线性代数行列式的展开定理幻灯片.ppt

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1、第1页，共45页，编辑于2022年，星期一例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 简化高阶行列式计算的一个重要方法就是降低行列式的简化高阶行列式计算的一个重要方法就是降低行列式的阶数。阶数。第2页，共45页，编辑于2022年，星期一 【定义】【定义】在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行行和第和第 列划去后，余下的列划去后，余下的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如第3页，共45页，编辑于2022年，星期一第4页，共45页，编辑于2022年，星期一 【定理定理】行列式等于它的任

2、一行（列）的各元素与其对行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：应的代数余子式乘积之和，即：二、基于行列式某一行（列）的展开定理二、基于行列式某一行（列）的展开定理显然这些项都是显然这些项都是 D 的的 个展开项中的某一项，个展开项中的某一项，第5页，共45页，编辑于2022年，星期一 因此只需证明在两端的展开式中，这些项前面的因此只需证明在两端的展开式中，这些项前面的符号也相同即可。符号也相同即可。右端右端 中的项：中的项：其中：其中：是是 的一个排列。的一个排列。在右端的展开式中，该项前面所带的符号是：在右端的展开式中，该项前面所带的符号是：第6页，共45页，编

3、辑于2022年，星期一该符号正好是在该符号正好是在D的完全展开式中的完全展开式中前面所带的符号。前面所带的符号。证毕证毕第7页，共45页，编辑于2022年，星期一例例1 1按第三行展开第8页，共45页，编辑于2022年，星期一第9页，共45页，编辑于2022年，星期一例例2 2 计算计算解：解：第10页，共45页，编辑于2022年，星期一例例3计算范德蒙计算范德蒙(Vandermonde)行列式行列式第11页，共45页，编辑于2022年，星期一按第按第1列展开，提取公因式得：列展开，提取公因式得：第12页，共45页，编辑于2022年，星期一依次下去：依次下去：第13页，共45页，编辑于2022

4、年，星期一例例4 计算计算解：解：第14页，共45页，编辑于2022年，星期一上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式，故有：阶范德蒙行列式，故有：第15页，共45页，编辑于2022年，星期一例例5 5 计算计算第16页，共45页，编辑于2022年，星期一第17页，共45页，编辑于2022年，星期一第18页，共45页，编辑于2022年，星期一例例7 7 证明证明 证证：第19页，共45页，编辑于2022年，星期一由以上递推公式可得：由以上递推公式可得：逐个代入可得：逐个代入可得：第20页，共45页，编辑于2022年，星期一解：解：按第按第1行展开：行展开：第21页，共45页

5、，编辑于2022年，星期一整理：整理：由此：由此：（请关注本题解决问题的思想！）（请关注本题解决问题的思想！）第22页，共45页，编辑于2022年，星期一按第n列展开第23页，共45页，编辑于2022年，星期一第24页，共45页，编辑于2022年，星期一 解：利用加边法，有：解：利用加边法，有：第25页，共45页，编辑于2022年，星期一（请关注本题解决问题的思想！）（请关注本题解决问题的思想！）第26页，共45页，编辑于2022年，星期一 【定理定理】行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于

6、零，即证证第27页，共45页，编辑于2022年，星期一同理同理相相同同第28页，共45页，编辑于2022年，星期一关于代数余子式的重要性质：关于代数余子式的重要性质：第29页，共45页，编辑于2022年，星期一 2.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结1、余子式，代数余子式的概念、余子式，代数余子式的概念重要结论：重要结论：按第i行展开按第j列展开第30页，共45页，编辑于2022年，星期一习题习题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和第31页，共

7、45页，编辑于2022年，星期一第32页，共45页，编辑于2022年，星期一第33页，共45页，编辑于2022年，星期一信息系信息系 刘康泽刘康泽 1-3 1-3 拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理(2)(2)第34页，共45页，编辑于2022年，星期一第35页，共45页，编辑于2022年，星期一第36页，共45页，编辑于2022年，星期一第37页，共45页，编辑于2022年，星期一第38页，共45页，编辑于2022年，星期一第39页，共45页，编辑于2022年，星期一第40页，共45页，编辑于2022年，星期一第41页，共45页，编辑于2022年，星期一第42页，共45页，编辑于2022年，星期一第43页，共45页，编辑于2022年，星期一第44页，共45页，编辑于2022年，星期一第45页，共45页，编辑于2022年，星期一