三个坐标面与平面三个坐标面与平面外侧外侧.1x=a面在面在yOz面上的投影为面上的投影为正正,而而x=0面在面在yOz面上的投影为面上的投影为负负.投影域均为投影域均为:0ya,0za,故故由由 x,y,z 的对等性的对等性知知,所求曲面积分为所求曲面积分为 3a4.后两个积分值也等于后两个积分值也等于a4.245631五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式向量形式28上侧为正上侧为正,下侧为负下侧为负化为二重积分化为二重积分一投一投二代二代三定号三定号向量的点积法向量的点积法(合一投影法合一投影法)2

5、9前侧为正前侧为正,后侧为负后侧为负若光滑有向曲面若光滑有向曲面由方程由方程 x=x(y,z)给出给出,在在yOz面上的投影区域为面上的投影区域为Dyz,函数函数x(y,z)在在Dyz上上具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则则化化为为二二重重积积分分30若光滑有向曲面若光滑有向曲面由方程由方程 y=y(x,z)给出给出,在在xOz面上的投影区域为面上的投影区域为Dxz,函数函数y(x,z)在在Dxz上上具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则则化化为为二二重重积积分分右侧为正右侧为正,左侧为负左侧为负解解 在在xOy面上的投影面上的投影区域为区域为Dxy:对称性对称性 例例其中其中解解 法

6、一法一直接用直接用对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分计算法计算法.且其投影区域分别为且其投影区域分别为由于由于取上侧取上侧,在第一卦限部分的在第一卦限部分的上侧上侧.面的投影面的投影都是都是正的正的,取上侧取上侧 -+-1010d)222(dxyxyxx法二法二 利用利用向量的点积法向量的点积法计算计算.取取上侧上侧,锐角锐角.则法向量则法向量n与与z轴正向的夹角为轴正向的夹角为六、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投,二代二代,三定号三定号”3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系向量的点积法向量的点积法(合一投影法合一投影法)思考题思考题思考题解答思考题解答此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧，而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.作作 业业习题习题9-5(1559-5(155页页)2.(1)(2)(3)3.练练 习习 题题练习题答案练习题答案