概率随机变量的函数的分布精选PPT.ppt

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1、概率随机变量的函数的分布第1页，此课件共46页哦比如，某厂的电机的噪声电压比如，某厂的电机的噪声电压V 的密度分布：的密度分布：求功率求功率求功率求功率 W=V2/R (R R 为电阻为电阻为电阻为电阻)的分布的分布的分布的分布.在实际应用中，人们常常对随机变量的函数感在实际应用中，人们常常对随机变量的函数感兴趣兴趣.o2.4 2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第2页，此课件共46页哦在许多实际问题中在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数常常需要研究随机变量的函数,例例:测量圆轴截面的直径测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：而关心的却是截面积：d为随机变量为随机变量,S

2、就是随机变量就是随机变量d的函数。的函数。的分布。的分布。在统计物理中在统计物理中,已知分子的运动速度已知分子的运动速度x的分布的分布,求其动能：求其动能：一般地，设一般地，设y=g(x)是一元实函数，是一元实函数，X是一个随机变量，若是一个随机变量，若X的取值在函数的取值在函数y=g(x)的定义域内，则的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变也为一随机变量。量。第3页，此课件共46页哦随机变量的函数随机变量的函数随机变量随机变量分布函数分布函数密度函数密度函数第4页，此课件共46页哦p 随机变量的函数随机变量的函数 是一个这样的随机变量，若是一个这样的随机变量，若随机变量随机变量Y 满足：满足

3、：Y=g(X)则称随机变量则称随机变量Y 是是X 的随机变量的函数。的随机变量的函数。o设随机变量设随机变量 X 的分布已知，的分布已知，Y=g(X)(设设g 是连续函数），是连续函数），如何由如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布？的分布？方法方法 将与将与Y 有关的事件转化成有关的事件转化成 X 的事件的事件第5页，此课件共46页哦设设 r.v.X 的分布律为的分布律为由已知函数由已知函数 g(x)可求出可求出 r.v.Y 的所有可能取值，的所有可能取值，则则 Y 的概率分布为的概率分布为n 离散型离散型 r.v.函数的分布函数的分布第6页，此课件共46页哦设设X为离散型为离散型 R

4、V,其分布律为其分布律为X x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn随机变量随机变量X的函数的函数 Y=g(X)的分布律为的分布律为Y g(x1)g(x2)g(x3)g(xn)pk p1 p2 p3 pn有可能有可能g(x i)与与g(x j)相同，此时将两项合并，对应概率相加相同，此时将两项合并，对应概率相加 离散随机变量的函数的分布离散随机变量的函数的分布第7页，此课件共46页哦【例例】已知已知 X 的概率分布为的概率分布为X pk-1 0 1 2求求 Y 1=2X 1 与与 Y 2=X 2 的分布律的分布律第8页，此课件共46页哦【例例】已知已知 X 的概率分布为的概率分布为

5、其中其中 p+q=1,0 p 1,求求 Y=Sin X 的概率分布的概率分布解解第9页，此课件共46页哦第10页，此课件共46页哦故故 Y 的概率分布为的概率分布为Ypi-1 0 1第11页，此课件共46页哦课堂练习：课堂练习：加油站代营出租车业务，每出租加油站代营出租车业务，每出租1辆车收入辆车收入3元。元。该油站每天要付出该油站每天要付出60元工职。每天出租汽车数元工职。每天出租汽车数X的分布律如下：的分布律如下：X10203040P0.150.250.450.15求加油站获利的概率。求加油站获利的概率。第12页，此课件共46页哦方法：方法：（1）从分布函数出发）从分布函数出发（2）用公式

6、直接求密度函数）用公式直接求密度函数n 连续性连续性 r.v.函数的分布函数的分布 设设 X 为一个连续型为一个连续型R.V，其概率密度函数为，其概率密度函数为 f(x)。y=g(x)为一个连续函数，求随机变量为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数的概率密度函数 fY(y)。第13页，此课件共46页哦(1)求求Y的分布函数的分布函数 FY(y)根据分布函数的定义根据分布函数的定义(2)对对FY(y)求导，得到求导，得到 fY(y)o分布函数法分布函数法解不等式转化解不等式转化为求关于为求关于X X的概率的概率第14页，此课件共46页哦【例例】设随机变量设随机变量X具有概率密度具有

7、概率密度求随机变量求随机变量Y=2X+8的概率密度。的概率密度。先求先求Y=2X+8的分布函数的分布函数 FY(y).oStep1:Step1:第15页，此课件共46页哦求求Y=2X+8的概率密度的概率密度oStep 2:Step 2:第16页，此课件共46页哦【例例】设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度求求的概率密度。的概率密度。解解先求分布函数先求分布函数 FY(y)。由于由于解不等式转化解不等式转化为求关于为求关于X X的概率的概率第17页，此课件共46页哦于是得于是得Y Y的概率密度为：的概率密度为：第18页，此课件共46页哦 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，

8、在求P(Yy)的过程中，关的过程中，关键的一步是设法从键的一步是设法从 g(X)y 中解出中解出X X,从而得到与从而得到与 g(X)y 等价的等价的X X 的不等式的不等式 。这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X X 的分布，从而求出相应的的分布，从而求出相应的概率。概率。这就是这就是分布函数法分布函数法。例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y 用用 代替代替 X2 y 第19页，此课件共46页哦【例】已知随机变量X N(0,1)。解解第20页，此课件共46页哦【例例】已知随机变量X解解第21页，此课件共46页哦定理定理定理定理 设设随机随机变变量量 X 具有概率密度具有概率密

9、度 又又设设函数函数处处处处可可导导，且，且（或（或），），是是连续连续型随机型随机变变量，其概率密度量，其概率密度为为：则则其中其中是函数是函数的反函数的反函数.第22页，此课件共46页哦【例例】设设X N（0，1），其概率密度为），其概率密度为：则则概率密度函数为概率密度函数为：此时称此时称Y服从自由度为服从自由度为 1 的的 分布。分布。第23页，此课件共46页哦【例例例例】设随机变量 ，证明解解第24页，此课件共46页哦o推论推论o定理定理第25页，此课件共46页哦求求 的密度函数的密度函数解解:是是 x 的单调可导函数的单调可导函数,第26页，此课件共46页哦即即 Y Y 服从服从1

10、919，2121上的均匀分布上的均匀分布Y=0.1X+10Y=0.1X+10的密度函数的密度函数为为X的密度函数的密度函数为为 设随机变量设随机变量服从服从90，110上的均匀分布上的均匀分布,求求 Y=0.1X+10Y=0.1X+10的密度函数。的密度函数。例例解解第27页，此课件共46页哦注意注意 连续连续 r.v.r.v.的函数的分布的函数的分布 函数不一定是连续函数函数不一定是连续函数例如例如 X U(0,2)令令Y=g(X)xy1FY(y)不是连续函数不是连续函数第28页，此课件共46页哦2.设设随机随机变变量量，求，求的概率密度。的概率密度。第29页，此课件共46页哦X,求其密度函

11、数求其密度函数 f(x).ABCh.M 问问 题题在高为在高为 h 的的 ABC 中任取一点中任取一点M,点点 M 到到 AB 的距离为随机变量的距离为随机变量X,求其密度函数求其密度函数 f(x).问问 题题ABCh.M第30页，此课件共46页哦设设 r.v.服从服从(0,1)内均匀分布内均匀分布,又又其中其中求求 r.v.的的 p.d.f.问问 题题第31页，此课件共46页哦思考题：思考题：设随机变量设随机变量X 服从服从(0,2)上的均匀分布上的均匀分布,设设Y=g(X)是连续型的随机变量吗是连续型的随机变量吗?第32页，此课件共46页哦思考题答案：思考题答案：否否.Y 在在0,1上取值

12、上取值,Y 的分布函数为的分布函数为第33页，此课件共46页哦不是连续函数不是连续函数,Y 不是连续型的随机变量不是连续型的随机变量.又又Y 的取值不是有限个或可列个的取值不是有限个或可列个,Y 也不是离散型也不是离散型的随机变量的随机变量.Y 是一个非离散非连续型的随机变量是一个非离散非连续型的随机变量.第34页，此课件共46页哦1.设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为练习题：练习题：求求:(1)X+2;(2)的分布律的分布律.2.若若 X 服从服从 上的均匀分布上的均匀分布,求求Y=tanX 的密的密度函数度函数.第35页，此课件共46页哦3.对圆的直径作近似度量对圆

13、的直径作近似度量,设其值均匀分布于设其值均匀分布于(a,b)内内,试求试求圆的面积的密度函数圆的面积的密度函数.4.设随机变量设随机变量 X 的密度函数为的密度函数为求求 的分布函数的分布函数 和密度函数和密度函数 .5.随机变量随机变量X 服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布,求求 Y=1/X 的概的概率密度率密度.第36页，此课件共46页哦6.设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为p 的几何分布的几何分布,即即求求:的分布律的分布律.第37页，此课件共46页哦1.(1)(2)练习题答案：练习题答案：第38页，此课件共46页哦3.解解:设圆的直径为随机变量设圆的直径为随机变量D,圆的面积圆的面积第39页，此课件共46页哦第40页，此课件共46页哦4.解法一解法一(分布函数法分布函数法)X 的取值范围是的取值范围是(-1,1),Y 的取值范围是的取值范围是1,2),第41页，此课件共46页哦第42页，此课件共46页哦解法二解法二(公式法公式法)在在(-1,0)上单调减少上单调减少,在在(0,1)上单调增加上单调增加,第43页，此课件共46页哦再求再求Y 的分布函数的分布函数,Y 的分布函数为的分布函数为第44页，此课件共46页哦6.解：随机变量解：随机变量Y 的取值是的取值是-1,0,1第45页，此课件共46页哦第46页，此课件共46页哦