线性系统的数学模型 (2)幻灯片.ppt

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1、线性系统的数学模型第1页，共60页，编辑于2022年，星期一本章重点本章重点 通通过本章学本章学习，应着重着重了解控制系了解控制系统数学模型的数学模型的基本知基本知识，熟，熟练掌握掌握线性性定常系定常系统微分方程的建立、微分方程的建立、传递函数的概念和函数的概念和应用知用知识、控制系、控制系统方框方框图的构的构成和等效成和等效变换方法、典型方法、典型闭环控制系控制系统的的传递函数函数的基本概念和梅的基本概念和梅逊公式的公式的应用用。本章本章主要内容主要内容本章介绍了建立控制本章介绍了建立控制系统数学模型和简化系统数学模型和简化的相关知识。包括线的相关知识。包括线性定常系统微分方程性定常系统微分

2、方程的建立、非线性系统的建立、非线性系统的线性化方法、传递的线性化方法、传递函数概念与应用、方函数概念与应用、方框图及其等效变换、框图及其等效变换、梅逊公式的应用等。梅逊公式的应用等。第2页，共60页，编辑于2022年，星期一概述概述1.数学模型数学模型-描述系统变量之间关系的数学表达式描述系统变量之间关系的数学表达式2.建模的基本方法建模的基本方法:(1)机理建模法机理建模法(解析法解析法)(2)实验辩识法实验辩识法3.控制系统数学模型的主要形式控制系统数学模型的主要形式:(1)外部描述法外部描述法:输入输入-输出描述输出描述(2)内部描述法内部描述法:状态变量描述状态变量描述在控制系统的分

3、析中在控制系统的分析中,线性定常系统的分析有线性定常系统的分析有特别重要的意义。特别重要的意义。第3页，共60页，编辑于2022年，星期一工程控制中常用的数学模型有三种：工程控制中常用的数学模型有三种：微分方程微分方程-时域描述时域描述传递函数传递函数-复域描述复域描述频率特性频率特性-频域描述频域描述此外还有：差分方程、信号流图、状态方程等。此外还有：差分方程、信号流图、状态方程等。本节主要介绍微分方程与传递函数两种数学模型本节主要介绍微分方程与传递函数两种数学模型第4页，共60页，编辑于2022年，星期一2-1线性系统的输入线性系统的输入-输出时间函数描述输出时间函数描述线性系统微分方程的

4、建立步骤线性系统微分方程的建立步骤1.确定系统的输入与输出确定系统的输入与输出2.列列写写系系统统各各部部分分的的微微分分方方程程（牛顿三大定律（惯性定律、加速度定律、作用和反作用定律）、能量守恒定律、动量守恒定律、科希霍夫电压、电流定律、物质守恒定律及各学科有关导出定律等等）3.消去中间变量消去中间变量,求出系统的微分方程求出系统的微分方程4.标准化标准化，即将与输入变量有关的各项放到等号的右侧，与输出变量有关的各项放到等号的左侧，且各阶导数按降幂排列。第5页，共60页，编辑于2022年，星期一例例1 1 编写如图编写如图2-1-12-1-1所示所示RLCRLC电路的微分方程式电路的微分方程

5、式 图图2-1-1RLC串联网络串联网络第6页，共60页，编辑于2022年，星期一 解解:(1)定输入输出量定输入输出量:u -输入量 uc-输出量 （3）消去中间变量消去中间变量,可得电路微分方程式可得电路微分方程式(2)列写微分方程列写微分方程式中第7页，共60页，编辑于2022年，星期一例例2 2 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器（阻尼器（S-M-DS-M-D）机械位移系统）机械位移系统第8页，共60页，编辑于2022年，星期一第9页，共60页，编辑于2022年，星期一*比较比较R-L-C电路运动方程与电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相

6、似关系相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系第10页，共60页，编辑于2022年，星期一第11页，共60页，编辑于2022年，星期一线性系统的性质：线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）具有可叠加性、均匀性（齐次性）线性定常微分方程求解方法线性定常微分方程求解方法直接求解法：通解直接求解法：通解+特解特解自由解自由解+强迫解（零输入响应强迫解（零输入响应+零状态响应）零状态响应）变换域求解法：变换域求解法：Laplace变换方法变换方法 第12页，共60页，编辑于2022年，星期一2-2传递函数传递函数微分方程的求解第13页，共60页，编辑于2022年，星期一传递函数的定义和性质传

7、递函数的定义和性质定义定义：在线性系统中，当初始条件为零时，输出的L变换C(s)与输入的L变换R(s)之比设线性定常系统由设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：阶线性定常微分方程描述：第14页，共60页，编辑于2022年，星期一在零初始条件下，由传递函数的定义得在零初始条件下，由传递函数的定义得例例 1 1 图2-1-1 所示RLC电路的微分方程式为初始条件为零时，该电路的传递函数为初始条件为零时，该电路的传递函数为第15页，共60页，编辑于2022年，星期一传递函数的性质传递函数的性质（1）因果系统的传递函数是）因果系统的传递函数是s的有理真分式函数，具有的有理真分式函数，具有复变函数的

8、性质。复变函数的性质。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关。信号的形式无关。（3）传递函数与微分方程可相互转换。）传递函数与微分方程可相互转换。（4）传递函数）传递函数的的L反变换是系统的脉冲响应反变换是系统的脉冲响应。第16页，共60页，编辑于2022年，星期一传递函数的零点与极点传递函数的零点与极点z1z2称为传递系数或根轨迹系数称为传递系数或根轨迹系数图图2-2-1第17页，共60页，编辑于2022年，星期一传递函数写成因子连乘积的形式传递函数写成因子连乘积的形式称为传递系数或增益或放大系数称为传递系数或增益或放大

9、系数第18页，共60页，编辑于2022年，星期一传递函数的极点就是微分方程的特征根，传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自极点决定了系统自由运动的模态，由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。态。传递函数极点和零点对输出的影响传递函数极点和零点对输出的影响自由运动的模态自由运动的模态输入函数输入函数第19页，共60页，编辑于2022年，星期一零状态响应零状态响应前两项具有与输入函数相同的模态前两项具有与输入函数相同的模态后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数有关有关

10、传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，例如例如第20页，共60页，编辑于2022年，星期一输入信号输入信号，零状态响应分别为，零状态响应分别为各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。点相对于极点的距离。例如：例如：z1z2图图2-2-2第21页，共60页，编辑于2022年，星期一零点、极点、传递系数与系统响应的关系极点决定了系统自由（固有）运动属性极点位置决定了系统响应的稳定性和快速性零点决定了运动模态的比重传递系数决定了系统的稳态传递性能第22页，共60页，编

11、辑于2022年，星期一闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数输入信号作用下的闭环传递函数输入信号作用下的闭环传递函数图图2-2-3系统框图系统框图)(1sG第23页，共60页，编辑于2022年，星期一扰动作用下的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数输入和扰动共同作用式，系统输出响应为输入和扰动共同作用式，系统输出响应为图图2-2-4第24页，共60页，编辑于2022年，星期一闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数 ，则有以 为输出量时的传递函数误差传递函数若并且第25页，共60页，编辑于2022年，星期一2-3 2-3 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化实际的物理元件都存在一定的

12、非线性，例如实际的物理元件都存在一定的非线性，例如弹簧系数弹簧系数是位移的函数是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区电动本身的摩擦、死区小偏差线性化法小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数设连续变化的非线性函数并设在给定工作点并设在给定工作点邻域展开泰勒级数邻域展开泰勒级数处各阶导数都存在，则可在处各阶导数都存在，则可在第26页，共60页，编辑于2022年，星期一第27页，共60页，编辑于2022年，星期一第28页，共60页，编辑于2022年，星期一第29页，共60页，编辑于2022年，星期一第30页，共60页，编辑于2

13、022年，星期一第31页，共60页，编辑于2022年，星期一具有两个自变量的非线性函数的线性化具有两个自变量的非线性函数的线性化当当很小时，可以忽略上式中二阶以上各项很小时，可以忽略上式中二阶以上各项式中式中设输入量为设输入量为在给定工作点邻域展开泰勒级数第32页，共60页，编辑于2022年，星期一2-4典型环节的数学模型典型环节的数学模型比例环节比例环节：其输出量和输入量的关系，由其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示下面的代数方程式来表示 式中式中放大系数，为一常数。放大系数，为一常数。传递函数为：传递函数为：第33页，共60页，编辑于2022年，星期一图图2-4-1比例环节比例

14、环节第34页，共60页，编辑于2022年，星期一惯性环节惯性环节 惯性环节的传递函数可以写成如下表达式惯性环节的传递函数可以写成如下表达式:现求输入量为单位跃阶函数时，惯性环节输出量的函数关系现求输入量为单位跃阶函数时，惯性环节输出量的函数关系求拉氏反变换得求拉氏反变换得 时间常数时间常数 式中式中 比例系数比例系数 第35页，共60页，编辑于2022年，星期一积分环节积分环节 传递函数为：传递函数为：当输入量为阶跃函数时，则输出量为：当输入量为阶跃函数时，则输出量为：微分环节微分环节传递函数为：传递函数为：当输入量为阶跃函数时，则输出量为：当输入量为阶跃函数时，则输出量为：第36页，共60页

15、，编辑于2022年，星期一振荡环节振荡环节 这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。今数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。今以以RLC电路（图电路（图2-1-1）为例加以说明。电路的电）为例加以说明。电路的电压平衡方程式为压平衡方程式为:在零初始条件下取拉氏变换得传递函数为：在零初始条件下取拉氏变换得传递函数为：第37页，共60页，编辑于2022年，星期一纯滞后环节纯滞后环节 纯滞后的单位阶跃响应的表达式为：纯滞后的单位阶跃

16、响应的表达式为：在在零零初初始始条条件件下下取取拉拉氏氏变变换换得得传传递递函函数数为：为：纯滞后时间，或称死时纯滞后时间，或称死时第38页，共60页，编辑于2022年，星期一 2-5 2-5 框图及其化简方法框图及其化简方法控制系统的结构图：控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。统的信号传递过程给出了一种直观的描述。系统结构图的组成与绘制系统结构图的组成与绘制系统结构图一般有四个基本单元组成：（系统结构图一般有四个基本单元组成：（1）信

17、号线；）信号线；（2）引出点（或测量点）；（）引出点（或测量点）；（3）比较点（或信号综合）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（点）表示对信号进行叠加；（4）方框（或环节）表示对）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。第39页，共60页，编辑于2022年，星期一结构图三种基本形式结构图三种基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串串联联并并联联反反馈馈第40页，共60页，编辑于2022年，星期一结构图等效变换方法结构图等效变换方法1三种典型结构可直接用公式三种典型结构可直接用公式2相邻

18、综合点可互换位置相邻综合点可互换位置3相邻引出点可互换位置相邻引出点可互换位置注意事项：注意事项：1不是不是典型结构典型结构不可不可直接用公式直接用公式2引出点综合点引出点综合点相邻，相邻，不可不可互换位置互换位置第41页，共60页，编辑于2022年，星期一引出点移动引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1第42页，共60页，编辑于2022年，星期一G2H1G1G3综合点移动综合点移动向同类移动向同类移动G1G2G3H1G1第43页，共60页，编辑于2022年，星期一G1G4H3G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1第44页，共60页，

19、编辑于2022年，星期一2-6信号流程图信号流程图信号流程图中的术语信号流程图中的术语源点：只有输出支路的节点称为源点或输入节点源点：只有输出支路的节点称为源点或输入节点汇点：只有输入支路的节点称为汇点或输出节点汇点：只有输入支路的节点称为汇点或输出节点混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点合节点通路：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支通路：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路开通路：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路开通路：与任一

20、节点相交不多于一次的通路称为开通路第45页，共60页，编辑于2022年，星期一闭通路。如果通路的终点就是通路的起点，并闭通路。如果通路的终点就是通路的起点，并且与且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通任何其他节点相交不多于一次的称为闭通路或称为回环路或称为回环回环增益。回环中各支路传输的乘积称为回环增益回环增益。回环中各支路传输的乘积称为回环增益(或传输）或传输）前向通路。是指从源头开始并终止于汇点且与其前向通路。是指从源头开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为前向通路增益乘积称为前向通路增益不接触回环。如果一信号流

21、图有多个回环，各回环不接触回环。如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环称为接触回环第46页，共60页，编辑于2022年，星期一绘制信号流程图绘制信号流程图 首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流程图绘制程式绘制各支路。当所有方程式的信号流程图绘制完毕后，即得系统的信号流图，如图完毕后，即得系统的信号流图，如图2-6-1（a）。）。该系统相应的结构图如图该系统相应的结构图如图2-6-1（b）所示所示例说明绘制信号流程图的过

22、程。一系统的方程组为：例说明绘制信号流程图的过程。一系统的方程组为：第47页，共60页，编辑于2022年，星期一图图2-6-1系统信号流程图和结构图系统信号流程图和结构图第48页，共60页，编辑于2022年，星期一四个单独回路，两个回路互不接触四个单独回路，两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1afbgchehgf+afchabcded(1bg)前向通路两条前向通路两条信号流图信号流图第49页，共60页，编辑于2022年，星期一Pk从从R(s)到到C(s)的第的第k条前向通路传递函数条前向通路传递函数梅逊公式介绍梅逊公式介绍R-CC(s)R(s)=Pkk:称为系

23、统特征式称为系统特征式=1-La+LbLc-LdLeLf+其中其中:所有单独所有单独回路增益回路增益之和之和LaLbLc所有两两互不接触回路增益乘积之和所有两两互不接触回路增益乘积之和LdLeLf所有三个互不接触回路增益乘积之和所有三个互不接触回路增益乘积之和k称为第称为第k条前向通路的余子式条前向通路的余子式求法求法:去掉第去掉第k条前向通路后所求的条前向通路后所求的第50页，共60页，编辑于2022年，星期一梅逊公式例梅逊公式例R-CR(s)C(s)L1=G1H1L2=G3H3L3=G1G2G3H3H1L4=G4G3L5=G1G2G3L1L2=(G1H1)(G3H3)=G1G3H1H3L1

24、L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G31=1 G4(s)H1(s)H3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G32=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?第51页，共60页，编辑于2022年，星期一例例 2-6-1 2-6-1 求如图求如图2-6-22-6-2所示系统的传递函数所示系统的传递函数 该系统的前向通路及其传输为：该系统的前向通路及其传输为：系统的回环及其传输为系统的回环及其传输为上述各环互相接触，因此上述各环互相接触，因此第

25、52页，共60页，编辑于2022年，星期一由此得系统的特征式由此得系统的特征式：上述各回环都与前向通路上述各回环都与前向通路T1和和T2相接触（有共同环相接触（有共同环节或公共节点），因此得：节或公共节点），因此得：图图2-6-2系统结构图系统结构图第53页，共60页，编辑于2022年，星期一根据梅逊公式求得系统传递函数为：根据梅逊公式求得系统传递函数为：第54页，共60页，编辑于2022年，星期一L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=G2H2L3=G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+

26、G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2R(s)N(s)例例2-6-2 2-6-2 梅逊公式求梅逊公式求C(s)(1-G1H1)第55页，共60页，编辑于2022年，星期一G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)例例2-6-3 2-6-3 梅逊公式求梅逊公式求E(s)E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2第56页，共60页，编辑于2022年，星期一G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)梅逊公式求梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H

27、1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2P1=11=1+G2H2(1+G2H2)P11=?+第57页，共60页，编辑于2022年，星期一G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)+第58页，共60页，编辑于2022年，星期一G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求梅逊公式求E(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)P2=-G3G2H32=1P22=?(-G3G2H3)R(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+第59页，共60页，编辑于2022年，星期一G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)2=1P22=?(-G3G2H3)R(s)N(s)P1=G2H31=1(G2H3)+N(s)P2=-G3G2H3+第60页，共60页，编辑于2022年，星期一