D3_4 隐函数、参数方程的求导.ppt

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1、3.43.4.1 3.4.1 隐函数的导数隐函数的导数 3.4.2 3.4.2 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 第 3 章 3.4.3.4.隐函数的微分法隐函数的微分法设方程设方程若存在函数若存在函数称形如称形如表示的函数为表示的函数为显函数显函数。例如例如：就确定了一个显函数就确定了一个显函数也确定也确定 y 是是 x 的函数的函数，但此隐函数是不能被显化的但此隐函数是不能被显化的。确定了区间确定了区间 I则称则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 成立成立,1.1.隐函数的概念隐函数的概念 使得使得 里的一个里

2、的一个隐函数隐函数；方程方程方程方程若从方程若从方程中能求解出函数：中能求解出函数：或或则称该隐函数可以则称该隐函数可以被显化被显化。但要提请注意的是：并非隐函数均可被显化。但要提请注意的是：并非隐函数均可被显化。再如再如：2.2.隐函数的求导法则隐函数的求导法则设方程设方程的方程；的方程；方法方法：等式两边对等式两边对自变量自变量求导求导”机动 目录 上页 下页 返回 结束“视一个变量是另一变量的函数视一个变量是另一变量的函数，其结果可能仍是含导数其结果可能仍是含导数方法方法：用微分的法则对等式两边各变量微分用微分的法则对等式两边各变量微分”“两个变量视为同等地位两个变量视为同等地位，的方程

3、，的方程，其结果是含微分其结果是含微分再从方程中解得再从方程中解得即可。即可。确定了一个函数确定了一个函数例例 1.在在 x=0 处的导数处的导数解解:得得因因 x=0 时时 y=0,故故确定的隐函数确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 求由方程求由方程方程两边对方程两边对 x 求导（视求导（视 y 为为 x 的函数）的函数）例例 2.在点在点处的切线方程。处的切线方程。解解:故切线方程为：故切线方程为：即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 求椭圆求椭圆椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导（视求导（视 y 为为 x 的函数）的函数）例例 3.求求 解解:注意 目录 上页 下页 返

4、回 结束 由此得：由此得：设设利用一阶微分形式不变性，利用一阶微分形式不变性，等式两边求微分得等式两边求微分得例例 4.的导数的导数。解解:两边对两边对 x 求导求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数求函数两边取对数两边取对数,化为隐式：化为隐式：因此，因此，1)对幂指函数对幂指函数可用对数求导法求导可用对数求导法求导:说明说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如:两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 均为常数均为常数又

5、如又如:对对 x 求导求导两边取对数两边取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.4.2 3.4.2 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数设参数方程设参数方程确定了变量确定了变量 y 与变量与变量x 的函数关系，的函数关系，均可导，均可导，则当则当时，时，时，时，(此时，视此时，视 x 为为 y 的函数的函数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 且且 有：有：有有例例 5.确定了函确定了函 数数求求解解:故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 设由方程设由方程方程组两边对方程组两边对 t 求导求导,得得,求求解解：例例 6.方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导，求导，

6、得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设例例7.求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向？的运动速度的大小和方向？解解:速度的水平分量为：速度的水平分量为：垂直分量为：垂直分量为：故抛射体故抛射体速度大小速度大小再求再求速度方向速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角，为切线倾角，则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 设抛射体运动轨迹的参数方程为：设抛射体运动轨迹的参数方程为：先求速度大小先求速度大小:抛射体轨迹的参数方程：抛射体轨迹的参数方程：速度的水平分量：速度的水平分量：垂直分量：垂直分量：在刚射出在刚射出(即即 t=0)时，时，达到最高点的时刻：达到最高点的时刻：高度高度落地时刻：落地时刻：抛射抛射最远距离最远距离速度的方向：速度的方向：机动 目录 上页 下页 返回 结束 倾角为倾角为求螺旋线求螺旋线在在时所对应点处的切线方程？时所对应点处的切线方程？解解:当当时所对应点为：时所对应点为：其斜率其斜率 切线方程为切线方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 8.化极坐标方程为参数方程：化极坐标方程为参数方程：内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导；2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导转化转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 直接对方程两边求微分；