中考数学总复习锐角三角函数复习ppt课件.pptx

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1、第二十六讲 锐角三角函数1.1.理解锐角三角函数理解锐角三角函数(sin A,cos A,tan A)(sin A,cos A,tan A)的概念的概念,知道知道3030，4545，6060角的锐角三角函数值；会使用计算器由已知锐角求角的锐角三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角由已知三角函数值求它对应的锐角.2.2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.一、特殊角的三角函数值一、特殊角的三角函数值sin cos tan 3030 4545 6060 锐角锐角 三角函数三角函数1

2、1【即时应用即时应用】1.1.在在RtABCRtABC中，中，C=90,AC=BC,C=90,AC=BC,则则tan A=_.tan A=_.2.sin 60tan 30+cos 60=_.2.sin 60tan 30+cos 60=_.3.3.若若，为锐角，且为锐角，且tan tan tan tan,则则_.1 11 1二二 、三角函数之间的关系、三角函数之间的关系1.1.同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系：同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系：(1)sin(1)sin2 2+cos+cos2 2=_=_；(2)tan=_.(2)tan=_.2.2.互为余角的正弦、余弦的关系：互为余角的正弦、

3、余弦的关系：sin(90-)=_;sin(90-)=_;cos(90-)=_.cos(90-)=_.1 1cos cos sin sin【即时应用即时应用】1.1.若若为锐角，且为锐角，且sin=,sin=,则则cos=_,tan=_.cos=_,tan=_.2.2.在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90,sin A=,sin A=，则，则cos B=_.cos B=_.1.1.三边之间的关系：三边之间的关系：_._.2.2.两锐角之间的关系：两锐角之间的关系：_._.3.3.边角之间的关系边角之间的关系:sin A=_,sin B=_,sin A=_,sin B=_,cos A=_

4、,cos B=_,cos A=_,cos B=_,tan A=_,tan B=_.tan A=_,tan B=_.a a2 2+b+b2 2=c=c2 2A+B=90A+B=90三、直角三角形中的边角关系三、直角三角形中的边角关系在在RtABCRtABC中，中，C=90,aC=90,a，b b，c c分别是分别是A A，B B，C C的对边的对边.【即时应用即时应用】1.1.在在RtABCRtABC中，中，C=90,A=30,AC=3 ,C=90,A=30,AC=3 ,则则BC=_BC=_，AB=_.AB=_.2.2.在在RtABCRtABC中，中，C=90,BC=1,AB=,C=90,BC=

5、1,AB=,则则A=_,AC=_.A=_,AC=_.3.3.在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90,BC=6,sin A=,BC=6,sin A=,则则AB=_.AB=_.3 36 645451 11010四、解直角三角形的应用四、解直角三角形的应用实际问题中术语的意义：实际问题中术语的意义：(1)(1)仰角和俯角：如图，在同一铅垂面内视线和水平线间的夹仰角和俯角：如图，在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的叫做角，视线在水平线上方的叫做_，在水平线下方的叫做，在水平线下方的叫做_._.仰角仰角俯角俯角(2)(2)方向角和方位角方向角和方位角方向角方向角:指北或指南方

6、向线与目标方向所成的小于指北或指南方向线与目标方向所成的小于9090的角的角.如图如图,OA,OA为为_60,OB_60,OB为为_30,_30,OCOC为为_70._70.方位角方位角:从某点的指北方向按从某点的指北方向按_时针转到时针转到目标方向的水平角目标方向的水平角.如图如图,OD,OD的方位角为的方位角为120120.北偏东北偏东南偏东南偏东北偏西北偏西顺顺(3)(3)坡度和坡角：坡度和坡角：从点从点P P上坡走到点上坡走到点N N时，时，_与与_的比的比叫做坡度，用字母叫做坡度，用字母i i表示，即表示，即i=_.i=_.坡面与水平面的夹角叫做坡面与水平面的夹角叫做_，记作，记作.

7、升高的高度升高的高度h h水平前进的距离水平前进的距离l坡角坡角【即时应用即时应用】1.1.如图，从点如图，从点A A看点看点B B的的_角为角为_._.2.2.如图如图,OA,OA的方向角为的方向角为_,_,方位角为方位角为_._.仰仰5050南偏西南偏西30302102103.3.某人沿着有一定坡度的坡面前进了某人沿着有一定坡度的坡面前进了1010米，此时他与水平地面米，此时他与水平地面的垂直距离为的垂直距离为2 2 米，则这个坡面的坡度为米，则这个坡面的坡度为_._.4.4.某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i i1 1=1 =1 ，坝，坝外

8、斜坡的坡度外斜坡的坡度i i2 2=11=11，则两个坡角的和为，则两个坡角的和为_._.12127575【核心点拨核心点拨】1.1.当当A A为锐角时为锐角时,0sin A1,0cos A0.,0sin A1,0cos A0.2.2.锐角三角函数的值是一个比值锐角三角函数的值是一个比值,没有单位没有单位,它只与角的大小有它只与角的大小有关系关系,而与三角形的三边长无关而与三角形的三边长无关.3.3.研究和运用三角函数的前提是在直角三角形中研究和运用三角函数的前提是在直角三角形中,若无此前提若无此前提,则要设法构造直角三角形则要设法构造直角三角形.4.4.坡度是描述斜坡倾斜程度的量，它等于坡角

9、的正切值坡度是描述斜坡倾斜程度的量，它等于坡角的正切值.5.5.解直角三角形需已知直角三角形中的除直角外的两个元素解直角三角形需已知直角三角形中的除直角外的两个元素(至至少有一个为边少有一个为边)，而用直角三角形边角关系解决实际问题的关键，而用直角三角形边角关系解决实际问题的关键是建立数学模型是建立数学模型.求三角函数值求三角函数值中考指数中考指数:知知识识点点睛睛 求锐角三角函数值常用的四种方法：求锐角三角函数值常用的四种方法：1.1.设法求出角的度数，然后利用特殊角的三角函数值求设法求出角的度数，然后利用特殊角的三角函数值求值值.2.2.构造直角三角形，把锐角放在直角三角形中，然后利构造直

10、角三角形，把锐角放在直角三角形中，然后利用锐角三角函数的定义求解用锐角三角函数的定义求解.3.3.找出一个与之相等的角，其等角的三角函数值即为此找出一个与之相等的角，其等角的三角函数值即为此角的三角函数值角的三角函数值.4.4.借助于三角函数间的关系求三角函数值借助于三角函数间的关系求三角函数值.特别特别提醒提醒锐角的三个三角函数值是在直角三角形中定义的，若无锐角的三个三角函数值是在直角三角形中定义的，若无直角三角形，则要设法构造直角三角形直角三角形，则要设法构造直角三角形.【例例1 1】(2012(2012内江中考内江中考)如图所示，如图所示，ABCABC的顶点是正方形网的顶点是正方形网格的

11、格点，则格的格点，则sin Asin A的值为的值为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【思路点拨思路点拨】构造直角三角形构造直角三角形计算计算sin Asin A结果结果【自主解答自主解答】选选B.B.如图，连结如图，连结CDCD，令每个小正方形网格的边长，令每个小正方形网格的边长为为1 1，则，则CDCD2 2+AD+AD2 2ACDACD为直角三角形，为直角三角形，sinsin【对点训练对点训练】1.(20121.(2012乐山中考乐山中考)如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，AB=2BCAB=2BC，则则sin Bsin B的值为的值为()

12、()(A)(B)(C)(D)1(A)(B)(C)(D)1【解析解析】选选C.C.设设BC=k,BC=k,则则AB=2kAB=2k，由勾股定理得，由勾股定理得 所以所以2.(20112.(2011陕西中考陕西中考)在在ABCABC中，三边中，三边BC,CA,ABBC,CA,AB满足满足BCCAAB=51213BCCAAB=51213，则，则cos B=()cos B=()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选C.C.设设BC=5kBC=5k，则，则CA=12kCA=12k，AB=13kAB=13k，BCBC2 2+CA+CA2 2=AB=AB2 2，ABCABC是直角三

13、角形是直角三角形在在RtABCRtABC中，中，【高手支招高手支招】在解答所求的结论与线段的比有关的问题时，都在解答所求的结论与线段的比有关的问题时，都可以用设参数可以用设参数“k k”的方法求解的方法求解.由此可以将原有的比值由此可以将原有的比值,转化成转化成为具体的数量为具体的数量,再结合题中的其他条件列出含再结合题中的其他条件列出含“k k”的等式或者的等式或者是间接求得其他的比值是间接求得其他的比值.3.(20123.(2012德阳中考德阳中考)某时刻海上点某时刻海上点P P处有一客轮，测得灯塔处有一客轮，测得灯塔A A位位于客轮于客轮P P的北偏东的北偏东3030方向，且相距方向，且

14、相距2020海里海里.客轮以客轮以6060海里海里/小小时的速度沿北偏西时的速度沿北偏西6060方向航行方向航行 小时到达小时到达B B处，那么处，那么tan ABPtan ABP=()=()(A)(B)2 (C)(D)(A)(B)2 (C)(D)【解析解析】选选A.A.如图所示如图所示,APC=30,BPC=60,APC=30,BPC=60,APB=90.APB=90.又又PB=60 =40,PB=60 =40,tan ABP=tan ABP=4.(20124.(2012岳阳中考岳阳中考)如图如图,在顶角为在顶角为3030的等腰三角形的等腰三角形ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,若过

15、点若过点C C作作CDABCDAB于点于点D,D,则则BCD=15.BCD=15.根据图形计算根据图形计算tan 15=_.tan 15=_.【解析解析】设设CD=x,CD=x,因为因为A=30,A=30,所以所以AC=2x,AD=x,AC=2x,AD=x,则则AB=2x,BD=2x-x=(2-)x,AB=2x,BD=2x-x=(2-)x,所以所以tan 15=tan 15=答案：答案：2-2-解直角三角形解直角三角形中考指数中考指数:知知识识点点睛睛 解直角三角形的四种类型及方法：解直角三角形的四种类型及方法：1.1.已知斜边和一个锐角已知斜边和一个锐角(如如c c，A)A)，其解法：，其解

16、法：B=90B=90A A，a=csin Aa=csin A，b=ccos A(b=ccos A(或或 ).).2.2.已知一直角边和一个锐角已知一直角边和一个锐角(如如a a，A)A)，其解法：，其解法：B B=90=90A A，(或或 ).).3.3.已知斜边和一直角边已知斜边和一直角边(如如c c，a)a)，其解法：，其解法：,由由sin A=sin A=求出求出A A，B=90B=90A.A.4.4.已知两条直角边已知两条直角边a a和和b b，其解法：，其解法：，由，由tan A=tan A=得得A A，B=90B=90A.A.特特别别提提醒醒 解直角三角形时要尽量利用原始数据，以防

17、止解直角三角形时要尽量利用原始数据，以防止“累积累积误差误差”，一般地：，一般地：“有弦有弦(斜边斜边)用弦用弦(正弦、余弦正弦、余弦)，无弦用切无弦用切(正切正切)，宁乘毋除，取原避中，宁乘毋除，取原避中”是解直角三是解直角三角形的原则，必要时，画图帮助分析角形的原则，必要时，画图帮助分析.【例例2 2】(2012(2012上海中考上海中考)如图如图,在在RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90，D D是边是边ABAB的中点，的中点，BECDBECD，垂足为点，垂足为点E E已知已知AC=15AC=15，cos A=cos A=(1)(1)求线段求线段CDCD的长；的长；(2)(

18、2)求求sinDBEsinDBE的值的值【思路点拨思路点拨】(1)(1)据已知据已知求求ABCDABCD(2)(2)据勾股定理据勾股定理求求BCBC求求DEsinDBEDEsinDBE【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为ACB=90ACB=90，AC=15AC=15，cos A=,cos A=,所以所以AB=25.AB=25.又因为又因为D D为边为边ABAB的中点，所以的中点，所以CD=AB=12.5.CD=AB=12.5.(2)(2)在在RtBCERtBCE和和RtDBERtDBE中，中，BEBE2 2=BD=BD2 2-DE-DE2 2=BC=BC2 2-CE-CE2 2,设设DED

19、E的长为的长为x x，则则12.512.52 2-x-x2 2=20=202 2-(12.5+x)-(12.5+x)2 2，解得，解得x=3.5x=3.5，所以所以sinDBE=sinDBE=【对点训练对点训练】5.(20125.(2012衡阳中考衡阳中考)如图如图,菱形菱形ABCDABCD的周长为的周长为20 cm,20 cm,且且tan ABD=,tan ABD=,则菱形则菱形ABCDABCD的面积为的面积为_cm_cm2 2.【解析解析】连结连结ACAC交交BDBD于点于点O,O,则则ACBD.ACBD.菱形的周长为菱形的周长为20 cm,20 cm,菱形的边长为菱形的边长为5 cm.5

20、 cm.在在RtABORtABO中中,tan ABD=.,tan ABD=.故可设故可设AO=4x,BO=3x,AO=4x,BO=3x,又又AB=5 cmAB=5 cm，因此根据勾股定理可得因此根据勾股定理可得AO=4 cmAO=4 cm，BO=3 cmBO=3 cm，AC=8 cm,BD=6 cm,AC=8 cm,BD=6 cm,菱形菱形ABCDABCD的面积为的面积为:86=24(cm:86=24(cm2 2).).答案：答案：24246.(20126.(2012安徽中考安徽中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，A=30,B=45,A=30,B=45,AC=2 ,AC=2 ,求求ABA

21、B的长的长.【解析解析】如图，作如图，作CDAB,CDAB,垂足为垂足为D D，在在RtACDRtACD中，中，AC=2 ,A=30,AC=2 ,A=30,AD=ACAD=ACcos 30=2 cos 30=2 在在RtBCDRtBCD中，中，CD=,B=45,CD=,B=45,BD=BD=，AB=AD+BD=3+.AB=AD+BD=3+.7.(20127.(2012淮安中考淮安中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，点，点D D在在ACAC上，已知上，已知BDC=45,BD=10 ,AB=20.BDC=45,BD=10 ,AB=20.求求A A的度数的度数.【解析解析】在

22、在RtBDCRtBDC中，中，BC=BDsin 45=10.BC=BDsin 45=10.又又AB=20,sin A=,A=30.AB=20,sin A=,A=30.锐角三角函数的应用锐角三角函数的应用中考指数中考指数:知知识识点点睛睛用直角三角形边角关系解决实际问题的关键是建立数学模型，用直角三角形边角关系解决实际问题的关键是建立数学模型，常见的基本模型有：常见的基本模型有：知识知识点睛点睛特别特别提醒提醒1.1.坡度是斜坡的倾斜程度，而不是斜坡的角度坡度是斜坡的倾斜程度，而不是斜坡的角度.2.2.仰角和俯角都是视线和水平线的夹角仰角和俯角都是视线和水平线的夹角.【例例3 3】(2012(2

23、012邵阳中考邵阳中考)某村为方便村民夜间出行某村为方便村民夜间出行,计划在村计划在村内公路旁安装如图所示的路灯内公路旁安装如图所示的路灯,已知路灯灯臂已知路灯灯臂ABAB的长为的长为1.2 m,1.2 m,灯灯臂臂ABAB与灯柱与灯柱BCBC所成的角所成的角(ABC)(ABC)的大小为的大小为105,105,要使路灯要使路灯A A与路与路面的距离面的距离ADAD为为7 m,7 m,试确定灯柱试确定灯柱BCBC的高度的高度.(.(结果保留两位有效数结果保留两位有效数字字)【教你解题教你解题】【对点训练对点训练】8.(20128.(2012嘉兴中考嘉兴中考)如图，如图，A A，B B两点在河的两

24、岸，要测量这两两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与点之间的距离，测量者在与A A同侧的河岸边选定一点同侧的河岸边选定一点C C，测出，测出AC=aAC=a米，米，A=90A=90，C=40C=40，则，则ABAB等于等于()()(A)asin 40(A)asin 40米米 (B)acos 40(B)acos 40米米(C)atan 40(C)atan 40米米 (D)(D)【解析解析】选选C.C.在在RtABCRtABC中，中，tan C=tan C=AB=atan 40.AB=atan 40.9.9.河堤横断面如图所示，堤坝河堤横断面如图所示，堤坝BC=5BC=5米，迎水坡米，

25、迎水坡ABAB的坡比是的坡比是1 1 ，则，则ACAC的长是的长是()()(A)(A)米米 (B)10(B)10米米(C)15(C)15米米 (D)(D)米米【解析解析】选选A.(A.(米米).).10.(201210.(2012株洲中考株洲中考)数学实践探究课中，老师布置同学们测数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度量学校旗杆的高度.小民所在的学习小组在距离旗杆底部小民所在的学习小组在距离旗杆底部1010米米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为6060，则旗杆的高度，则旗杆的高度是是_米米.【解析解析】10tan 60=(10tan 60=(米

26、米).).答案：答案：10 10 11.(201211.(2012益阳中考益阳中考)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速,如图如图,观测点设在观测点设在A A处处,离益阳大道的距离离益阳大道的距离(AC)(AC)为为3030米米.这时这时,一辆小轿一辆小轿车由西向东匀速行驶车由西向东匀速行驶,测得此车从测得此车从B B处行驶到处行驶到C C处所用的时间为处所用的时间为8 8秒秒,BAC=75.,BAC=75.(1)(1)求求B,CB,C两点间的距离两点间的距离

27、.(2)(2)请判断此车是否超过了益阳大道请判断此车是否超过了益阳大道6060千米千米/小时的限制速度小时的限制速度?(计算时距离精确到计算时距离精确到1 1米米,参考数据参考数据:sin 750.965 9,:sin 750.965 9,cos 750.258 8,tan 753.732,1.732,60cos 750.258 8,tan 753.732,1.732,60千米千米/小时小时16.716.7米米/秒秒)【解析解析】(1)(1)方法一方法一:在在RtABCRtABC中中,ACB=90,BAC=75,AC=30,BC=AC,ACB=90,BAC=75,AC=30,BC=ACtan

28、BACtan BAC=30tan 75303.732112(=30tan 75303.732112(米米).).方法二方法二:在在BCBC上取一点上取一点D,D,连结连结AD.AD.如图如图,使使DAB=B,DAB=B,则则AD=BD.AD=BD.BAC=75,DAB=B=15,CDA=30.BAC=75,DAB=B=15,CDA=30.在在RtACDRtACD中中,ACD=90,AC=30,CDA=30,ACD=90,AC=30,CDA=30,AD=60,CD=30 ,BC=60+30 112(AD=60,CD=30 ,BC=60+30 112(米米).).(2)(2)此车速度此车速度=11

29、28=14(=1128=14(米米/秒秒)16.7()16.7(米米/秒秒)60()60(千米千米/小小时时),),此车没有超过限制速度此车没有超过限制速度.12.(201212.(2012岳阳中考岳阳中考)九九(一一)班课题学班课题学习小组，为了解大树生长情况，去年习小组，为了解大树生长情况，去年在学校门前点在学校门前点A A处测得一棵大树顶点处测得一棵大树顶点C C的仰角为的仰角为3030，树高，树高5 m5 m；今年他们仍；今年他们仍在原点在原点A A处测得大树顶点处测得大树顶点D D的仰角为的仰角为37.37.问这棵树一年生长了问这棵树一年生长了多少多少 m m？(参考数据：参考数据：

30、sin 370.6sin 370.6，cos 370.8cos 370.8，tan 370.75tan 370.75，1.732)1.732)【解析解析】在在RtABCRtABC中，据题意，得中，据题意，得tan 30=tan 30=得得AB=AB=在在RtABDRtABD中，据题意，得中，据题意，得tan 37=tan 37=得得BD=5 tan 3751.7320.75=6.495(m)BD=5 tan 3751.7320.75=6.495(m)，CD=BD-BC6.495-5=1.495(m).CD=BD-BC6.495-5=1.495(m).答：这棵树一年生长了约答：这棵树一年生长了约

31、1.495 m.1.495 m.【创新命题创新命题】方程思想在三角函数中的应用方程思想在三角函数中的应用【例例】(2011(2011绵阳中考绵阳中考)周末，身高都为周末，身高都为1.61.6米的小芳、小丽来米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度如图，到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度如图，小芳站在小芳站在A A处测得她看塔顶的仰角处测得她看塔顶的仰角为为4545，小丽站在，小丽站在B B处处测得她看塔顶的仰角测得她看塔顶的仰角为为3030她们又测出她们又测出A A，B B两点的距离为两点的距离为3030米假设她们的眼睛离头顶都为米假设她们的眼睛离头顶都为10

32、10厘米，则可计算出塔高约厘米，则可计算出塔高约为为(结果精确到结果精确到0.010.01，参考数据：，参考数据：1.4141.414，1.732)()1.732)()(A)36.21(A)36.21米米 (B)37.71(B)37.71米米(C)40.98(C)40.98米米 (D)42.48(D)42.48米米【解题导引解题导引】设人的水平视线到塔顶的高度为设人的水平视线到塔顶的高度为x x，然后利用，然后利用x x分分别表示出点别表示出点A A和点和点B B到塔底的距离，然后利用到塔底的距离，然后利用AB=30AB=30米列出方程米列出方程求解求解.【规范解答规范解答】选选D.D.如图，

33、如图，ABABEFEF3030米，米，CDCD1.51.5米，米，GDEGDE9090，DEGDEG4545，DFGDFG3030设设DGDGx x米，在米，在RtDGFRtDGF中，中，tan DFGtan DFG即即tan 30tan 30 DFDF 米米在在RtDGERtDGE中，中，GDEGDE9090，DEGDEG4545，DEDEDGDGx x根据题意，得根据题意，得 x xx x3030，解得，解得x xCGCG40.98+1.540.98+1.542.48(42.48(米米)【名师点评名师点评】通过对方程思想在三角函数中的应用类试题的分通过对方程思想在三角函数中的应用类试题的分

34、析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：示：(2011(2011东莞中考东莞中考)如图，小明家在如图，小明家在A A处，门前有一口池塘，隔处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路着池塘有一条公路l，ABAB是是A A到到l的小路的小路.现新修一条路现新修一条路ACAC到公路到公路l小明测量出小明测量出ACD=30ACD=30,ABD=45ABD=45,BC=50 m,BC=50 m请请你帮小明计算他家到公路你帮小明计算他家到公路l的距离的距离ADAD的的长度长度(精确到精确到0.1 m0.1 m，参考数据：，参考数据：1.414,1.414,1.732).1.732).【解析解析】设小明家到公路设小明家到公路l的距离的距离ADAD的长度为的长度为x m.x m.在在RtABDRtABD中，中，ABD=45ABD=45，BD=AD=xBD=AD=x，在在RtACDRtACD中，中，ACD=30ACD=30，tan ACD=tan ACD=即即tan 30=tan 30=所以所以解得解得x=25(+1)68.3.x=25(+1)68.3.答：小明家到公路答：小明家到公路l的距离的距离ADAD的长度约为的长度约为68.3 m.68.3 m.