中学数学情境与提出问题教学案例——高一函数复习.pdf

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1、数 J-T-教 J 学f 通l 汛 l -I 薰 l 薹 、J 1 年 J砉 案例与课例 中学数学情境与提出问题教学案例 高一函数复 习 1 教 学设计 1 1 教学内容分析(重庆 市云阳 中学4 0 4 5 0 0)王 俊；嗣；：=嗣；嗣；号；=；曩：；=爿；嗣；5；学 生：由 z ，去 ，得眦+三 _ 二 一 ，故眦 十 的最 厶 厶 大值为 教师问：何时取得最大值?学生答：当且仅当“一 z，bY时取到，一些 学生已发现了其 中的“破绽”，发出了憨厚的笑声，因为此时会推导出 4 9的错误结论!故 的值 厶 a 2 7+b y取不到 为什么会发生这样的错误?通过 师生互动，大家逐步悟出：两次

2、运用基本不等式求 最值必须满足两次取等号的条件要同时成立，而 同时取等号的条件太苛刻，所 以我们必须尽量避 免两次使用基本不 等式 为此，调整思路，将两式 相乘并成一式作整体处理：由(n。+b。)(。+Y。)=3 6得 a 2 z +b Y +a 2 Y。+b z z 一 3 6 a 2 z。+b。Y +2 a b x y，即(眦+b Y)。3 6，等号当且仅当 a y 时取到，于是+b Y的最大值为6，至此，问题 不应 该结 束 了事，还 应拓 展视 野，研究该 问题 是否还有其他解决 的方法，以此培养学生思维 的 发散性和独创性，于是笔者进一步引导大家展开 讨论，很快得出了其他解法：解法

3、2：(三角代换法)令“一 c o s a，b s i n a，z一 3 c o s p，Y一 3 s i n ，则(+b Y一 6(c o s c o s p+s i n a s i n f1)一 6 c o s(ap)，故当 c o s(a p)=1时，懈+的最大值为 6 解法 3：(构造向量法)设 p一(d，6)，口一(z，)，则 p l 一 2，l g l 一 3，函数是高中数学 的基础 内容，也是最重要的 内容之一，它为解决其他数学问题提供了有力工 具，从而成为高考的重点和热点 函数模块又包含 于是 d +b y pg l p 1 1 g l c o s O 6 c o s O，其中0

4、为p与 g的夹角 故当 c o s O一 1时，a 3 c+b y的最大值为 6 解法 4：(g o 造函数法)设厂()一(a t )。+(b t 一3，)，显然，()0恒成立 即 厂()一(d +b )一2(a x+)+z。+Y 亍4 t 一2(a x+b y)t+9 0对于任意实数 t 恒 成立 所 以 一 4(a x+)。一 4 49 0，即 一6 眦+6，等号当且仅当a t x b t Y 一0时成立，故 n z+的最大值为 6 该问题我们从反思错因开始，发现了它的三 种不同解法，至此我们还可以再作如下总结和推 广：(1)本题的实质为：(d +6 )(z +Y )(a x +)，当且仅

5、当 a y一妇 时取等号 (2)把本题可以改编为：实数 a，b，C，z，3 ，z 满 足 n +b。+C =4，z +Y +z =9，则 船+b y +C Z的最大值仍为 6 其实质为：(n +b +C )(z +Y +z )(a x +C Z)(3)若把问题推广到 n的情形，则其实质为：(n +n l+n )(5 21+)(n b +d 2 b 2+a,jb )通过这样 不断引导学生从反思错误，到拓展 解题思路，最后得了柯西不等式 的一般形式，学生 仿佛经历了一次由反思错误，到创造发现的数学 探索过程，在这一过程中，学生所学 的数学知识得 以巩固，解题技巧得到了训练，数学思想方法得以 有效的

6、渗透，从 而提高了思维 能力和优化 了思维 品质 维普资讯 http:/ 了众多知识点和数学思想、数学方法，涉及面广，应用 层面 多，从 而成 为高 中数学 的难点 1 2 学生状 况 分析 云阳中学是重庆市重点 中学，学生素质相对 较好 高一(一)班又是实验班，学生勤思好学，有 较好的学习习惯和思维能力 在这之前，学生已学 完函数章节的全部 内容，初步掌握 了函数 中的一 些思想 和方 法 1 3 教 学 目标 通过提出问题、解决问题，增强学生对函数模 块的知 识、方 法、思 想 的 理解 和掌 握，建立 起 函 数 模块的知识体系；促进学生归纳、总结和反思的学 习能力；激发学生学习数学的兴

7、趣 和研究数学问 题的自主性 1 4 情境 的创 设 函数模块的知识、方法和思想 比较多，学生要 从提出问题、解决问题的过程中总结 和归纳这些 知识和方法，就必须创设一个学生熟悉的、能亲身 体验的数学情境，从而激活学生的思维，激发其学 习主动性 受贵州桐梓一 中管理河老师的案例 函 数复 习(高 三)的启发，及 2 0 0 6年 高考(上 海 卷)(理)第 2 2 题 的启示；结合我校的实际情况，前 一周，校团支部为纪念红军长征胜利 7 O周年，开 展 了黑板报和美术作品展 我 以美术展为背景，创 L 设 了以函数 Y一+(O)为研究对象的 工 数学情境 2 教学过程 2 1 情 境展 示 师

8、：前一周学校团支部为纪念长征胜利，在美 术作品展览中有一设计要求，请看屏幕 为纪 念 红 军 长征 胜 利 7 O周 年，云 阳中学团支部开展 了美术 作品展 览，要 求参赛 的作 品设 计 为 宽 c m，长 为 Y c r iq的矩 形 画 图，矩形的上部分为正方形，下部 分 留 9 c I n 的 面积 标 写作 者 的 班 级 和 姓 名，如 图 l：师：请 同学们根据 提供 的信 图 1 案倒与课倒 息，用已学过 的知识，提出你关心的、感兴趣的数 学 问题 2 2 问题 的提 出 学生经过 2分钟左右的思考和讨论，提出了 以下两个数学问题：问题 l：寻找题 目中的 X和 Y的关系 问

9、题 2：寻找图形 中正方形和小矩形 的面积关 系 师：这两个问题提得很好!我们先来解决刚提 出来的问题，看能不能找到 X和Y的关系 请张昕 同学说说你的答案!生 l：X和 Y的关系是：9+X。=x y 师：你是怎样得到这个关系式的 生 1：由图可知，上面的正方形面积加下面矩 形的面积就等于整个大矩形 的面积，从而得 出上 述关系式 师：很好!你不但准确地找 出了 X、Y的关 系 式，而且把第二个 问题的答案说出来 了，请坐!下 面我们来进一步研究 X、Y这两个量的关系 这里 的两个量 X、Y是常量还是变量?众：是变量!师：对于两个变量间的关 系，我们最熟悉的就 是函数关系，它们能不能构成 函数

10、关 系?如能，找 出表达式，如不能，说说理由!生 2：由函数的定义知，能构成函数 其中以 X 为 自变量，以 Y为函数，表达式为：Y X+旦 师：回答非常好!你再说说你是怎样得到这一 表达式的呢?生 2：只要在原关系式 9+X。=x y中，两边同 除以 X就得到了!师：能直接除以 X吗?生 3：如果只看这一个关系式，不能除，因为 X 的值有可能为 0；但从题意知，X是画面的宽，所 以 不能为 0，因此等式两边可以同除 X 师：回答得非 常精彩!对 于这个 函数，你想研 究 它 的哪些 问题 呢?学生相继地提出了 8个问题，去掉重复，我把 研究的问题板书在黑板上：问题 1：研究此函数的定义域 问

11、题 2：研究此函数的值域 维普资讯 http:/ 案例与课例 问题 3：研究此函数的反函数 问题 4：研究此函数的图像 问题 5：研究此函数的单调性 问题 6：研究此 函数的奇偶性 问题 7：研究此函数的周期性 2 3 问题 解 决 由于还没有学函数的周期性，问题 7现在不 作研究 分组探究 问题 1 6 师：请选 问题 1的小组代表报告你们的研究 结果 问题 1的代表：这个 函数 的定义域 是：(O，+)师：这个问题我们前面刚研究过，知道 z只能 取正数，但 X的取值能无限大吗?生 1：不能吧，因为画图的下面是一个面积为 9 c m 的矩形 生 2：不对，应该能，因为当矩形的高很小时，它的宽

12、 X就可以无限增大了 师：说得好!事实上，在实际生活 中，z的取值 不能取到无限大；但我们这是一种理论研究，只研 究X的可能取值 所以，X的值可以无限大，即定义 域是(O，+。)请问选问题 1的小组，你们研究 了求 函数定 义域的类型和方法吗7 问题的代表：研究了，从我们接触过的求定义 域的问题，归纳为三种：类 型 1：有具体解析式的函数 一(要函数式有 意义)类型 2：复合函数的定义域 一(内函数 的值域 是外函数的定义域)类型 3：实际问题 一(不仅 函数式要有 意义，而且要有实际意义)师：研究的非常好!我们研究的这个函数就是 第三类；再 问一下，求定义域的常用方法是什么?解 不等 式或不

13、 等式 组!师：大家注意，定 义域是研究 函数 的重要 内 容，忽视了它，会导致解题 的错误 如判断奇偶性，求单调区间，求 函数 的值域、最值或极值，以及 画 函数图像等，必先求 出定义域 师：下面我们请 问题 2的代表发言 问题 2的代表：函数的值域是；6，+)师：回答正确，你们是怎样求解 出来的呢?问题 2的代表：我们是 用画图像来求解 的，如图 2 所示：师：画出图像，利用数 形结合来 求，是个 好方法，还 用 了其 他方法 吗?生：我 用 了 判 别 式 法，也求得值域是 6，+。)图 2 师：说说你的解答过程!生：原函数可化为：z。一y x+9 0，因为等式 成立，所以判别式 A=(

14、一 )一4 9 0，又因为 Y 的值只能为正，所以解得 Y 6 师：很精彩!同学们，我们解决 问题的方法不 是唯一的，要学会从 多角度思考 问题，寻求答案，从而发展我们的思维能力 请问题 2的代表说说，你们归纳了求值域的哪些方法?问题 2的代表：常用 的求值域的方法有：配方 法、换元法、图像法、反函数法、判别式法、单调性 法 特别注意的是求值域，一定注意定义域 师：很好!我们不但要 知道这些方法，而且要 能正确应用这些方法解决 问题 下面请问题 3的 代表汇报你们的研究结果 问题 3的代表：这个函数没有反 函数，因为由 图像可看出，一个 函数值 可以对应两个不同的 自 变量值，如 Y一 1 0

15、 时，有两个值X=1 或 X一9，所 以不能构成单值映射，即原函数没有反函数 师：说得好!但你们想过没有，这个 函数在哪 样一个区间上就会有反函数呢?生 3：原函数在区间(o，3 或 3，+o。)上存在 反函数，因为在这两个区间上函数有单调性 师：回答正确，但只有这两个区间吗?、生 4：不是，应有无数个区间，使原 函数存在反 函数 因为只要是 区是(o，3 或 3，+o。)的子区 间就行!师：对!这是 因为单调 函数必存在反 函数 如 果求原函数在区间 3，+)上的反函数，你会吗?众：先将函数式看成是关于 X的一个方程，解 出：z一厂()；再将 z、Y互换，得 Y一 厂()；求 维普资讯 ht

16、tp:/ 原 函数的值域及反函数的定义域 师：很好!课后请你去把结果解出来!请 问题 4 的代表 汇报 工作 问题 4的代 表：图 Y l 像 是 一 个勾 形，其转 折 衰 ：有 茎 。6 l，)xy 限 有 图，且 以 轴 和 直 o l 线y z 为渐近线，如图 I。3 7 l 师：正确!画函数 图 像主要有两 种方法：一 图3 种是描点法，一种是图像变换 请研究问题 5的代 表来报告他们的结果 问题 5的代表：函数在区问(O，3 上是单调递 减，在区间 3，+)上是单调递增 师：回答正确，你们是用什么方法判断的呢?问题 5的代表：我们用三种方法来判断：1)图 像法；2)定义法；3)导数

17、法 师：图像刚才 已画了，那你说说，用导数判断 的过 程 生：因为厂(z)=z+，所以厂(z)的导函数 是：厂 ()：1 9，令 1 一 9 O，又因为 z 0 所以解得z 3，所以原函数在 3，+)上单调递 增，而在(o，3 上单调递减 师：好!你再说说，判断 函数的单调性还有哪 些 方法?生：可以用单调性的性质来判断，还可以用复 合函数“同增导减”来判断 师：很好!你们还有什么研究结果吗?生：有!证明 函数单调性 只有两种方法：定义 法和导数法 易错点：求单调区间时，要注意定义 域的范围 我们还归纳了单调性 的应用，主要有 比 较大小；解函数不等式；求值域或最值；画图像等 方 面 师：说得

18、很精彩!感谢 你们 的研究 请 问题 6 的代表发 言 问题 6的代表：我们的结论是：这是一个非奇 非偶函数，因为定义域(O，+。)不关于原点对称 师：结论正确!并指出了判断函数奇偶性的必 层 境 界：见 题 是 解；见 题 不 是 题；见 题 还 是 题!如 对 数 l 函 数 z+，能 不 能 提 出 一 些 变 式 函 数 来?荔 1 0 l 生 4 可 帔 为 l+I；也可变为：一一2 z+j z生 5：还可变为：Y：二 导、Y：一 z 导 雪 1荤 生：还 可 变 为：z 一 三、=一 z-兰_等 l 等!期 概括呢?1 月 生 7：可以变成：x 2+9、：+9 生 9：还 可 以

19、变 为：z z 一 导、一 一 z+导 维普资讯 http:/ 总I 案例与课例 师：非 常精彩!今 天 的课 后 作 业，就是 研 究 大 家刚才提出的这 1 o个变式函数，像研究函数 Y z+导 一 样，归 纳 函 数 ：a x”+刍的 一 系 列 性 质，写成一篇数学小论文 3 教学反 思 3 1 数学“情境 一 问题”教学，激发 了学生的主 动 参与 在传统教学中，特别是复习课，老师常用单一 的讲授方式教学，学生在知识 系统的构建 中缺乏 主动性，被动强化存储教师传授的数学知识 而中 小学“数学情境与提出问题”教学，让学生置身于 数学活动中，以 自己的经验和认知基础，对教师提 供的数学

20、情境提出问题，然后在主动、积极地去探 索和解决 自己提出的问题，在 这个提 出问题与解 决问题的过程中深刻感受数学、体验数学、认知数 学，从而建立起 自己的数学知识体系，达到更好地 掌握数学知识，理解数学思想，提高数学思维能力 的 目的，同时分享提出问题，解决问题带来的成功 感 和乐趣 3 2 数学情境是提 出问题的前提 本课 以学校开画展为背影，设置课堂数学情 n 境，再以研究的函数 Yz十旦 为纽带，激发学生 Z 提出问题 从课堂教学情况来看，刚开始，学生从 画展的数学情境中提 出问题时，由于缺乏明确 的 思维 目标，有 的学生提 出了与主题相离甚远 的问 题，如一个学生提出了画面的颜色配

21、置问题 经过 n 引导，有了函数 Yz 十三，提出研究函数的性质，工 有 了明确的 目标，学生 的思维激活了，提出问题 n 快，质量也高；课堂最后，根据函数 Y=z十三 提 Z 出变式时，学生思维更加活跃，提 出了我预先没料 到的问题，而且归纳概括性也强 由此我感悟到，老师在创设数学情境时，必须认真分析学生的身 心特点，知识水平，切 实把握教学 内容和教学 目 标，综合考虑，创设更有利于学生尽快进行思维状 态的数学情境，这样学 生才能提 出高质量 的与教 学有实质关系的问题，少走弯路不浪费课堂时间，提高课堂教学效益 3 3 本课存在 的遗 憾 本课教学 内容较多，对高一学生来说要求较 高 宜再

22、增加一课时，结合上海高考试题，对学 生 提出的变式问题进人深人地探讨；最好是用 几何 画板 展示函数 一 ”+兰，当 ，N为定 值，“，b变化 的图像和性质；当“，b为定值，变 化时的图像和性质 注：上海 2 0 0 6 年高考数学试题(2 2 题)已知函 数 z+兰有如下性质：如果常数 口 0，那么该 工 函数在(o，伺上是减函数，在 ，+)上是增 函数 o b (1)如果函数 Y z十(z O)的值域为 工 6，+。)，求 b的值；(2)研究函数 Y z +C(常数 c O)在定 Z 义域内的单调性，并说明理由；(3)对函数 z+旦 和Y=z +(常数 工 Z n O)作出推广，使它们都是

23、你所推广的函数 的 特例，研究推广后 的函数的单调性(只须写 出结 1 1 论，不必证明)，并求 函数 F(z)一(z。+)”+(Z Z一 1 +z)”(是正整数)在区间 ，2 上的最大值和 厶 最小值(可利用你的研究结论)点评：本课是利用已有教学资源，并有所有发 展，具有一定创意 的好课，希望不 断实践完善，扛 造教学精品!(贵州师范大学 汪秉彝教授)，参考文献 1 吕传汉，汪秉彝 中小学数学情境与提出问题教学探 究 贵阳：贵州人民出版社 2 0 0 2 2 吕传汉，汪秉彝 中小 学数学 情境 与提 出问 题教学 研 究 贵阳：贵州人民出版社，2 0 0 6 3 管理河 函数复习(高 三)中小学 数学 情境 与提 出问 题教学研究，2 0 0 2 t _-l1 j1 J 1 1-J _-1-_ _ _ _ _ _，_ _ Ll r_ _ I 一 维普资讯 http:/