数学方法论与数学教学_案例三则.pdf

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1、本刊专稿数学方法论与数学教学 案例三则 南京大学哲学系 郑毓信 作为我国著名数学家徐利治先生的学生和学术助手,笔者曾长期从事数学方法论的研究,更由亲身的实践深切地体会到了数学方法论对于数学教学的特殊意义:这有助于我们将数学课讲活、讲懂、讲深.所谓”讲活”,是指教师应通过自己的教学活动向学生展现”活生生的”数学研究工作,而不是死的数学知识;所谓”讲懂”,则是指教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容,而不是囫囵吞枣,死记硬背;所谓”讲深”,是指教师在数学教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识,而且也应帮助学生学会领会内在的思维方法.但是,我们如何才能真正达到上述目标呢?笔者以为,在此所需要的并不是某

2、种”事后诸葛亮”式的点缀,即如在别人的解题活动获得成功以后以”专家”的口吻做出如下的点评:”这是 方法”,”那是 方法”;恰恰相反,我们应当通过相关教学内容的”方法论重建”(或者说,”再创造”),使之真正成为”可以理解的”、”可以学到手”和”加以推广应用的”.当然,后者事实上也就表明了所说的”方法论重建”并不是对于某些现象法则的机械应用,而是一种创造性工作,更应充分体现”化难为易”和”化神奇为平凡”的重要特色.为了清楚地说明问题,以下就首先从中学数学教学中选取两个具体实例来加以分析,但是,由于笔者已脱离中学多年,对目前的中学教材就不很熟悉,因此这两个例子就不是从中学教材中直接选取的,而是选自上

3、海教育出版社出版的 名师授课录(1992年);另外,最后一个实例则源于自己的数学教学实践.案例之一 三角形内角平分线的性质正如大家所熟悉的,三角形内角平分线性质的证明应当说并不困难(图1),但从教学的角度看,我们则又显然应当考虑这样的问题,首先,这一结果是如何发现的?其次,我们又如何才能使得定理的证明对于学生来说成为十分自然的.因为,不可否认的是,CE这一辅助线的添加在此很像是波利亚所说的”从帽子中掏出来的兔子”.例如,大概也就是基于前一种考虑,顾泠沅和吴定一两位老师在自己所撰写的教案 三角形内角平分线的性质(载 名师授课录(初中版)第377385页)中就采取了让学生主动地进行探索的做法.具体

4、地说,在对平行线分线段成比例这一定理进行回忆以后,他们首先提出了这样的问题:”除平行线以外,是不是还有其他的几何图形能够获得成比例的线段呢?”进而,”考虑到初中学生的认识特点”,他们又采取了这样的具体做法,即首先指明”等腰三角形顶角的平分线可以分线段与已给两线段成比例”(后者是指ABAC=11,BDDC=11,从而就有ABAC=BDDC),然后让学生进一步去探索:”对一般三角形来说,它的内角平分线是否也具备同样的性质呢?”例如,教师提出:”第一,请大家在等腰三角形的基础上,延长一条边,使AB和AC满足一定的比值,然后看一看这时 A的平分线使BD与DC之比起怎样的变化?能不能获得成比例线段?第二

5、,在这个例子的启发下,猜想一下一般三角形内角平分线会有什么性质?”让学生通过主动的探索去发现相应的定理当然很好.但是,就以上的实际做法而言,笔者以为,这实在很难说是真正的”发现”,毋宁说,学生在此无须就各个具体情况(例如使ABAC=21或ABAC=31的情况)实际地去进行度量,就可由老师的”引导”直接猜想出老师所”暗示”的结果:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例;另外,教案中以等腰三角形作为一般三角形的特例,并希望通过”由特殊到一般”引出相应的结论,也实在有点勉强.因为,人们恐怕很少会将两条线段的相等写成11的形式,至于由ABAC=11和BDDC=11进而引出”等腰

6、三角形顶角的平分线分对边所得的两条线段和两这个角的两边对应成比例”,则就更是”匪夷所思”了.与上述的做法不同,笔者以为,我们在此或许可以采取这样的方法:由于我们刚刚引进了三角形的角平分线、高和中线,因此,这就是一个十分自然的问题:这三条线段都具有什么样的性质?相信学生立即可以发现以下的结论:结论1 由角平分线与对边的交点向其他两条边引垂线(图3),所得出的两条线段(图中的DE和DF)1中学数学教学参考 2000年第6期相等;结论2 中线将三角形分成等积的两个部分(图4,SABM=SACM).进而,由结论2出发,我们又可提出这样的问题(这一问题显然具有一定的实际意义):如何由顶点A出发引一线段A

7、 K将原来的三角形ABC分成具有指定比例值(例如32)的两个小三角形?如果学生确已理解了上述的结论2,这时自然也就容易找出以下的作法(图5).这时,我们又可提出如下的问题:如果指定的比例为ABAC,我们又应如何去作?由于学生刚刚解决了前一个问题,这时往往也就会采取类似的作法.但是,由于AB和AC都是现成的线段,因此,教师进一步提出以下的问题也就十分自然了:我们能否对先前的作法加以改进,也即充分利用现有的图形?当然,我们在此所希望的即是出现如图7所示的图形(其 中A H=AC,HCAD).最后,在进行多次的实践之后,如果学生尚未发现所作的AD就是原来的顶角A的平分线,教师则就不妨有意识地引导学生

8、对图7中各个角之间的关系进行分析,如:我们已经知道AD和HC是两条平行线,而平行线有很多性质,我们能否依据这些性质对图形中各个角的相互关系作出判断?当然,在学生发现AD就是角A的平分线以后,我们又应促使他们进一步去考虑:这一事实是否具有一定的偶然性?再则,这一事实是否可有利于我们更为简单地去解决原来的问题,即由顶点A引出一条线段A K将原来的三角形分成这样两个部分,使他们的比就等于ABAC.至此,主要结论的得出(也即角平分线的性质定理)应当说已经水到渠成了;而且,所进行的探索活动也已为这一定理的证明做好了必要的准备,因为,我们在此所需要的无非就是将先前的思路逆转过去,即如并非是由A点去作HC的

9、平行线AD,而是由C点去作角平分线AD的平行线CH.显然,对照以上的做法进行分析,这也就不能不说是顾、吴两位老师教案的一个不足之处,即是未能对CE这一辅助线的添加做出应有的交代.最后,值得指出的是,遵循先前的思路,我们在此事实上还可给出主要结论的又一证明,而其特点则是完全不用添加任何辅助线.具体地说,为了说明ABAC=BDDC(其中AD为角A的平分线),我们可以促使学生首先考虑BDDC的几何意义.由于先前我们一直在从事面积的分割,这时学生自然会想到BDDC就等于 ABD与ADC的面积的比.这样,为了证明主要的结论,我们就只需进一步证明ABAC也等于 ABD与 ADC的面积的比.然而,后一结论显

10、然已不难证明的了,因为,在此只需将AB和AC分别看成 ABD和 ADC的底边,而由先前所已获得的结果(结论1)我们已经知道这两个三角形的高(图3中的DE和DF)是相等的.从而,这事实上也就可以看成笔者所建议的这一教法的又一优点,即是将发现与证明的过程紧密地联系了起来.案例之二 点到直线的距离由于在先前的一篇文章(短评两则,载 数学教育学报1997年第3期)中,笔者已对现行教材中对这一内容的处理方法进行了评论,在此就将主要围绕曾容老师的教案 求点到直线的距离(载 名师授课录(高中版)第383388页)对此做出分析.事实上,曾容老师所设计的这份教案在很大程度上就可被看成对于数学方法论的一个自觉应用

11、,因为,设计者所希望的即是能通过这一实例”使学生了解运用特殊到一般、一般到特殊的数学思想方法,使问题得到一般性解决的全过程,以启发思维,培养能力”.具体地说,尽管学生在此”一般都能回答:过点P作直线l的垂线,垂足为点Q,PQ就是点P到直线l的距离”(图8),教师对于这一解决方法只作了简单的肯定,就立即把学生的注意力引导到了以下的问题:”求点P到直线l的距离,是不是一定要从点P来求呢?如果点P的坐标的数据很复杂,有没有可能把它 化简,换成另一个点?”进而,通过提出以下的问题:”请同学们想一想:两条平行线间的距离都相等吗?怎么求?”教师又引出了这样的结论:如果过点P作直线l l,由于直线l 上的任

12、意一点到直线l的距离都等于点P到直线l的距离(图9),因此,点到直线的距离就可归结为平行线之间的距离.这也就是说,”我们已经把求点P到直线l的距离转化为求两条平行线2中学数学教学参考 2000年第6期l 与l之间的距离.”然后,为了解决怎样求两条平行线之间距离的问题,教师提出:”还是要取点,归结为点到直线的距离,只是点可以自由选取.”通过分别列举出平面上的点(记为M)与两条平行线之间的各种可能的位置关系(即点在l 上;在l上;在l与l 之间;在l与l 的外侧),教师得出了这样的结论:”既然平面上任意取一点,都能算出平行线l与l 之间的距离(设点M到直线l与l 的距离分别为d和d,就上述的四种情

13、况,l与l 这两条平行线之间的距离分别为d+0、d+0、d+d、d-d 或d-d),那么取哪一点最好呢?当然是原点.”这样,我们最终就将问题归结成了”如何求原点到已知直线l的距离.”作为对于后一问题的具体解决,教案中引入了直线的法线式方程;又通过教会学生如何将直线方程的一般式化为法线式,教师最终指明,我们可以利用法线式求得点P(x0,y0)到直线l:A x+By+C=0的距离.由于上述的处理方法在很大程度上不同于现行教材,因此,笔者以为,这事实上也就反映出曾容老师对教材中的处理方法也是不很满意的.但是,现在的问题仍然在于,新的处理能否使相关的内容对学生而言真正成为”可以理解的”、”可以学到手”

14、和”加以推广应用的”?特别是,这又是否真正体现了”化难为易”和”化神奇为平凡”?坦率地说,笔者以为后两个问题是大可存疑的.例如,笔者以为,只需对上述过程做出仔细的分析,而不是”让老师牵着鼻子走”,在教学过程中就一定会有学生提出这样的问题:我们在此是否可以任意地假设已经求得了平面上任意一点M到直线l与l 的距离?因为,后者难道不就是我们所需要解决的问题吗?即希望能求得平面上任意一点到一条直线l的距离.从而,我们在此事实上就是绕了一个很大的圆圈却又回到原处,即首先把求点P到直线l的距离转化成了如何求得两条平行线l 与l之间的距离,然后,为了求得l 与l之间的距离,则又必须假设可以求得平面上任意一点

15、M(从而事实上也就包括了点P)到l 与l之间的距离.显然,如果我们已经求得了点P到直线l的距离,则又何必要绕这样大的弯子呢?当然,教案设计者之所以做出以上的处理,主要是为了通过分别举出平面上的点与两条平行线之间各种可能的位置关系就可引出这样的结论:我们在此可以首先求原点到直线l的距离,但是,后一问题显然就可被直接看成所要解决的点到直线的距离这一一般性问题的一个特例(因为,原点也是平面上的一个点),从而,我们在此也就完全可以直接指明这样一个事实,并对有关的论述重新组织如下:与教案中突出强调”点到直线的距离”可以归结为”两条平行线之间的距离”这一做法不同,我们应将注意力主要集中于为什么应当首先考虑

16、上述的特殊情况,而又不须作出任何特别的努力,相信学生就会接受以下的事实:过P作直线ll,如果分别求得了原点到直线l 与l的距离,则就立即可以求得点P到直线l的距离.容易看出,尽管这一处理方法在表面上似乎与原先的做法涉及到了相同的内容,但是,在新的处理下相应的思维过程显然得到了极大的简化,而不再具有”弯弯绕”的味道.事实上,我们在此还应突出强调这样一点,即如上面所已提及的,曾容老师所设计的教学方法是在大部分学生已经发现了所面临的问题可以通过图8所示的方法(即首先求取直线l的垂线,再求得两条直线的交点Q,最终再求得P和Q的距离)顺利地得以解决这一情况下进行的.由于后一解法是由学生主动做出的,从而对

17、他们来说也就是”十分自然的”.因此,完全可以想象,在所说的情况下要学生放弃他们自己的做法(而又没有给出这样做的任何理由),而被迫去追随一种十分难以理解、并似乎是大可怀疑的做法,这无疑会造成严重的消极后果.这不仅会影响学生对于具体数学内容的掌握,而且必然会影响到他们对于数学这一学科、乃至对于自身数学学习能力的看法和信心.综上可见,由于教案中所设计的方法事实上是将一个十分自然的思维过程变成了一个难以理解的苦果,因此,就数学方法论在教学实践中的应用而言,我们就不仅应当明确强调”化难为易”和”化神奇为平凡”这一基本目标,而且也应注意防止因对方法论原则的不恰当应用而造成了相反的结果.特别地,笔者认为,我

18、们也就可以从这样的角度去理解外国学者关于数学启发法的以下论述:如果解题者面对所要解决的问题一无所措,数学启发法可能会给你一定的启示;但如果解题者对于如何求解问题已经有了自己的想法,这时最为恰当的做法就是,让他按自己的方法去做!最后,笔者并愿重申先前在 短评两则 这一文章中所已提及的一个观点:我们不能以为教材中没有采取这一做法,就认为学生所提出的解法”思路虽然很自然,但运算过程十分繁,从而实际上就是不可行的”.恰恰相反,由实际运算我们即可发现这一过程其实并不十分复杂(我们并可以此为基础去引出直线的法线式方程,包括指明后者的几何意义).从而,”我们就不应过分迷信教材,或者说,与所谓的 紧扣教材 相

19、比,我们更应强调亲身的实践.”案例之三 指数函数的导数正如上面所已提及的,亲身实践事实上就应被看成很好地掌握与运用数学方法论的基本途径.而也正是通过亲身的实践,笔者体会到:如果在教学过程中发3中学数学教学参考 2000年第6期现某一内容的处理(包括教材中所采取的方法,别人给出的教例,以及自己先前所采用的方法)不很自然,这或许就是自觉应用数学方法论来改进教学的一个很好的切入点,我们并可能因此而真正掌握数学方法论的精髓,因为,数学方法论说到底并不是一门纸上谈兵、夸夸其谈、借题发挥的”空洞学问”;而且,作为一门实践性的学科,一个人是否真正掌握了数学方法论,也只有看他能否创造性地对此加以应用,即成功地

20、以此为指导来解决所面临的具体问题.例如,由前面的论述我们已经知道,辅助线的添加往往就可被看成这样的一个”切入点”,与此相仿的显然还有辅助函数的引入.以下就是笔者在教学实践中的一个亲身经历 尽管后者已经超出了初等数学的范围,但读者或许仍可由此获得一定的启示.当时的教学内容是基本初等函数的导数.在弄清了线性函数、幂函数、正弦函数、余弦函数和对数函数的导数以后,余下的问题就是如何去求得指数函数y=ax(a 0)的导数.教材上对此是这样处理的:y=ax+x-ax=ax(ax-1),yx=axax-1x,y=limx0yx=axlimx0ax-1x.现令ax-1=t,则x=loga(1+t),又当x0时

21、t0,于是就有limx0ax-1x=limt0tloga(1+t)=1limt0loga(1+t)1t=1logae=lna.所以y=axlna.对上述过程进行分析,容易看出,其中的关键一步即在于引进了t=ax-1这样一个辅助函数.但这一步是怎样想出来的呢?我们又怎样才能使其对于学生来说是”可以理解的”和”可以学到手的”呢?在实际教学中笔者是这样做的:在得出了y=limx0yx=axlimx0ax-1x的表达式后,教师似乎”忘记了”应当如何去引进t这一个新的变量,这样,面前的问题就成了一个真正的挑战!而且,教师最初的两次尝试都失败了 从而,这就引起了学生们的极大兴趣:全班学生都提起了精神看教师

22、将如何处理这一难题.这时,教师放弃了盲目追随教材的做法,而是开始了”新”的思考:”让我们来看一下什么是已经解决了的?特别是,什么与目前所面临的问题是密切相关的?”显然,这时容易想到以下的事实:对数函数的导数(logax)=1xlogae.因此,指数函数即可看成对数函数的反函数.正是通过这样的分析,教师提出了这样的想法:”我们能否暂时 放弃 眼前的问题,而从更为一般的角度去考虑以下的问题:已知一个函数的导数,如何去求得它的反函数的导数?”显然,从纯形式的角度看,以下的问题是容易解决的,即有:反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.进而,将上述的一般性结论应用于指数函数这一”特例”,就立即获得了以下

23、的结果:(ax)=1(logay)=11ylogae=axlna.这样,原来的问题就获得了解决.在笔者看来,尽管以上的做法脱离了教材,甚至也违背了教材的”逻辑顺序”,但却使学生看到了真正的数学活动,特别是,以上的解题活动对于学生深刻领会”一般化方法”是十分有益的.这也就正如希尔伯特所指出的,”在解决一个数学问题时,如果我们没有获得成功,原因常常在于我们没有认识到更一般的观点,即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题中的一个环节.”综上可见,只要我们把数学方法论在数学教学中的应用真正看成是一种创造性的工作,并切实做到”化难为易”、”化神奇为平凡”,数学方法论就的确可以帮助我们极大地改善自己的教学.

24、从而,那种关于强调数学思维方法是否会影响数学知识和技能的教学的担心也就是完全不必要的.应当强调的是,从更深的层次看,能否自觉地以数学方法论来指导具体数学知识内容的教学就关系到了数学教育的根本目标.这就是指,相对于具体数学知识内容的学习而言,思维的训练显然是更为重要的,从而,我们也就应当把帮助学生学会数学地思维作为数学教育的最为重要的目标之一.也正是基于这样的考虑,笔者愿意引用ICMI研究丛书之一 数学与认识 中的两段话作为全文的结束,因为,尽管这两段话并不完全局限于数学方法论的范围,而是涉及到了所谓的”数学行为”(mathematicalbehavior),也即数学家的各种具体活动,但是,就其

25、基本的主张而言则又显然是与我们完全一致的:”这些工作所涉及的 是如何像数学家那样去工作 即如何构造一个证明或反例,如何选择一个一般性的例子,如何使定义精确化,等等,这些诀窍(know2hows)并不是任何课程的明显内容,但如果对它们缺乏认识与理解,学生便注定只能低层次地摹仿教师.”人们普遍地认识到诸如形象化、解题策略和各种表征之间的关系等论题有一定的问题,而造成这种现象的原因就在于它们一直被认为是可以自动地学会的,但我们现在知道,在教学和学习的过程必须明确地对此予以注意.对于这些应当明确地去教,但又不是作为一个单独的课题,而是渗透于整个课程之中,也即渗透于各个课题之中.”4中学数学教学参考 2000年第6期