自动控制第九章幻灯片.ppt

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1、自动控制第九章课件第1页，共191页，编辑于2022年，星期二经典控制理论经典控制理论 a.a.特点特点研究对象：单输入、单输出线性定常系统。研究对象：单输入、单输出线性定常系统。解决方法：频率法、根轨迹法、传递函数。解决方法：频率法、根轨迹法、传递函数。非线性系统：相平面法和描述函数法。非线性系统：相平面法和描述函数法。数学工具：常微分方程、差分方程、拉氏变换、数学工具：常微分方程、差分方程、拉氏变换、Z Z变换。变换。b.b.局限性局限性不能应用于时变系统、多变量系统。不能应用于时变系统、多变量系统。不能揭示系统更为深刻的内部特性。不能揭示系统更为深刻的内部特性。第2页，共191页，编辑于

2、2022年，星期二现代控制理论现代控制理论a.a.特点特点研究对象：多输入、多输出系统，线性、非线性、定研究对象：多输入、多输出系统，线性、非线性、定常或时变、连续或离散系统。常或时变、连续或离散系统。解决方法：状态空间法（时域方法）。解决方法：状态空间法（时域方法）。数学工具：线性代数、微分方程组、矩阵理论。数学工具：线性代数、微分方程组、矩阵理论。b.b.主要标志主要标志19581958年，年，R.E.KalmanR.E.Kalman采用状态空间法分析系统，提出能控采用状态空间法分析系统，提出能控性、能观测性、性、能观测性、KalmanKalman滤波理论滤波理论19611961年，庞特里

3、亚金极大值原理。年，庞特里亚金极大值原理。19651965年，年，R.BellmanR.Bellman提出了最优控制的动态规划方法。提出了最优控制的动态规划方法。第3页，共191页，编辑于2022年，星期二 现代控制理论以状态空间为基础，解决多输入现代控制理论以状态空间为基础，解决多输入多输多输出、参变量、非线性、高精度、高性能等控制系统的分析出、参变量、非线性、高精度、高性能等控制系统的分析和设计问题。最优控制、最佳滤波、系统辩识、自适应控和设计问题。最优控制、最佳滤波、系统辩识、自适应控制等都是这一领域的课题。制等都是这一领域的课题。在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研在现代控制

4、理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。究和发展，已形成较为完整成熟的理论。现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间分析方法现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间分析方法描述描述输入输入状态状态输出输出诸变量之间的因果关系，不但反映了诸变量之间的因果关系，不但反映了系统系统输入输入输出输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结构的外部特性，而且揭示了系统内部的结构特征，是一种既适用于单输入特征，是一种既适用于单输入单输出系统又适用于多输单输出系统又适用于多输入入多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效

5、分析和设计。变系统的有效分析和设计。第4页，共191页，编辑于2022年，星期二一、系统数学描述的两种基本类型一、系统数学描述的两种基本类型 我们研究的系统假定具有若干输入端和输出端如图我们研究的系统假定具有若干输入端和输出端如图示。示。系统的外部变量系统的外部变量：输入向量输入向量输出向量输出向量系统的内部变量：系统的内部变量：系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。系统的数学描述通常有两种基本关系的一种数学模型。系统的数学描述通常有两种基本形式。形式。9-1 9-1 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述第5页，共1

6、91页，编辑于2022年，星期二1.1.系统的外部描述系统的外部描述 其外部数学描述是：其外部数学描述是：n阶微分方程及对应的传递函数。阶微分方程及对应的传递函数。微分方程：微分方程：传递函数：传递函数：2.2.系统的内部描述系统的内部描述 系统的内部描述即状态空间描述，通常有两个数学方程组系统的内部描述即状态空间描述，通常有两个数学方程组成。成。第6页，共191页，编辑于2022年，星期二二、状态空间描述的几个基本概念二、状态空间描述的几个基本概念1 1状态状态 所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况，是所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况，是系统信息的集合。系统信息的集合。2 2状态

7、变量状态变量 状态变量是指能确定系统运动状态的状态变量是指能确定系统运动状态的最少最少数目的一组数目的一组变量。变量。3 3状态向量状态向量 将状态变量将状态变量 视作向量视作向量 的分量，即的分量，即 称为状态向量称为状态向量 4 4状态空间状态空间 以以n个状态变量作为坐标轴所组成的个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。维空间。第7页，共191页，编辑于2022年，星期二5 5状态方程状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。程。6 6输出方程输出方程 在指定系统输出的情况下，输出与状态变量间的函数关在指定系统输出的情况下

8、，输出与状态变量间的函数关系式。系式。7 7状态空间表达式状态空间表达式(动态方程动态方程)状态方程与输出方程的组合，又称为动态方程。状态方程与输出方程的组合，又称为动态方程。线性连续系统的状态空间表达式的一般形式为：线性连续系统的状态空间表达式的一般形式为：第8页，共191页，编辑于2022年，星期二 为为n维向量，维向量，为为p维向量，维向量，为为q维向量，维向量，A为为nn矩阵，矩阵，B为为np矩阵，矩阵，C为为qn矩阵，矩阵，D为为qp矩阵。由于矩阵。由于A，B，C，D矩阵完整地表征了系统的动态特性，因此有时把一矩阵完整地表征了系统的动态特性，因此有时把一个确定的系统简称为（个确定的系

9、统简称为（A，B，C，D）。）。第9页，共191页，编辑于2022年，星期二三、线性定常连续系统状态空间表达式的建立三、线性定常连续系统状态空间表达式的建立 建立状态空间表达式的方法主要有两种：建立状态空间表达式的方法主要有两种：一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程，然后选择一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程，然后选择有关的物理量作为状态变量，从而导出状态空间表达式；有关的物理量作为状态变量，从而导出状态空间表达式；二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态空间二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态空间表达式。表达式。1 1根据系统机理建立状态空间表达式根据系统机理建立状

10、态空间表达式 以以i(t)作为中间变量，列写该回路作为中间变量，列写该回路 的微的微分方程分方程第10页，共191页，编辑于2022年，星期二(1)设状态变量设状态变量 则状态方程为：则状态方程为：输出方程为：输出方程为：写成矩阵写成矩阵向量的形式为：向量的形式为：简记为：简记为：第11页，共191页，编辑于2022年，星期二(2)设状态变量设状态变量 ，写成矩阵写成矩阵向量的形式为：向量的形式为：第12页，共191页，编辑于2022年，星期二2 2由系统微分方程建立状态空间表达式由系统微分方程建立状态空间表达式 系统的时域数学模型为输入系统的时域数学模型为输入输出之间的高阶微分输出之间的高阶

11、微分方程，其一般形式为：方程，其一般形式为：系统的时域数学模型为状态空间表达式，其形式为：系统的时域数学模型为状态空间表达式，其形式为：如何由系统的高阶微分方程建立如何由系统的高阶微分方程建立(转化为转化为)系统的状态系统的状态空间表达式，空间表达式，关键问题是选择系统的状态变量关键问题是选择系统的状态变量。(1)系统输入量中不含导数项系统输入量中不含导数项 选取选取n个状态变量：个状态变量：第15页，共191页，编辑于2022年，星期二状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：其向量矩阵形式为：其向量矩阵形式为：第16页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 设系统方程为设系统方程为 求状

12、态空间表达式。求状态空间表达式。解解 设设系统的状态方程为系统的状态方程为 输出方程为输出方程为其向量矩阵形式为：其向量矩阵形式为：第17页，共191页，编辑于2022年，星期二首先考察三阶系统，其微分方程为首先考察三阶系统，其微分方程为选择状态变量：选择状态变量：其中，待定系数为：其中，待定系数为：2 2）微分方程中含有输入信号导数项）微分方程中含有输入信号导数项第18页，共191页，编辑于2022年，星期二于是于是写成矩阵形式写成矩阵形式第19页，共191页，编辑于2022年，星期二系统的状态图系统的状态图第20页，共191页，编辑于2022年，星期二系统的微分方程为：系统的微分方程为：选

13、择下列选择下列n个状态变量：个状态变量：原则：使状态方程不含原则：使状态方程不含u的导数。的导数。第21页，共191页，编辑于2022年，星期二系统的的状态方程为系统的的状态方程为 输出方程为输出方程为 第22页，共191页，编辑于2022年，星期二3 3由系统传递函数建立状态空间表达式由系统传递函数建立状态空间表达式设系统的传递函数为设系统的传递函数为 应用综合除法有应用综合除法有(1)串联分解的情况串联分解的情况第23页，共191页，编辑于2022年，星期二系统的状态方程为系统的状态方程为 输出方程为输出方程为 其对应的微分方程为：其对应的微分方程为：选择一组状态变量为：选择一组状态变量为

14、：第24页，共191页，编辑于2022年，星期二动态方程写成向量动态方程写成向量矩阵形式为：矩阵形式为：A和和B具有以上形状时，具有以上形状时，A阵称为友矩阵，相应的动态阵称为友矩阵，相应的动态方程称为可控标准型。方程称为可控标准型。第25页，共191页，编辑于2022年，星期二第26页，共191页，编辑于2022年，星期二当当 时，时，A，B，C均不变，均不变，若我们选择另一组状态变量时，会得到系统的若我们选择另一组状态变量时，会得到系统的 请注意请注意A，C矩阵的形状特征，对应的动态方程称为可矩阵的形状特征，对应的动态方程称为可观测标准型。观测标准型。可控标准型与可观测标准型之间存在对偶关

15、系：可控标准型与可观测标准型之间存在对偶关系：第27页，共191页，编辑于2022年，星期二(2)只含单实极点时的情况只含单实极点时的情况传递函数可展成部分分式之和：传递函数可展成部分分式之和：若令状态变量若令状态变量其反变换结果为其反变换结果为 第28页，共191页，编辑于2022年，星期二展开得展开得 向量向量-矩阵形式为：矩阵形式为：第29页，共191页，编辑于2022年，星期二第30页，共191页，编辑于2022年，星期二若令状态变量满足若令状态变量满足 进行反变换并展开有进行反变换并展开有其向量其向量-矩阵形式为矩阵形式为第31页，共191页，编辑于2022年，星期二第32页，共19

16、1页，编辑于2022年，星期二例例 已知系统传递函数为已知系统传递函数为 ，试求对角型，试求对角型状态空间表式。状态空间表式。解解状态空间表达式为：状态空间表达式为：第33页，共191页，编辑于2022年，星期二(3)含重实极点时的情况含重实极点时的情况 设设D(s)可分解为可分解为传递函数可展成为下列部分分式之和传递函数可展成为下列部分分式之和 式中式中 的计算公式（的计算公式（r重极点）：重极点）：状态变量的选取方法与之含单实极点时相同，可得出向量状态变量的选取方法与之含单实极点时相同，可得出向量-矩阵形式的动态方程。矩阵形式的动态方程。第34页，共191页，编辑于2022年，星期二动态方

17、程：动态方程：或者或者 第35页，共191页，编辑于2022年，星期二四、四、线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换 对系统进行线性变换，便于揭示系统特性及分析和对系统进行线性变换，便于揭示系统特性及分析和综合设计综合设计，且不会改变系统的性质且不会改变系统的性质。1.1.系统的特征值及其不变性系统的特征值及其不变性 选择不同的状态变量便有不同形式的动态方程，若两选择不同的状态变量便有不同形式的动态方程，若两组状态变量之间用一个非奇异矩阵联系着，则两组动态方组状态变量之间用一个非奇异矩阵联系着，则两组动态方程的矩阵与该非奇异矩阵有确定的关系。程的矩阵与该非奇异矩阵有确定的关系。(1)(1

18、)等价系统方程等价系统方程 设线性定常系统的动态方程为设线性定常系统的动态方程为令令 ，P为非奇异线性变换矩阵，则：为非奇异线性变换矩阵，则：第36页，共191页，编辑于2022年，星期二经过线性变换后系统的状态方程式为：经过线性变换后系统的状态方程式为：同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程，对系统进行线性变换的目的是使矩阵规范化，以方程，对系统进行线性变换的目的是使矩阵规范化，以便揭示系统特性及分析计算。对系统进行线性变换后并便揭示系统特性及分析计算。对系统进行线性变换后并不会改变系统原有的性质，故有等价变换之称。不会改变系统原有的性质

19、，故有等价变换之称。第37页，共191页，编辑于2022年，星期二 在进行状态空间的线性变换中，需要计算矩阵的逆，在进行状态空间的线性变换中，需要计算矩阵的逆，简要复习一下逆矩阵的计算。简要复习一下逆矩阵的计算。常用的逆矩阵计算方法有常用的逆矩阵计算方法有计算伴随矩阵法计算伴随矩阵法。计算式：计算式：P-1=adj(P)/|P|其中其中adj(P)和和|P|分别为矩阵分别为矩阵P的伴随矩阵和行列式。的伴随矩阵和行列式。伴随矩阵伴随矩阵的定义与计算如下：的定义与计算如下：设有矩阵设有矩阵P为为第38页，共191页，编辑于2022年，星期二则其伴随矩阵为：则其伴随矩阵为：其中其中 为矩阵为矩阵P的

20、元素的元素 的的代数余子式代数余子式。代数余子式代数余子式 为为n n矩阵矩阵P去掉第去掉第 i 行第行第 j 列余下的列余下的n-1行行n-1列的行列式值乘以符号。列的行列式值乘以符号。第39页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 计算下述矩阵的逆矩阵。计算下述矩阵的逆矩阵。解解 (1)(1)先计算代数余子式先计算代数余子式第40页，共191页，编辑于2022年，星期二(2)(2)计算伴随矩阵计算伴随矩阵(3)(3)计算行列式值计算行列式值(4)(4)计算逆矩阵计算逆矩阵第41页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 系统状态空间表达式为系统状态空间表达式为线性变换矩阵为线性变换矩

21、阵为求线性变换后系统的状态方程。求线性变换后系统的状态方程。解解第42页，共191页，编辑于2022年，星期二(2)(2)系统的特征值系统的特征值 系统的特征值就是系统矩阵系统的特征值就是系统矩阵A的特征值。的特征值。nn维系统矩阵维系统矩阵A的特征值是下列特征方程的根：的特征值是下列特征方程的根：例例 求系统系数矩阵求系统系数矩阵 的特征值。的特征值。解解 第43页，共191页，编辑于2022年，星期二(3)(3)特征值的性质特征值的性质 A为为nn方阵时，它的特征方程是方阵时，它的特征方程是 的的n次代数方程，有次代数方程，有且仅有且仅有n个特征值。个特征值。物理上存在的系统，物理上存在的

22、系统，A为实常数矩阵时，其特征值或为为实常数矩阵时，其特征值或为实数，或为共轭复数对。实数，或为共轭复数对。同一系统进行非奇异线性变换后，其特征值不变。同一系统进行非奇异线性变换后，其特征值不变。证明如下：证明如下：为证明线性变换下特性值的不变性，需证明为证明线性变换下特性值的不变性，需证明 和和 的特征多项式相同。的特征多项式相同。注意：注意：乘积的行列式等于各行列式的乘积乘积的行列式等于各行列式的乘积第44页，共191页，编辑于2022年，星期二注意到行列式注意到行列式 和和 的乘积等于乘积的乘积等于乘积 的行列式，从的行列式，从而而这就证明了在线性变换下矩阵这就证明了在线性变换下矩阵A的

23、特征值是不变的。的特征值是不变的。若若A有互异的特征值有互异的特征值 且向量且向量 满足下列方程满足下列方程式：式：则称则称 为特征值为特征值 相对应的相对应的A的特征向量。的特征向量。第45页，共191页，编辑于2022年，星期二2.2.将状态方程化为对角线规范型将状态方程化为对角线规范型(1)(1)矩阵矩阵A具有任意形式具有任意形式 当矩阵当矩阵A为任意形式的方阵，且有为任意形式的方阵，且有n个互异实数特征值个互异实数特征值 ，则由非奇异变换可将其化为对角阵，则由非奇异变换可将其化为对角阵变换矩阵为变换矩阵为其中其中 为矩阵为矩阵A对应于特征值对应于特征值 的特征向量。的特征向量。第46页

24、，共191页，编辑于2022年，星期二例例 将矩阵将矩阵 化为对角形。化为对角形。解解 矩阵矩阵A的特征方程为的特征方程为特征值特征值设对应于设对应于 的特征向量的特征向量 ，则有则有展开得到展开得到第47页，共191页，编辑于2022年，星期二故得故得 选取选取 ，则，则 ，于是，于是 同理可以算出对应于同理可以算出对应于 时的特征向量时的特征向量故故变换后的矩阵变换后的矩阵A为为第48页，共191页，编辑于2022年，星期二(2)(2)矩阵矩阵A为友矩阵为友矩阵 A阵为友矩阵，且有互异实数特征根阵为友矩阵，且有互异实数特征根 。则用范德蒙特矩阵则用范德蒙特矩阵P可以将可以将A对角化。对角化

25、。范德蒙特矩阵范德蒙特矩阵第49页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 试将下列状态空间模型变换为对角线规范形试将下列状态空间模型变换为对角线规范形解解 1.1.先求先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为的特征值。由特征方程可求得特征值为2.2.变换矩阵变换矩阵P及其逆阵及其逆阵P-1分别为分别为第50页，共191页，编辑于2022年，星期二3.计算各矩阵计算各矩阵4.系统在新的状态变量下的状态空间模型为系统在新的状态变量下的状态空间模型为第51页，共191页，编辑于2022年，星期二(3)(3)矩阵矩阵A为任意形式的方阵，若矩阵为任意形式的方阵，若矩阵A具有具有m重实数特征重实数特征

26、值值 ，其余为，其余为(n-m)个互异实数特征值，但在求个互异实数特征值，但在求解重特征值对应的解重特征值对应的 时，仍有时，仍有m个独立特征向量个独立特征向量 ，即每个重特征值，即每个重特征值对应的独立特征向量数恰好等于重特征值的重数。对应的独立特征向量数恰好等于重特征值的重数。这时就同没有重特征值的情况一样，仍可将矩阵这时就同没有重特征值的情况一样，仍可将矩阵A化化为对角阵。为对角阵。如何检验如何检验nn型矩阵型矩阵A存在存在m重特征值时，有没有重特征值时，有没有m个个独立的特征向量独立的特征向量?由矩阵理论知道，重特征值对应的矩阵由矩阵理论知道，重特征值对应的矩阵 中，只有中，只有(n-

27、m)个独立方程时，个独立方程时，m重特征值对应有重特征值对应有m个独立个独立特征向量。特征向量。第52页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 已知系统的状态空间描述为已知系统的状态空间描述为求系统的特征值，特征向量以及对角标准型。求系统的特征值，特征向量以及对角标准型。解解系统的特征值系统的特征值 设对应设对应 的特征向量为的特征向量为第53页，共191页，编辑于2022年，星期二 设对应重特征值设对应重特征值 的特征向量为的特征向量为 可见对应可见对应 ，只有，只有(n-m)=(3-2)=1个独立方程，个独立方程，所以有两个独立的特征向量。所以有两个独立的特征向量。令令 ，则，则 同理

28、令同理令 ，则，则 第54页，共191页，编辑于2022年，星期二所以所以 对应的两个独立特征向量为对应的两个独立特征向量为变换后变换后第55页，共191页，编辑于2022年，星期二于是变换后为对角标准型于是变换后为对角标准型3.3.将状态方程化为约当规范型将状态方程化为约当规范型(1)(1)矩阵矩阵A具有任意形式具有任意形式 当当矩矩阵阵A为任意形式的方阵，具有为任意形式的方阵，具有m重实特征值重实特征值 ，其，其余为余为(n-m)个互异实特征值，但在求解个互异实特征值，但在求解 时，只有一个独立实特征向量时，只有一个独立实特征向量 ，则只能使，则只能使A化化为约当阵为约当阵J。第56页，共

29、191页，编辑于2022年，星期二约当标准形为约当标准形为变换矩阵变换矩阵 式中式中 是互异特征根对应的实特征向量，算是互异特征根对应的实特征向量，算法同上。法同上。是广义特征向量。是广义特征向量。m行行n-m行行约当块约当块第57页，共191页，编辑于2022年，星期二广义特征向量满足广义特征向量满足或可写成或可写成第58页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 化化 为约当标准型。为约当标准型。解解令令 对应的特征向量为对应的特征向量为 ，则，则第59页，共191页，编辑于2022年，星期二令令 对应的广义特征向量为对应的广义特征向量为 ，由由 ，即，即对于对于 对应的特征向量，有对应

30、的特征向量，有第60页，共191页，编辑于2022年，星期二第61页，共191页，编辑于2022年，星期二(2)(2)矩阵矩阵A为友矩阵为友矩阵 设设A阵为友矩阵，具有阵为友矩阵，具有m重实特征值重实特征值 ，其余为，其余为(n-m)个互异实特征值，但重根只有一个独立的特征向量，则能个互异实特征值，但重根只有一个独立的特征向量，则能使使A化为约当阵化为约当阵J。变换矩阵为变换矩阵为第62页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 化化 为约当标准型。为约当标准型。解解第63页，共191页，编辑于2022年，星期二五、线性定常连续系统状态方程的解五、线性定常连续系统状态方程的解 建立了系统的数

31、学描述之后，接着而来的是对系统作建立了系统的数学描述之后，接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题，定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题，也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要包括研究系统的结构性质，如能控性、定性分析主要包括研究系统的结构性质，如能控性、能观测性、稳定性等。能观测性、稳定性等。这里主要是讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量这里主要是讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题，即状态空间模型分析问题，即状态空间模型状态方程和输出

32、方程的求解问状态方程和输出方程的求解问题。题。第64页，共191页，编辑于2022年，星期二1 1齐次状态方程的解齐次状态方程的解 在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运动。称为线性定常系统的自由运动。齐次状态方程齐次状态方程(齐次向量微分方程齐次向量微分方程)为为 齐次状态方程通常采用幂级数法和拉普拉斯变换法求解。齐次状态方程通常采用幂级数法和拉普拉斯变换法求解。(1)幂级数法幂级数法 设齐次设齐次状态状态方程的解是方程的解是t 的向量幂级数，即的向量幂级数，即第65页，共191页，编辑于2022年，星期二

33、式中，式中，都是都是n维向量，且维向量，且 。将上式代入方程将上式代入方程 得到得到 令上式等号两端的同幂项系数相等令上式等号两端的同幂项系数相等定义定义则则 第66页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 设某控制系统的状态方程为设某控制系统的状态方程为 试用幂级数法求解该方程。试用幂级数法求解该方程。解解第67页，共191页，编辑于2022年，星期二(2)拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 将式将式 取拉氏变换，有取拉氏变换，有 给出了给出了 的闭合形式。的闭合形式。第68页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 设系统状态方程为设系统状态方程为 试用拉氏变换法求解。试用拉氏变换法求解。

34、解解 状态方程的解为：状态方程的解为：第69页，共191页，编辑于2022年，星期二2 2状态转移矩阵的运算性质状态转移矩阵的运算性质状态转移矩阵具有如下运算性质：状态转移矩阵具有如下运算性质：(1)(2)(3)(4)(5)第70页，共191页，编辑于2022年，星期二(6)(7)(8)(9)引入非奇异变换引入非奇异变换 后，后，(10)两种常见的状态转移矩阵两种常见的状态转移矩阵 第71页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 设设A为为22的常数矩阵，对于系统的状态方程的常数矩阵，对于系统的状态方程试求试求:(1)系统的状态转移矩阵系统的状态转移矩阵 ；(2)系统矩阵系统矩阵A。解解

35、(1)系统齐次方程解为系统齐次方程解为 ，因此应有，因此应有 第72页，共191页，编辑于2022年，星期二解方程组得解方程组得(2)对对 两边求导，可得到两边求导，可得到 第73页，共191页，编辑于2022年，星期二3.3.非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解非齐次状态方程非齐次状态方程当初始条件为当初始条件为 的解为的解为当初始条件为当初始条件为 的解为的解为 采用积分法证明：采用积分法证明：两端同左乘两端同左乘 第74页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 设系统运动方程为设系统运动方程为 ，式中，式中a，b，c均为实数，试求：均为实数，试求：(1)求系统对角型动态方程；求系统对

36、角型动态方程；(2)求系统状态转移矩阵；求系统状态转移矩阵；(3)当输入函数当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解。时，求系统状态方程的解。解解(1)求系统对角型动态方程求系统对角型动态方程(2)求系统状态转移矩阵求系统状态转移矩阵第75页，共191页，编辑于2022年，星期二(3)当输入函数当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解时，求系统状态方程的解第76页，共191页，编辑于2022年，星期二六、传递函数矩阵六、传递函数矩阵1 1定义定义 初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系称为传递函

37、数矩阵，简称传的拉氏变换式之间的传递关系称为传递函数矩阵，简称传递矩阵。递矩阵。2 2表达式表达式 设系统的动态方程为设系统的动态方程为令初始条件为零，求拉氏变换式令初始条件为零，求拉氏变换式则系统传递矩阵表达式为：则系统传递矩阵表达式为：第77页，共191页，编辑于2022年，星期二其展开式其展开式 其中其中 表示第表示第i个输出对第个输出对第j个输入之间的传递函数。个输入之间的传递函数。系统的状态空间表达式不具有唯一性，选择不同的状态变系统的状态空间表达式不具有唯一性，选择不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式，但传递函数矩阵是不变的。量，便会有不同的状态空间表达式，但传递函数矩阵是不

38、变的。第78页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 线性定常系统状态空间表达式为线性定常系统状态空间表达式为求系统的传递函数矩阵。求系统的传递函数矩阵。解解 第79页，共191页，编辑于2022年，星期二七、线性离散系统状态空间表达式的建立及其解七、线性离散系统状态空间表达式的建立及其解1 1由脉冲传递函数建立动态方程由脉冲传递函数建立动态方程 单输入单输入-单输出线性定常离散系统脉冲传递函数的一般形式单输出线性定常离散系统脉冲传递函数的一般形式为为 上式与连续系统的传递函数在形式上相同，故连续系统上式与连续系统的传递函数在形式上相同，故连续系统动态方程的建立方法可用于离散系统。动态方程

39、的建立方法可用于离散系统。第80页，共191页，编辑于2022年，星期二采用串联分解，可以得到动态方程为采用串联分解，可以得到动态方程为简记为简记为 离散系统状态方程描述了离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与时刻的状态与kT时刻时刻的状态及输入之间的关系；其输出方程描述了的状态及输入之间的关系；其输出方程描述了kT时刻的输时刻的输出量与出量与kT时刻的状态及输入量之间的关系。时刻的状态及输入量之间的关系。第81页，共191页，编辑于2022年，星期二2 2线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化 无论是采用数字控制装置对连续时间系统作实时控制，无论是采用数字控制装置对连续时间

40、系统作实时控制，还是采用数字计算机分析连续时间系统的运动行为，都会遇还是采用数字计算机分析连续时间系统的运动行为，都会遇到把连续时间系统化为等价离散时间系统的问题。到把连续时间系统化为等价离散时间系统的问题。这类问题为连续时间系统的时间离散化。这类问题为连续时间系统的时间离散化。线性连续时间系统状态方程离散化的实质是将矩阵线性连续时间系统状态方程离散化的实质是将矩阵微分方程化为矩阵差分方程，它是描述多输入多输出离微分方程化为矩阵差分方程，它是描述多输入多输出离散时间系统的一种方便的数学模型。散时间系统的一种方便的数学模型。第82页，共191页，编辑于2022年，星期二 所谓连续线性系统的时间离

41、散化问题，就是基于一所谓连续线性系统的时间离散化问题，就是基于一定的采样方式和保持方式，由系统的连续时间状态空间定的采样方式和保持方式，由系统的连续时间状态空间描述导出相应的离散时间状态空间描述，并对两者的系描述导出相应的离散时间状态空间描述，并对两者的系数矩阵建立对应的关系式。数矩阵建立对应的关系式。线性定常连续系统的状态方程为线性定常连续系统的状态方程为第83页，共191页，编辑于2022年，星期二令令 ，则，则令令 ，则，则若记若记 引入新的变量置换引入新的变量置换积分下限积分下限积分上限积分上限上式可化简为上式可化简为 第84页，共191页，编辑于2022年，星期二离散化的状态方程为离

42、散化的状态方程为离散化的输出方程为离散化的输出方程为式中式中 与连续状态转移矩阵与连续状态转移矩阵 的关系为的关系为例例 试将状态方程离散化试将状态方程离散化解解第85页，共191页，编辑于2022年，星期二3 3线性线性离散动态方程的解离散动态方程的解 求解离散系统运动的方法主要有求解离散系统运动的方法主要有z变换法和递推法，前者变换法和递推法，前者只适用于线性定常系统，而后者对非线性系统、时变系统都适只适用于线性定常系统，而后者对非线性系统、时变系统都适用，且特别适合计算机计算。下面用递推法求解系统响应。用，且特别适合计算机计算。下面用递推法求解系统响应。离散系统状态方程为离散系统状态方程

43、为令上式中的令上式中的 可以得到可以得到 时刻的状时刻的状态，即态，即第86页，共191页，编辑于2022年，星期二对方程对方程系统解为系统解为 第87页，共191页，编辑于2022年，星期二 可控性和可观测性概念，是卡尔曼于可控性和可观测性概念，是卡尔曼于20世纪世纪60年代年代首先提出的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，首先提出的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。它不仅是研究线性在现代控制理论中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且对于许多最优系统控制问题必不可少的重要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制

44、问题，也是常用到的概念控制、最优估计和自适应控制问题，也是常用到的概念之一。之一。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。基本特性。可控性：可控性：u(t)x(t)可观测性：可观测性：y(t)x(t)9-2 9-2 线性系统的可控性和可观测性线性系统的可控性和可观测性第88页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 给定系统的状态空间描述给定系统的状态空间描述 解解 展开展开 系统可控、不可观测系统可控、不可观测例例 桥式电路桥式电路解解 取取i和和 作为状态变量作为状态变量,u输入输入,输出。输出。u只能控制只能控制i。系统不可控，

45、不可观测系统不可控，不可观测 第89页，共191页，编辑于2022年，星期二一、可控性定义一、可控性定义 线性连续系统的可控性的定义为：若存在一个无约束线性连续系统的可控性的定义为：若存在一个无约束的控制向量的控制向量u(t)，能在有限时间间隔，能在有限时间间隔 内，将系内，将系统任意的初态状态统任意的初态状态 转移到任意终端状态转移到任意终端状态 ，则，则称该系统是状态完全可控的，简称系统是可控的或可称该系统是状态完全可控的，简称系统是可控的或可控系统。控系统。二、可观测性定义二、可观测性定义 线性连续系统的状态可观测性的定义为：已知输入线性连续系统的状态可观测性的定义为：已知输入u(t)及

46、有限时间间隔及有限时间间隔 内测量到的输出内测量到的输出y(t)，能唯能唯一确定初始状态一确定初始状态 ，则称系统是完全可观测的，简称，则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。系统可观测。第90页，共191页，编辑于2022年，星期二三、线性定常连续系统的可控性判据三、线性定常连续系统的可控性判据1 1凯莱凯莱哈密顿定理哈密顿定理 设设n阶矩阵阶矩阵A的特征多项式为的特征多项式为 则则A满足其特征方程，即满足其特征方程，即 称之为凯莱称之为凯莱哈密顿定理。哈密顿定理。推论推论1.1.矩阵矩阵A的的k(kn)次幂，可表为次幂，可表为A的的(n-1)阶多项式，阶多项式，即：即：推论推论2.2.矩阵

47、指数矩阵指数 可表为可表为A的的(n-1)阶多项式，即：阶多项式，即：第91页，共191页，编辑于2022年，星期二2 2状态可控性判据的第一种形式（秩判据）状态可控性判据的第一种形式（秩判据）设状态方程为设状态方程为终态解为终态解为设初始时刻设初始时刻 于是有于是有 第92页，共191页，编辑于2022年，星期二 记记 为系统可控性矩阵。为系统可控性矩阵。根据解存在定理，矩阵根据解存在定理，矩阵S的秩为的秩为n时，方程组才有解。时，方程组才有解。于是于是系统状态可控的充分必要条件是系统状态可控的充分必要条件是 第93页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 设系统状态方程为：设系统状态方

48、程为：试判别其状态的可控性。试判别其状态的可控性。解解 系统可控系统可控 第94页，共191页，编辑于2022年，星期二例例 设系统状态方程为：设系统状态方程为：试判别其状态的可控性。试判别其状态的可控性。解解 显见显见S矩阵的第二、三行元素绝对值相同矩阵的第二、三行元素绝对值相同 系统不可控。系统不可控。第95页，共191页，编辑于2022年，星期二3 3状态可控性判据的第二种形式状态可控性判据的第二种形式 当系统矩阵当系统矩阵A已化成对角阵或约当阵时，由可控性矩已化成对角阵或约当阵时，由可控性矩阵能导出更简洁直观的可控性判据。阵能导出更简洁直观的可控性判据。1)1)A阵为对角阵阵为对角阵引

49、例引例 设二阶系数设二阶系数A、b矩阵为矩阵为其可控性矩阵的行列式为其可控性矩阵的行列式为 时系统可控时系统可控当当A有相异特征值有相异特征值 时，应存在时，应存在 意为意为A阵对角化且有相异元素时，只需根据输入矩阵没阵对角化且有相异元素时，只需根据输入矩阵没有全零行即可判断系统可控。有全零行即可判断系统可控。第96页，共191页，编辑于2022年，星期二 设设n阶系统状态方程为阶系统状态方程为 A为对角阵时的可控性判据又可表为：为对角阵时的可控性判据又可表为：A为对角阵且元为对角阵且元素各异时，输入矩阵素各异时，输入矩阵B不存在全零行。不存在全零行。当当A为对角阵且含有相同元素时，上述判据不

50、适用，为对角阵且含有相同元素时，上述判据不适用，应根据可控性矩阵的秩来判断。应根据可控性矩阵的秩来判断。第97页，共191页，编辑于2022年，星期二2)2)A阵为阵为约当阵约当阵又设二阶系数又设二阶系数A、b矩阵为矩阵为可控性矩阵可控性矩阵S的行列式为的行列式为 时系统可控，于是要求：时系统可控，于是要求：即当即当A阵约当化且相同特征值分布在一个约当块时，只需根阵约当化且相同特征值分布在一个约当块时，只需根据输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零行，即据输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零行，即可判断系统可控，与输入矩阵中的其它行是否为零行是无关可判断系统可控，与输入矩阵中的其