线性代数第四讲矩阵的初等变换幻灯片.ppt

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1、线性代数第四讲矩阵的初等变换第1页，共10页，编辑于2022年，星期一v1.引例 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 显然 交换B的第1行与第2行即得B1 增广矩阵的比较 例如下页第2页，共10页，编辑于2022年，星期一2 2 显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2 v1.引例 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另

2、一个方程上 例如增广矩阵的比较 下页第3页，共10页，编辑于2022年，星期一2 2 显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3 v1.引例 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 例如增广矩阵的比较 下页第4页，共10页，编辑于2022年，星期一 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩阵的三种初等变换v1.引例 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程

3、变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 下页第5页，共10页，编辑于2022年，星期一 定义5.1 矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列)(ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去v2.矩阵的初等变换 这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 例如 变换krj+ri的逆变换为(k)rj+ri rirj(cicj)对调i j两行(列)rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k krj+ri(kcj+ci)表示第j行(列)的k倍加到

4、第i行(列)上 v初等变换的符号 下页 定义5.1 矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列)换法变换换法变换 (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素倍法变换倍法变换 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去消法变换消法变换第6页，共10页，编辑于2022年，星期一v矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B等价 记作 A B 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A与B行等价 记作 A Br 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A与B列等价 记作 A Bcv等价关系的性质 (i)反身性 AA (ii)对称性 若AB 则BA (ii

5、i)传递性 若AB BC 则AC 下页第7页，共10页，编辑于2022年，星期一r3r41 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 61 1 2 1 40 2 2 2 00 5 5 3 60 3 3 4 31 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 92r3+r4v矩阵初等变换举例 r1r2r3+r22r1+r33r1+r41 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 60 0 0 1 3r2x1/25r2 r33r2+r4r3x1/2r2+r1r3+r2行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 1 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 0

6、0 0 0 0 00 0 0 1 3下页第8页，共10页，编辑于2022年，星期一 定理：定理：任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵.例例 判断下列矩阵是否为行阶梯形矩阵判断下列矩阵是否为行阶梯形矩阵.对行最简形矩阵再施以初等列变换 可变成一种形状更简单的矩阵 称为标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为0 v矩阵的标准形c比如上述行最简形矩阵经初等列变换得 c第9页，共10页，编辑于2022年，星期一 定理定理5.1：任何：任何 mn 矩阵矩阵 A 都可经过有限次初等变换化为形如都可经过有限次初等变换化为形如的矩阵的矩阵称矩阵称矩阵F 为为 A 的的标准形标准形.证明：略证明：略第10页，共10页，编辑于2022年，星期一