电磁场镜像法ppt课件.ppt

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1、第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 3.8.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 3.8.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 3.8.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 3.8.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 3.8.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.8.6 线电流线电流与无限大磁介质平面的镜像与无限大磁介质平面的镜像 3.8 镜像法镜像法1第3章 静态电磁场及其边

2、值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 当当有有电电荷荷存存在在于于导导体体或或介介质质表表面面附附近近时时，导导体体和和介介质质表表面面会会出出现现感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷，而而感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷将将影影响响场场的的分分布。布。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解，可以用等效电荷的电位替代解，可以用等效电荷的电位替代1.问题的提出问题的提出几个实例几个实例接接地地导导体体板板附附近

3、近有有一一个个点点电电荷荷，如如图图所所示。示。q qqq非均匀感应面电荷非均匀感应面电荷等效电荷等效电荷3.8.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理2第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似

4、，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。结论结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？这种等效是否合理？q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷3第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.镜

5、像法的原理镜像法的原理3.镜像法的理论基础镜像法的理论基础 解的惟一性定理解的惟一性定理方法方法：在在求解域外求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电设置等效电荷，集中代表边界上分布电荷的作用荷的作用目的目的：使复杂边值问题，化为使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间无限大单一媒质空间的问题的问题4第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 像电荷的像电荷的个数个数、位置位置及其及其电量大小电量大小“三要素三要素”；

6、4.镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5.确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。5第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题

7、也很明确3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像1.1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像原问题原问题qzx =h由由图图可可知知，接接地地导导体体板板附附近近有有一一个个点点电电荷荷时时，电电力力线线垂垂直直导导体体板板，等等位位线线平平行行导导体体板板。这这是是点点电电荷荷与与导导体体板板上上的的感感应应电荷共同作用的结果。电荷共同作用的结果。计算机模拟的接地导体板附近计算机模拟的接地导体板附近有一个点电荷时的电场分布图有一个点电荷时的电场分布图6第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科

8、技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确显然可将感应电荷的作用用位于显然可将感应电荷的作用用位于h的像电荷的像电荷qq替代。替代。qqzx h-h RRO结论：有效域方程不变且满足边界条件，所得解是原问题的解。结论：有效域方程不变且满足边界条件，所得解是原问题的解。qzx =h考考察察原原问问题题是是否否得得到到满满足足：由由于于像像电电荷荷位位于于z0区区域域，原原方方程不变，且有程不变，且有P有效区域有效区域7第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技

9、大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确上半空间上半空间(z0）的电位函数）的电位函数q q 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为导体平面上总感应电荷导体平面上总感应电荷等于镜像电荷！等于镜像电荷！8第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对

10、无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：镜像线电荷：满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解正确。所得的解正确。电位函数电位函数原问题原问题当当z=0时，时，有效区域有效区域9第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如如图图所所示示，两两个个相相互互垂垂直直相相连连的的半半无无限限大大接接地地导导体体平平板板，点点电荷电荷q 位

11、于位于(d1,d2)处。处。显显然然，q1 对对平平面面 2 以以及及q2 对对平平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1,d2)对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于(d1,d2)只有在只有在(d1,d2)处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3=q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d110第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电

12、子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确qd12d2160qd12d2175可得出什么结论？可得出什么结论？qd12d2112011第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确如如果果两两导导体体平平面面不不是是相相互互垂垂直直、而而是是相相交交成成一一定定角角度度，只只要要 (n为为整整数数)，就就可可以以用用镜镜像像法法求求解解，镜像电荷数

13、为镜像电荷数为(2n-1)。当当夹夹角角为为60的的两两个个半半无无限限大大接接地地导导体体平平板板之之间间有有一一个个点点电电荷荷q时，镜像电荷的位置示意图时，镜像电荷的位置示意图由由图图可可知知，点点电电荷荷q共共有有5个像电荷个像电荷6个个电电荷荷两两两两成成对对地地分分别别构构成成两两个个平平面面（包包括括平平面面的的延延伸伸部分）的镜像关系，缺一不可部分）的镜像关系，缺一不可q12第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出

14、的问题也很明确 例例3.8.1 一一个个点点电电荷荷q与与无无限限大大导导体体平平面面距距离离为为d，如如果果把把它它移移至无穷远处，需要做多少功？至无穷远处，需要做多少功？解解：移移动动电电荷荷q时时，外外力力需需要要克克服服电电场场力力做做功功，而而电电荷荷q受受的的电电场场力来源于导体板上的感应电荷。可以先力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。移至无穷远时电场力所做的功。由由镜镜像像法法，感感应应电电荷荷的的电电场场可可以以用用像像电电荷荷qq 替替代代。当当电电荷荷q 移移至至 x时时，像电荷像电荷q应位于应位于x，则有，则有qqx =0d-d1

15、3第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.8.3 导体球面的镜像导体球面的镜像1.点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。q应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷不影响原方程），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位

16、于半径为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d。方法方法：利用导体球面上电位为零确定：利用导体球面上电位为零确定 和和q。问题问题：PqarRdqPaqrRRdd14第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零，即即 0，得，得此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。条件：若条件：若像电荷的位置像电荷的位置像电荷的电量像电荷的电量qPaqaRRd

17、d镜像电荷小于原电荷！镜像电荷小于原电荷！15第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确可见，可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。球外的电位函数为球外的电位函数为导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为16第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技

18、大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确用用计计算算机机模模拟拟的的，接接地地导导体体球球旁旁有有一一个个点点电电荷荷q q时时，空空间间的电位、电场分布图的电位、电场分布图由由图图可可知知，点点电电荷荷q q产产生生的的电电力力线线只只有有一一部部分分终终止止在在导导体体球球上上，另另一一部部分分延延伸伸至至无无穷穷远远。所所以以17第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有

19、一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确qq该如何分析？该如何分析？18第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导体球壳的镜像 如图所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a、外半径为、外半径为b，点电荷，点电荷q 位于球壳内，与球心相距为位于球壳内，与球心相距为d(d|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量可见镜像电荷的电荷量大于点电

20、荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（无关（为什么？为什么？）aqdobqrRRaqdod19第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球壳内的电位球壳内的电位感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为导体球面的内表面上上的总感应电荷为导体球面的内表面上上的总感应电荷为可见，在这种情况下，可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量

21、不相等镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。20第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确用用计计算算机机模模拟拟的的，接接地地空空心心导导体体球球壳壳中中有有一一个个点点电电荷荷q q时时，球内空间的电位、电场分布图球内空间的电位、电场分布图由由图图可可知知，点点电电荷荷q q在在内内球球面面将将产产生生电电量量为为q q的非均匀感应电荷的非均匀感应电荷感感应应电电荷荷的的总总量量不不等等于于镜镜像像电电荷荷，也也就就是

22、是说说，用用镜镜像像电电荷荷替替代代感感应应电电荷，只是作用上的等效荷，只是作用上的等效21第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确该如何分析？该如何分析？q22第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对

23、不接地导体球的镜像 先先设设想想导导体体球球是是接接地地的的，则则球球面面上上只只有有总总电电荷荷量量为为q的的感感应应电电荷分布，则荷分布，则 导体球不接地时的特点：导体球不接地时的特点：导体球面是电位不为零的等位面导体球面是电位不为零的等位面；球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应总的感应 电荷为零电荷为零。采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不的不接地导体球外，距球心为接地导体球外，距球心为d。PqarRdO23第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其

24、边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 然后断开接地线，并将电荷然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而加于导体球上，从而使总电使总电荷为零荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 应均匀分布应均匀分布在导体球面上，可用一个位于球心的镜像电荷在导体球面上，可用一个位于球心的镜像电荷q来替代，即来替代，即球外球外任意点的电位为任意点的电位为qPaqrRRddqO24第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题

25、的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷q qa a=+a aaq qaq qa+qPaqrRRddq25第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确点电荷对不接地空心导体球壳的镜像点电荷对不接地空心导体球壳的镜像aqdobaqobPaqrRRdd

26、qPbrqq=-q26第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确用用计计算算机机模模拟拟的的，不不接接地地空空心心导导体体球球壳壳中中有有一一个个点点电电荷荷q q时时，球内外空间的电位、电场分布图球内外空间的电位、电场分布图点点电电荷荷q q在在内内球球面面将将产产生生电电量量为为q q的的非非均均匀匀感应电荷感应电荷球球的的外外表表面面有有均均匀匀分分布布的的电电荷荷，总总量量为为q q，球球外外空空间间的的电电位

27、位分分布布与与均均匀带电导体球相同匀带电导体球相同球球内内空空间间的的电电位位分分布布与与接接地地空空心心导导体体球球内内的的分布类似分布类似27第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确qq该如何分析？该如何分析？28第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所

28、提出的问题也很明确该如何分析？该如何分析？q29第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.8.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像问题问题：如图如图 1 所示，一根电荷线密度为所示，一根电荷线密度为l 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的无限的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为行且到轴线的距离为d。图图1 线电线电荷与荷与导导体体圆圆柱柱图图

29、2 线电线电荷与荷与导导体体圆圆柱柱的的镜镜像像特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。分析方法分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与轴线镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图平行的无限长线电荷，如图2所示。所示。1.线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像30第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也

30、很明确由于上式对任意的由于上式对任意的都成立，因此，将上式对求导，可以得到都成立，因此，将上式对求导，可以得到由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数31第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确导体圆柱面外的电位函数：导体圆

31、柱面外的电位函数：由由 时，时，故故导体圆柱面上的感应电荷面密度导体圆柱面上的感应电荷面密度导体圆柱面上单位长度的感应电荷导体圆柱面上单位长度的感应电荷感应电荷与镜像电荷相等感应电荷与镜像电荷相等32第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.两平行导体圆柱的电轴两平行导体圆柱的电轴图图1 两平行两平行导导体体圆圆柱柱图图2 两平行两平行导导体体圆圆柱的柱的电轴电轴特点特点：由于两圆柱带电导体的电场互相由于两圆柱带电

32、导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。电荷密度较小。分析方法分析方法：将导体表面上的电荷用线密将导体表面上的电荷用线密度分别为度分别为 、且相距为、且相距为2b 的两根无限的两根无限长带电细线来等效替代，如图长带电细线来等效替代，如图2所示。所示。问题问题：如图如图1所示，两平行导体圆柱的所示，两平行导体圆柱的半径均为半径均为a，两导体轴线间距为，两导体轴线间距为2h，单，单位长度分别带电荷位长度分别带电荷 和和 。33第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边

33、值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确图图2 两平行两平行导导体体圆圆柱的柱的电轴电轴 通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。这种方法又称为电轴法。由由 利用线电荷与接地导体圆柱面的利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定镜像确定b。思考思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？34第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及

34、其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确偏芯同偏芯同轴线轴线两不同半径平行两不同半径平行导导体体圆圆柱柱两不同半径两不同半径导导体球体球能否用镜象法求解？35第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.8.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 图图1 1 点

35、点电电荷与荷与电电介介质质分界平面分界平面特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。电荷共同产生。图图2 2 介介质质1 1的的镜镜像像电电荷荷问题问题：如图如图 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为1 和和2 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质在电介质 1 中有一个点电荷中有一个点电荷q，距分界平面为，距分界平面为h。分析方法：分析方法：

36、计算电介质计算电介质 1 中的电位时，用位中的电位时，用位于介质于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上的极化中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为电荷，并把整个空间看作充满介电常数为1的的均匀介质，如图均匀介质，如图2所示。所示。36第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确介质介质1中的电位为中的电位为 计算电介质计算电介质 2 中的电位时，用位于介中的电位时，用位于介质质 1 中的镜像

37、电荷来代替分界面上的极化中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为电荷，并把整个空间看作充满介电常数为2 的均匀介质，如图的均匀介质，如图 3 所示。介质所示。介质2中的电中的电位为位为图图3 3 介介质质2 2的的镜镜像像电电荷荷37第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确可得到可得到说说明：明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于

38、分界面的无 限长线电荷（单位长度带限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为），其镜像电荷为利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件38第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确线电荷与介质圆柱线电荷与介质圆柱adq点电荷与介质球点电荷与介质球能否用镜象法求解？39第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来

39、学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确图图1 1 线电线电流与磁介流与磁介质质分界平面分界平面图图2 2 磁介磁介质质1 1的的镜镜像像线线电电流流特点特点：在直线电流在直线电流I 产生的磁场作用下，磁介产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。问题问题：如图如图1所示，磁导率分别为所示，磁导率分别为1 和和2 的两的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质质1中有一根无限长直线电流平行于分界平

40、面，中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为且与分界平面相距为h。分析方法分析方法：在计算磁介质在计算磁介质1中的磁场时，用置中的磁场时，用置于介质于介质 2 中的镜像线电流来代替分界面上的磁中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为化电流，并把整个空间看作充满磁导率为1 的的均匀介质，如图均匀介质，如图2 所示。所示。3.8.6 线电流线电流与无限大磁介质平面的镜像与无限大磁介质平面的镜像 40第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学

41、习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 因为电流沿轴方向流动，所以矢量磁位因为电流沿轴方向流动，所以矢量磁位只有分量，则磁介质只有分量，则磁介质1和磁介质和磁介质2中任一点的中任一点的矢量磁位分别为矢量磁位分别为图图3 3 磁介磁介质质2 2的的镜镜像像线电线电流流 在计算磁介质在计算磁介质2中的磁场时，用置于介中的磁场时，用置于介质质1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为电流，并把整个空间看作充满磁导率为2的的均匀介质，如图均匀介质，如图3所示。所示。41第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其

42、边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确相应的磁场可由相应的磁场可由 求得。求得。可得到可得到故故利用矢量磁位满足的边界条件利用矢量磁位满足的边界条件42第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.9 分离变量法分离变量法 将偏微分方程中含有将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成个

43、自变量的待求函数表示成n个各自只个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路分离变量法解题的基本思路43第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电

44、磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确位函数的通解位函数的通解或或Oabxy 直角坐标系直角坐标系Oabxy44第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 圆柱坐标系圆柱坐标系（与（与z无关的情况，即无穷长圆柱问题）无关的情况，即无穷长圆柱问题）球坐标系球坐标系（与（与 无关的情况）无关的情况）周期性

45、条件下：周期性条件下：=n(n=1,2,3,)45第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 问题给定的问题给定的边界条件边界条件（不同问题，形式不同）（不同问题，形式不同）不同介质分界面不同介质分界面的的边界条件边界条件 导体表面导体表面的的边界条件边界条件边界条件边界条件46第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让

46、学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 有限性有限性(位函数在没有源的地方应该为有限值位函数在没有源的地方应该为有限值)例例1：外场中的介质球，表面极化电荷也会产生电位。由于无外场中的介质球，表面极化电荷也会产生电位。由于无 穷远处只剩下外电场，且球心处电位应为有限值，则有穷远处只剩下外电场，且球心处电位应为有限值，则有axrE0介质球介质球 PO47第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出

47、的问题也很明确 对称性对称性(因激励源和边界形状等因素，场具有一定对称性因激励源和边界形状等因素，场具有一定对称性)例例3：电位电位 对于对于 为奇函数，只取为奇函数，只取sinn 项，得项，得例例2：电位：电位 对于对于 为偶函数，只取为偶函数，只取cosn 项，得项，得rxrE介质柱介质柱-PPOrxr-PPV0V0O48第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 解解 电位函数满足边界条件：电位函数满足边界条件：

48、例例 3.9.1 均匀外电场均匀外电场 中，中，有一半径为有一半径为 a 的无限长导体圆柱，其的无限长导体圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求如图所示。试求导体圆柱导体圆柱外的电位外的电位函数和电场强度。函数和电场强度。xyaE0oP(,)由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 49第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着

49、问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确根据根据，得，得再由边界条件再由边界条件，可求得，可求得xyaE0电场线电场线等位面等位面50第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 例例 3.9.2 设半径为设半径为a，介电常数为，介电常数为 的介质球放在无限大的真的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场空中，受到其内均匀电场 E0 的作用，如图所示。试求介质球内的作用，如图所示。试求介质

50、球内的电场强度。的电场强度。解解 取取球球坐坐标标系系，令令 E0 的的方方向向与与 z 轴轴一一致致，即即 。显显然然，此此时时场场分分布布以以 z 轴为旋转对称，因此与轴为旋转对称，因此与 无关。无关。则球内则球内/外电位分别为外电位分别为E0zxa051第3章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在球面上，球内、外电位函数满足边界条件：在球面上，球内、外电位函数满足边界条件：52第3章 静态电磁场及其边值问题的解静