全微分及其应用ppt课件.ppt

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1、在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确7.4 全微分及其应用全微分及其应用一一.全微分的定义全微分的定义二二.可微与连续、可偏导之间的关系可微与连续、可偏导之间的关系三三*.*.全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用1在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确小小的变化的变化,下面我们讨论一个具体的实例下面我们讨论一个具体的实例.二元函数在两个自变量都有微小变化时二元函数在两个自变量都有微小变化时，函数改变量函数改变量也有微也有微xyxyyxxyy,

2、则其面积为则其面积为 S=xy,是是 x和和 y 的二的二1.1.全微分的定义全微分的定义例例1 如图所示的矩形长和宽为如图所示的矩形长和宽为 x 和和函数函数.若边长若边长x和和y分别取得微小改变量分别取得微小改变量 则面积则面积S也相应有一个改变量也相应有一个改变量一一.全微分的定义全微分的定义2在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确近似地表示近似地表示由于由于 则则如是如是,面积的全增量面积的全增量 的表达式中包含两部分的表达式中包含两部分,第一部分第一部分 是是 和和 的线性函数，的线性函数，第二部分第二部分（当（当

3、无穷小量无穷小量,此时在此时在时时)是比是比从而可用第一部分从而可用第一部分和和很小时，很小时，就可略去高阶无穷小量就可略去高阶无穷小量 3在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确可表示为可表示为定义定义7.4.1 若函数若函数 在点在点处的某邻域处的某邻域 定义，定义，如果函数在如果函数在 处的全增量处的全增量内有内有S 的全微分的全微分.类似于一元函数的微分类似于一元函数的微分,也称它为也称它为其中其中 是只与点是只与点 有关而与有关而与和和无关的常数无关的常数,是当是当时比时比 更高阶的无穷小更高阶的无穷小量量,则称函数

4、则称函数 在点在点 可微可微,并称并称为为 4在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确若若 z=(x,y)在区域在区域 D上每一点都可微上每一点都可微,则此时又称则此时又称在区在区域域D上可微上可微.在点在点 处的全微分处的全微分,记作记作 ,即即函数函数或或 例例2 求函数求函数 在点在点 处当处当 时的全增量时的全增量与全微分与全微分.解解 全增量全增量 由于由于 5在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确定理定理7.4.1 若函数若函数 在点在点 处可微

5、处可微,则函数则函数在在 处必连续处必连续.证证 因为因为 在点在点 处可微，则当处可微，则当二二.可微与连续、可偏导之间的关可微与连续、可偏导之间的关系系则全微分为则全微分为6在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确从而可得从而可得时时,也有也有则函数则函数在在 处必连续处必连续.的偏导数必存在的偏导数必存在,且其全微分为且其全微分为在在 处处定理定理7.4.2 若函数若函数 在点在点 处可微处可微,则函数则函数7在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确证证

6、 因为因为 z=(x,y)在点在点(x0,y0)处可微处可微,则对点则对点(x0,y0)的某个的某个特别地特别地，当当 时时,即为即为邻域内的任意一点邻域内的任意一点 均有均有8在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确是是 的高阶无穷小的高阶无穷小.重要结论重要结论:函数函数 z=(x,y)的各偏导数存在的各偏导数存在,仅是全微分存在的仅是全微分存在的注注3 对于二元函数对于二元函数 z=(x,y),若它的偏导数都存在若它的偏导数都存在,也不一定是也不一定是(x,y)的全微分的全微分.因此时并不能保证因此时并不能保证必要条件必

7、要条件,而非充分条件而非充分条件.比如比如9在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确不是不是 的高阶无穷小的高阶无穷小.10在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确以下定理为全微分存在的充分条件：以下定理为全微分存在的充分条件：定理定理7.4.3若函数若函数 z=(x,y)的偏导数的偏导数在点在点(x,y)处可微处可微,且且证证 因为因为为一元函数之差为一元函数之差.而两个偏导数在而两个偏导数在(x,y)的某个邻域内存在的某个邻域内存在,故故 注意两个括号中注

8、意两个括号中,前者前者 未变未变;后者后者x未变未变;因而皆可视因而皆可视的某个邻域内存在且在点的某个邻域内存在且在点(x,y)处连续处连续,则函数则函数 在点在点11在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确而两个偏导数在而两个偏导数在(x,y)的某个邻域内的某个邻域内可由拉格朗日中值定理可由拉格朗日中值定理,得得 连续连续，则则12在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确全微分等于它的两个偏微分之和，即全微分等于它的两个偏微分之和，即注注4 在上式中称在上式

9、中称为为 z 对对 x 的偏微分的偏微分,并记为并记为 z 对对 y 的偏微分的偏微分,并记为并记为故函数故函数 在点在点 处可微，且处可微，且而而 ,则函数则函数 的全微分为的全微分为从而二元函数的从而二元函数的13在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确注注5 此定理并未说明此定理并未说明“函数函数 z=(x,y)的偏导数在点的偏导数在点(x,y)处处不连续不连续,就一定有函数就一定有函数 z=(x,y)在在(x,y)处不可微处不可微”.例例解解14在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯

10、度，由浅入深，所提出的问题也很明确则函数则函数(x,y)在在(0,0)处可微处可微.15在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例3解解例例4因为因为则则 求函数求函数 的全微分的全微分.求函数求函数 求函数求函数 的全微分的全微分.16在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确三三*.全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用解解因为因为所以所以注：二元函数的全微分可推广到注：二元函数的全微分可推广到 n 元函数元函数.由由全微分的定义可知全微分的定义

11、可知,若函数若函数在点在点 处可微处可微,都很小时都很小时，和和并且当改变量并且当改变量故可用全微故可用全微有有近似表示函数的全改变量近似表示函数的全改变量 分分即即 17在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确由此由此,就可得到两个近似计算公式：就可得到两个近似计算公式：和和或或例例5 求求 的近似值的近似值.解解 设设 则该问题等价于求则该问题等价于求 18在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确的近似值的近似值.取取 因为因为 故故 19在整堂课的教学中

12、，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确故可取故可取 x=1,x=0.01,y=2,y=0.02.练习练习解解且且的函数值的函数值.的近似值的近似值.设函数设函数则该问题等价于求则该问题等价于求 此函数在此函数在即求即求因因20在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例 某厂生产甲、乙两种产品某厂生产甲、乙两种产品,当甲的产量为当甲的产量为x公斤公斤,乙的产乙的产假设现在月产量为甲假设现在月产量为甲900公斤公斤,乙乙400公斤公斤,试求此时当甲的试求此时当甲的产产解解 此

13、题是求全增量此题是求全增量C,下面用微分求其近似值下面用微分求其近似值.量为量为y公斤时公斤时,总成本为总成本为量增加量增加1%,乙的产量减少乙的产量减少2%,总成本将如何变化？总成本将如何变化？可取可取x=900,x=9001%=9,y=400,y=4002%=8.则则因因21在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确Q代表产量代表产量,L代表劳动投入量代表劳动投入量,K代表资本投入量代表资本投入量,则长期生产则长期生产其中其中，为由于增加劳动投入而增加的产量为由于增加劳动投入而增加的产量；为资本的边际产量为资本的边际产量；为由于增加资本投入而增加的产量为由于增加资本投入而增加的产量.为劳动的边际产量为劳动的边际产量；注注6 全微分在经济管理理论中有许多应用全微分在经济管理理论中有许多应用.如在生产活动中如在生产活动中,函数为函数为Q=(L,K);其全微分关系式为其全微分关系式为22