线性规划的标准化及图解法幻灯片.ppt
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1、线性规划的标准化及图解法第1页,共42页,编辑于2022年,星期一2线性规划的应用在人力,物力资源有限的条件下,如何安排生产,达到最大收益?如何用最少的人力,物力资源,完成给定的任务。许多管理上的问题可以用线性规划来求解。第2页,共42页,编辑于2022年,星期一3线性规划的问题某工厂生产两种型号的电机(记为A和B),每台A型电机需用原料2个单位,4个工时,每台B型电机需用原料3个单位,2个工时,工厂共有原料100个单位,120个工时,A、B型电机的每台利润分别为600元和400元,问两种电机各生产多少可使利润最大?设A、B型电机各生产x1,x2台,x1,x2称为决策变量。利润函数600 x1
2、+400 x2目标函数2x1+3x2 1004x1+2x2 120约束条件第3页,共42页,编辑于2022年,星期一4线性规划的数学问题上述问题可写成如下的数学形式:它是求目标函数的最大值,决策变量满足一定的条件(约束条件)。第4页,共42页,编辑于2022年,星期一5线性规划的模型特点这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。“Max”是英文单词“Maximize”的缩写,含义为“最大化”;“s.t.”是“subject to”的缩写,表示“满足于”。上述模型的含义是:在给定条件限制下,求使目标函数z达到最大的x1,x2 的取值。第5页,共42页,编辑于2022年,星期一6设有两个砖厂A1,A
3、2。产量分别为23万和27万,供应三个工地B1,B2,B3。其需要量分别为17万,18万和15万。砖厂到各工地的每万块砖的运价如下表:线性规划的应用模型B1B2B3A1506070A260110160如何调运,才可使总运费最小?第6页,共42页,编辑于2022年,星期一7于是得到如下的线性规划模型:该问题可推广到m个产地,n个销地的运输问题。第7页,共42页,编辑于2022年,星期一8线性规划的应用模型某饲养场使用甲,乙,丙,丁四种饲料,每种饲料的的维生素A,B,C含量及单位价格和所需的维生素如下表,要求配制一个混合饲料,每单位混合饲料的维生素A、B、C的需要量为3,5,10.甲 乙 丙 丁需
4、要量ABC0.2 0.8 1.2 0.60.8 0.3 0.9 0.71.2 0.9 0.7 1.5 3510单价5 6 6 7问如何配制多少可使成本最小而又能满足需要?第8页,共42页,编辑于2022年,星期一9线性规划的应用模型设x1,x2,x3,x4是甲乙丙丁四种饲料的用量,则要求维生素A的含量大于3,有0.2x1+0.8x2+1.2x3+0.6x4 3要求维生素B的含量大于5,有 0.8x1+0.3x2+0.9x3+0.7x4 5要求维生素C的含量大于10,有 1.2x1+0.9x2+0.7x3+1.5x4 10目标是成本最小,有 Min 5x1+6x2+6x3+7x4第9页,共42页
5、,编辑于2022年,星期一10线性规划的应用模型于是可得如下的线性规划的模型:第10页,共42页,编辑于2022年,星期一11线性规划的一般形式第11页,共42页,编辑于2022年,星期一12线性规划的数学结构它是求一个函数最大值或最小值问题;这个函数称为目标函数;这个目标函数是线性函数;这个目标函数可以认为定义在一个特定的区域上.这个区域是由一组线性不等式所确定.第12页,共42页,编辑于2022年,星期一13线性规划的标准形式第13页,共42页,编辑于2022年,星期一14 可以看出,线性规划的标准形式有如下四个特点:目目标标最最大大化化、约约束束为为等等式式、决决策策变量均非负、右端项非
6、负。变量均非负、右端项非负。线性规划的标准形式对于各种非标准形式的线性规划问题,我们总可以通过以下变换,将其转化为标准形式:第14页,共42页,编辑于2022年,星期一15 1.若目标函数求极小:将线性规划化成标准形式设目标函数为 Min f=c1x1+c2x2+cnxn 则可以令z -f 求极大化问题化成求下面的极小化问题.即 Max z=-c1x1-c2x2-cnxn 但必须注意,尽管以上两个问题的最优解相同,但他们最优解的目标函数值却相差一个符号,即 Min f -Max z第15页,共42页,编辑于2022年,星期一16 2、约束条件不是等式的问题:设约束条件为 ai1 x1+ai2
7、x2+ain xn bi 可以引进一个新的变量(称为松弛变量松弛变量)xn+i,xn+i 0,这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ain xn+xn+i=bi将线性规划化成标准形式第16页,共42页,编辑于2022年,星期一17 当约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ain xn bi 时,类似地引入变量xn+i(称为剩余变量剩余变量)xn+i0,这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ain xn-xn+i=bi 将线性规划化成标准形式第17页,共42页,编辑于2022年,星期一18 例2.:将以下线性规划问题转化为标准形式将线性规划化成标准形式 解:第一个约束引
8、入松弛变量x4,第二个约束引入剩余变量x5 第18页,共42页,编辑于2022年,星期一19于是,我们可以得到以下标准形式的线性规划问题:将线性规划化成标准形式第19页,共42页,编辑于2022年,星期一20 3.变量无符号限制的问题:在标准形式中,必须每一个变量均有非负约束。当某一个变量xj没有非负约束时,可以令 xj=xj-xj”其中 xj0,xj”0即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量,当然xj的符号取决于xj和xj”的大小。将线性规划化成标准形式第20页,共42页,编辑于2022年,星期一21 4.右端项有负值的问题:在标准形式中,要求右端项必须每一个分量非负。当某一个右端项
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