线性代数方阵的行列式幻灯片.ppt

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1、线性代数方阵的行列式第1页，共63页，编辑于2022年，星期一教学要求：教学要求：1.了解行列式的定义和性质了解行列式的定义和性质;2.掌握三阶、四阶行列式的计算法，掌握三阶、四阶行列式的计算法，会计算简单的会计算简单的n阶行列式阶行列式;3.了解排列与对换了解排列与对换;4.会用会用Gramer法则解线性方程组法则解线性方程组.第2页，共63页，编辑于2022年，星期一第3页，共63页，编辑于2022年，星期一定义定义1.二阶行列式定义为二阶行列式定义为主对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算第4页，共63页，编辑于2022年，星期一定义定义2.三阶行列式定义为三

2、阶行列式定义为三阶行列式的计算三阶行列式的计算-对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号第5页，共63页，编辑于2022年，星期一说明说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.考察三阶行列式如下：考察三阶行列式如下：第6页，共63页，编辑于2022年，星期一第7页，共63页，编辑于2

3、022年，星期一定义定义3.代数余子式代数余子式剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式第8页，共63页，编辑于2022年，星期一定义定义4.是一个算式，且是一个算式，且第9页，共63页，编辑于2022年，星期一注意：注意：(1)行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行 列式中位于不同行不同列的元素构成的列式中位于不同行不同列的元素构成的.(3)定义定义4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列中行列式按第一行展开，同样也可按第一列 展开，甚至按行列式中任意行或列展开展开，甚至按行列式中任意行或列展开.由此可

4、计算一些行列式由此可计算一些行列式.Example1.第10页，共63页，编辑于2022年，星期一Proof.（数学归纳法）（数学归纳法）第11页，共63页，编辑于2022年，星期一不是对角行列式，不是对角行列式，第12页，共63页，编辑于2022年，星期一性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记性质性质2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列 式的性质凡是对行成立

5、的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第13页，共63页，编辑于2022年，星期一例如例如推论推论 如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)完全相同完全相同,则行列式为零则行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.第14页，共63页，编辑于2022年，星期一推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果

6、有两行（列）元素成比例，则此行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零行列式为零证明证明注意与矩阵数乘运算的区别注意与矩阵数乘运算的区别,第15页，共63页，编辑于2022年，星期一性质性质5 5若行列式若行列式D的某一列（行）的元素都是两数的某一列（行）的元素都是两数之和之和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如第16页，共63页，编辑于2022年，星期一性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变例如例如第17页，共63页，编

7、辑于2022年，星期一性质性质7.行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则下面证明下面证明:证证第18页，共63页，编辑于2022年，星期一第19页，共63页，编辑于2022年，星期一相同相同同理同理第20页，共63页，编辑于2022年，星期一性质性质8.Laplace定理定理(2)Laplace定理定理第21页，共63页，编辑于2022年，星期一第22页，共63页，编辑于2022年，星期一为方便起见，引用以下符号：为方便起见，引用以下符号：其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为三角行列式来计算行列式的值三角行列式来计算行列式的值.第23页

8、，共63页，编辑于2022年，星期一Solution.第24页，共63页，编辑于2022年，星期一ex3.已知已知204,527,255三数都能被三数都能被17整除，整除，不计算行列式的值，证不计算行列式的值，证明明三阶行列式三阶行列式也能被也能被17整除整除.Solution.第25页，共63页，编辑于2022年，星期一Solution.第26页，共63页，编辑于2022年，星期一第27页，共63页，编辑于2022年，星期一Solution.第28页，共63页，编辑于2022年，星期一Solution.其二、当行列式各行其二、当行列式各行(列列)元素之和相同时，应先把各元素之和相同时，应先把

9、各列列(行行)加到第加到第1 1列列(行行)，提取公因式后再考虑，提取公因式后再考虑.第29页，共63页，编辑于2022年，星期一Solution.第30页，共63页，编辑于2022年，星期一故原方程的解为故原方程的解为第31页，共63页，编辑于2022年，星期一思考思考其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行列式的某一行列式的某一行(列列)化出尽量多的化出尽量多的0 0元素，然后由定义元素，然后由定义按该行按该行(列列)展开展开.第32页，共63页，编辑于2022年，星期一Solution.第33页，共63页，编辑于2022年，星期一Sol

10、ution.第34页，共63页，编辑于2022年，星期一第35页，共63页，编辑于2022年，星期一第36页，共63页，编辑于2022年，星期一其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数学归纳法计算或证明行列式的值学归纳法计算或证明行列式的值.第37页，共63页，编辑于2022年，星期一Solution.（数学归纳法）（数学归纳法）第38页，共63页，编辑于2022年，星期一第39页，共63页，编辑于2022年，星期一这个行列式称为这个行列式称为Vandermonde（范德蒙）行列式，（范德蒙）行列式，可见可见Vandermonde（范德蒙）行

11、列式为零的充要条件是（范德蒙）行列式为零的充要条件是注意注意不是不是Vandermonde行列式行列式第40页，共63页，编辑于2022年，星期一解法解法1其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果.第41页，共63页，编辑于2022年，星期一第42页，共63页，编辑于2022年，星期一解法解法2第43页，共63页，编辑于2022年，星期一其六其六.当行列式为三线非当行列式为三线非0 0行列式时，将其转化为三角行列式时，将其转化为三角行列式来计算行列式来计算.第44

12、页，共63页，编辑于2022年，星期一其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一行一列行一列.用于主对角线上元素不同，其余元素相同用于主对角线上元素不同，其余元素相同(或或各行其余元素成比例各行其余元素成比例)的行列式的行列式.Solution.第45页，共63页，编辑于2022年，星期一第46页，共63页，编辑于2022年，星期一第47页，共63页，编辑于2022年，星期一Solution.第48页，共63页，编辑于2022年，星期一定义定义1.如如2431是一个是一个4级排列级排列.定义定义2.在一个排列中在一个排列中,如果一对数的前后位置

13、与大小顺序相反如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序那么它们就称为一个逆序,一一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.第49页，共63页，编辑于2022年，星期一例如例如 排列排列32514 中，中，3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.第50页，共63页，编辑于2022年，星期一定义定义3.逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为

14、奇数的排列称为奇排列.定义定义4.在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换.将相邻两个数字对换，叫做相邻对换将相邻两个数字对换，叫做相邻对换.结论结论1.对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.第51页，共63页，编辑于2022年，星期一结论结论2.关于关于n阶行列式的另一定义阶行列式的另一定义第52页，共63页，编辑于2022年，星期一ex14.已知已知Solution.含含 的项有两项的项有两项,即在即在中对应于中对应于第53页，共63页，编辑于2022年，

15、星期一第54页，共63页，编辑于2022年，星期一1.线性方程组线性方程组当方程个数与未知数个数相同时当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形式为线性方程组的形式为:则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.第55页，共63页，编辑于2022年，星期一2.Gramer法则法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即第56页，共63页，编辑于2022年，星期一那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为其中其中 是把系数行列式是

16、把系数行列式 中第中第 j 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即阶行列式，即第57页，共63页，编辑于2022年，星期一证明证明在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得第58页，共63页，编辑于2022年，星期一由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,于是于是当当 时时,方程组方程组(2)有唯一的一个解有唯一的一个解第59页，共63页，编辑于2022年，星期一由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,故故也是方程组也是方程组(1)的解的解.3.重要定理重要定理定理定理1.如果线性方程组的系数行列式不等于如果线

17、性方程组的系数行列式不等于0，则方，则方 程组一定有解，且解是唯一的程组一定有解，且解是唯一的.定理定理2.如果线性方程组无解或有两个不同的解，则如果线性方程组无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为它的系数行列式必为0.第60页，共63页，编辑于2022年，星期一推论推论1.如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式 则齐次线性方程组只有唯一零解则齐次线性方程组只有唯一零解.推论推论2.如果齐次线性方程组有非零解，则它的如果齐次线性方程组有非零解，则它的 系数行列式系数行列式第61页，共63页，编辑于2022年，星期一Solution.第62页，共63页，编辑于2022年，星期一Solution.要使齐次线性方程组有非零解，则要求系数行列式为零要使齐次线性方程组有非零解，则要求系数行列式为零.The end 第63页，共63页，编辑于2022年，星期一