人教A版高中数学必修四2.5.1平面几何中的向量方法 课件.ppt

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1、2.5.1 平面几何中的向量方法 温故知新1.向量共线的等价条件向量共线的等价条件:与与 共线共线 设设O为平面上为平面上 任一点，则：任一点，则：A、P、B三点共线三点共线(其中其中 +=1)2.向量垂直的充要条件：向量垂直的充要条件：（3）两向量相等充要条件：）两向量相等充要条件：且且方向相同。方向相同。若若是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，向量，那么对于这一平面的任意向量那么对于这一平面的任意向量一对实数，一对实数，使使有且只有有且只有3.平面向量基本定理平面向量基本定理4.平面向量的数量积平面向量的数量积5.平面向量求解的问题：（1）举例、角度；（2）平行、垂直；（

2、3）共点、共线；（4）平面几何的综合问题.平面几何简单定理（1）三角形中位线定理）三角形中位线定理（2）勾股定理）勾股定理（3）圆周角定理）圆周角定理ABCO问题问题1：平行四边形是表示向量加法与减法平行四边形是表示向量加法与减法 的几何模型。如图，的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD猜想：猜想：1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有何关系？何关系？何关系？何关系？2

3、.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？探求新知平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD解：即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。方和的两倍。（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；

4、（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化.例例1、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析：分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H只须证由此可设如何证？利

5、用ADBC，BECA，对应向量垂直。问题问题2：应用向量知识证明三线共点、三点共线应用向量知识证明三线共点、三点共线例例1、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点ABCDEH另解：另解：设AD与BE交于H，即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。例例1、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点HFABCDE方法三：方法三：如图建立坐标系，设A(0,a)B(b,0)C(c,0)只要求出点H、F的坐标，就可求出 、的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。

6、再设H(0,m)F(x,y)由A、B、F共线；CFAB对应向量共线及垂直解得：可得：可得：即 而CF、CH有公共点C，所以C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点例例2、如图已知、如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N，在在BN延长线上取点延长线上取点P，使使NP=BN，在在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：。求证：P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQP解解：设则由此可得即 故有 ，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线例例3、如图、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起，使点使点A与与M重合，设折痕

7、为重合，设折痕为EF，若正方形面积为，若正方形面积为64，求求AEM的面积的面积ABCDMNEF解：解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2)=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)解得：e=5 即AE=5问题问题3：应用向量知识证明等式、求值应用向量知识证明等式、求值例例4、PQ过过OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：分析分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。OABGPQ由PO=mOA,QO=nOB可知：O分 的比为 ，O分 的

8、比为由此可设 由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量 ，得到 m n 的关系。-m -n?例例4、PQ过过OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：OABGPQ证：证：如图建立坐标系，设所以重心G的坐标为由PO=mOA,QO=nOB可知：即O分 的比为-m，O分 的比为-n 求得由向量 可得：化简得：例例5.如图如图,平行四边形平行四边形ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别与分别与AC交于交于R、T两点，你能发两点，你能发现现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜

9、想：猜想：AR=RT=TC问题问题4：平面几何综合求解平面几何综合求解 如图如图,平行四边形平行四边形ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别与分别与AC交于交于R、T两点，你能发现两点，你能发现AR、RT、TC之间之间的关系吗？的关系吗？ABCDEFRT解：第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问解：第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步：通过向量运算，研究几何元素第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；之

10、间的关系，如距离、夹角等问题；又因为又因为第三步：把运算结果第三步：把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。解得解得AR=RT=TC 连接连接BD交交AC于于O，则，则R为三角形为三角形ABD的重心，的重心，所以所以AR=2RO，同理，同理CT=2TO证法二：证法二：OABCDEFRT小试牛刀1.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的

11、关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。课堂小结2.2.用向量方法解决平面几何问题的基本思用向量方法解决平面几何问题的基本思路：几何问题向量化路：几何问题向量化 向量运算关系向量运算关系化化 向量关系几何化向量关系几何化.3.3.用向量方法研究几何问题，需要用向量用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决题来解决.它既是一种数学思想，也是一它既是一种数学思想，也是一种数学能力种数学能力.其中合理设置向量，并建立其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键向量关系，是解决问题的关键.因为有了运算，因为有了运算，向量力量无限向量力量无限;如果不能运算，如果不能运算，向量只是带有指向的线段向量只是带有指向的线段.