MATLAB编程与工程应用——第9章 MATLAB符号计算.ppt

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1、第9章 MATLAB符号计算第第9 9章章 MATLABMATLAB符号计算符号计算9.1 9.1 符号对象符号对象9.2 9.2 符号微积分符号微积分9.3 9.3 级数级数9.4 9.4 符号方程求解符号方程求解第9章 MATLAB符号计算9.1 9.1 符号对象符号对象一、建立符号对象一、建立符号对象1.sym1.sym函数函数符号量名符号量名=sym(=sym(符号字符串符号字符串)建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。2.syms2.syms函数函数syms syms 符号变量名符号变量名1 1 符号变量名符号变量名2 2 符号变量名符号变量名n n建立多个符号变

2、量不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。第9章 MATLAB符号计算9.1 9.1 符号对象符号对象3.3.建立符号表达式建立符号表达式含有符号对象的表达式称为符号表达式符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法：(1)利用单引号来生成符号表达式。(2)用sym函数建立符号表达式。(3)使用已经定义的符号变量组成符号表达式。第9章 MATLAB符号计算9.1 9.1 符号对象符号对象二、符号表达式运算二、符号表达式运算1.1.四则运算四则运算符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来

3、实现。2 2提取分子和分母提取分子和分母n,d=numden(s)n,d=numden(s)该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。第9章 MATLAB符号计算9.1 9.1 符号对象符号对象3 3符号表达式的因式分解与展开符号表达式的因式分解与展开MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：factor(s)：对符号表达式s分解因式。expand(s)：对符号表达式s进行展开。collect(s)：对符号表达式s合并同类项。collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。4 4符号表达式的化简符号表达式的化简simplify(s)：

4、应用函数规则对s进行化简。simple(s)：对表达式s进行综合化简，并显示化简过程。第9章 MATLAB符号计算9.1 9.1 符号对象符号对象5 5符号表达式与数值表达式之间的转换符号表达式与数值表达式之间的转换利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。例例9.1 9.1 符号对象和符号表达式示例符号对象和符号表达式示例 exp9_1.mexp9_1.m第9章 MATLAB符号计算9.1 9.1 符号对象符号对象三、符号表达式中变量的确定三、符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。find

5、sym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(s,n)findsym(s,n)函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。第9章 MATLAB符号计算9.1 9.1 符号对象符号对象四、符号矩阵四、符号矩阵符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如transpose(s)：返回s矩阵

6、的转置矩阵。determ(s)：返回s矩阵的行列式值。其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。例例9_2 9_2 符号矩阵示例符号矩阵示例 exp9_2.mexp9_2.m第9章 MATLAB符号计算9.2 9.2 符号微积分符号微积分一、符号极限一、符号极限limitlimit函数函数 ：求符号表达式的极限值：求符号表达式的极限值1.limit(f,x,a)：求变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极值。2.limit(f,a)：f的变量为findsym(f)确定的默认自变量x3.limit(f)：相

7、当于limit(f,0)4.limit(f,x,a,right)：右极限5.limit(f,x,a,left)：左极限例例9.3 9.3 符号极限示例符号极限示例 exp9_3.mexp9_3.m第9章 MATLAB符号计算9.2 9.2 符号微积分符号微积分二、符号导数diff函数：也可用于对符号表达式求导数。1.diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。2.diff(s,v)：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。3.diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。4.diff(s

8、,v,n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。例例9.4 9.4 求下面函数的导数求下面函数的导数 exp9_4.mexp9_4.m第9章 MATLAB符号计算9.2 9.2 符号微积分符号微积分三、符号积分符号积分由函数int来实现。1.int(s)：按s的默认变量对被积函数s求不定积分。2.int(s,x)：以x为自变量，对被积函数s求不定积分。3.int(s,x,a,b)：求被积函数s在区间a,b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数s关于变量x在闭区间a,b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回

9、一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。例例9_5 9_5 符号积分示例符号积分示例 exp9_5.mexp9_5.m第9章 MATLAB符号计算9.2 9.2 符号微积分符号微积分四、积分变换四、积分变换1.1.傅立叶傅立叶(Fourier)(Fourier)变换变换在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：(1)fourier(f,x,t)(1)fourier(f,x,t)：求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。等价于F(t)=int(f(x)*exp(-i*t*x),x,-inf,inf)(2)ifourier(F,t,x)(2)ifourier(F,t,x)：

10、求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。f(x)=1/(2*pi)*int(F(t)*exp(i*x*t,t,-inf,inf)例例9.6 9.6 傅立叶变换函数示例傅立叶变换函数示例 exp9_6.mexp9_6.m第9章 MATLAB符号计算9.2 9.2 符号微积分符号微积分2.2.拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)变换变换在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：(1)laplace(f,x,t)(1)laplace(f,x,t)：求函数f(x)的拉普拉斯像函数L(s)。等价于L(s)=int(f(x)*exp(-s*x),0,inf).(2)ilaplace(L,

11、s,x)(2)ilaplace(L,s,x)：求拉普拉斯像函数L(s)的原函数f(x)。f(x)=int(L(s)*exp(s*x),s,c-i*inf,c+i*inf).c为使函数L(s)的所有的奇点位于直线s=c左边的实数 例例9.7 9.7 拉普拉斯变换函数示例拉普拉斯变换函数示例 exp9_7.mexp9_7.m第9章 MATLAB符号计算9.2 9.2 符号微积分符号微积分3.Z3.Z变换变换当函数f(x)为一个离散的数列时，对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：(1)ztrans(f,n,z)(1)ztrans(f,n,z)：求序列f(n)的Z变换像函数F(z)。F(z)=

12、symsum(f(n)/zn,n,0,inf).(2)iztrans(F,z,n)(2)iztrans(F,z,n)：求Z变换像函数F(z)的原数列f(n)。其中R为一正实数，它使函数F(z)在圆域之外|z|R是解析的 例例9.8 Z9.8 Z变换函数示例变换函数示例 exp9_8.mexp9_8.m第9章 MATLAB符号计算9.3 9.3 级数级数一、级数符号求和求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为：symsum(s,v,n,m)symsum(s,v,n,m)其中s为级数的通项公式，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和

13、末项。例例9.9 9.9 级数求和示例级数求和示例 exp9exp9_ _9.m9.m第9章 MATLAB符号计算9.3 9.3 级数级数二、函数的泰勒级数MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为：taylor(f,v,n,a)taylor(f,v,n,a)该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。例例9.10 9.10 泰勒级数示例泰勒级数示例 exp9_10.mexp9_10.m第9章 MATLAB符号计算9.4 9.4 符号

14、方程求解符号方程求解一、符号代数方程求解一、符号代数方程求解在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：1.solve(s)：求解符号代数方程s，求解变量为默认变量。2.solve(s,v)：求解符号代数方程s，求解变量为v。3.solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。例例9.11 9.11 符号代数方程求解示例符号代数方程求解示例 exp9_11.mexp9_11.m第9章 MATLAB符号计算9.4 9.4 符号方程求解符号方程求解二、符号常微分方程求解二、符号

15、常微分方程求解1.1.符号常微分方程在符号常微分方程在MATLABMATLAB中的表示中的表示在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。2.2.求解符号常微分方程的求解符号常微分方程的dsolvedsolve函数函数dsolve(e,c,v)dsolve(e,c,v)该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c，则求方程的通解。第9章 MATLAB符号计算9.4 9.4 符号方程求解符号方程求解3.3.符号常微分方程组的求解符号常微分方程组的求解dsolve(e1,e2,dsolve(e1,e2,en,c1,en,c1,cn,v1,cn,v1,vn),vn)该函数求解常微分方程组e1,en在初值条件c1,cn下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，v1,vn给出求解变量。例例9.12 9.12 符号常微分方程求解示例符号常微分方程求解示例 exp9_12.mexp9_12.m