统计培训教材方差分析幻灯片.ppt

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1、统计培训教材方差分析统计培训教材方差分析第1页，共52页，编辑于2022年，星期二主要内容主要内容变异变异方差分析方差分析假设检验假设检验假设假设模型模型ANOVA 模型模型单因子方差分析（单因子方差分析（One-Way ANOVA）双因子方差分析（双因子方差分析（Two-Way ANOVA）多因子方差分析（多因子方差分析（Multi-Factor ANOVA）第2页，共52页，编辑于2022年，星期二变异的类型变异的类型固有变异由许多不可避免的小因素累积而成的变异由许多不可避免的小因素累积而成的变异通常也叫噪声（通常也叫噪声（noise）特殊变异a)不适当地调教机器不适当地调教机器b)操作错

2、误操作错误c)原材料有缺陷原材料有缺陷第3页，共52页，编辑于2022年，星期二方差分析方差分析(ANOVA)方差分析方差分析(ANOVA)是是 R.A.Fisher 在进行农业试验时发展起来的对实在进行农业试验时发展起来的对实验数据的变异性进行分析的一套统计方法。验数据的变异性进行分析的一套统计方法。方差分析做法：通过试验，以观察某一种或多种因素的变化，方差分析做法：通过试验，以观察某一种或多种因素的变化，对试验结果的观察数值是否有显著影响，从而选取最优方案。对试验结果的观察数值是否有显著影响，从而选取最优方案。例：在化工生产中，影响结果的因素有：配方、设备、温度、压力、催例：在化工生产中，

3、影响结果的因素有：配方、设备、温度、压力、催化剂、操作人员等。需要通过观察或试验判断哪些因素是重要的，有化剂、操作人员等。需要通过观察或试验判断哪些因素是重要的，有显著影响的，哪些因素是不重要的，没有显著影响的。显著影响的，哪些因素是不重要的，没有显著影响的。第4页，共52页，编辑于2022年，星期二方差分析方差分析(ANOVA)试验中考虑的因素只有一个，即只有一个因素在变，其他因素保试验中考虑的因素只有一个，即只有一个因素在变，其他因素保持不变，这种试验称为单因素方差分析持不变，这种试验称为单因素方差分析 (One-Way ANOVA)。试验中考虑的因素有两个，这种试验称为双因素方差分析试验

4、中考虑的因素有两个，这种试验称为双因素方差分析（Two-Way ANOVA)。试验中考虑的因素有试验中考虑的因素有 k 个，这种试验称为个，这种试验称为 k 因素方差分析（因素方差分析（k-Way ANOVA)。第5页，共52页，编辑于2022年，星期二ANOVA 的应用的应用因素所处的状态，称为水平因素所处的状态，称为水平(Level)。例如，温度是一个因素，可在。例如，温度是一个因素，可在50，60，70三个水平下做试验。三个水平下做试验。ANOVA 可用于可用于估计每个变异来源对总变异的贡献。估计每个变异来源对总变异的贡献。明确各效应的显著性明确各效应的显著性估计过程中的随机误差或噪声估

5、计过程中的随机误差或噪声计算方差的成份计算方差的成份第6页，共52页，编辑于2022年，星期二ANOVA 假设检验假设检验H0:1=2=r 所有总体均值相等所有总体均值相等H1:至少至少有两个总体的均值不等有两个总体的均值不等ANOVA 通过比较组间差和组内差来进行通过比较组间差和组内差来进行F-检验：检验：如果如果 ，则拒绝原假设。，则拒绝原假设。.第7页，共52页，编辑于2022年，星期二ANOVA 假设检验假设检验N(1,1)N(2,2)N(3,3)N(4,4)N(groups,between)第8页，共52页，编辑于2022年，星期二ANOVA 假设假设观察值相互独立观察值相互独立.各

6、水平的数据服从正态分布，即各水平的数据服从正态分布，即 因子水平因子水平 i N(i,i)各水平的方差相同，即各水平的方差相同，即 1=2=r第9页，共52页，编辑于2022年，星期二ANOVA 模型模型固定效应模型(ANOVA I)因子水平是指定的因子水平是指定的相关结论只能对指定的因子水平而言相关结论只能对指定的因子水平而言随机效应模型(ANOVA II)因子水平是随机抽取的因子水平是随机抽取的结论对整个处理总体有效结论对整个处理总体有效混合效应模型(ANOVA III)有些因子是固定的，有些因子是随机的有些因子是固定的，有些因子是随机的第10页，共52页，编辑于2022年，星期二ANOV

7、A 模型模型一个一个 kWay ANOVA 模型，是指试验中包含有模型，是指试验中包含有k 个因素个因素.kWay ANOVA I:k 个因素个因素;所有因素效应固定所有因素效应固定kWay ANOVA II:k 个因素个因素;所有因素效应随机所有因素效应随机kWay ANOVA III:k 个因素个因素;有些因素效应固定，有些因素效应固定，有些有些 因素效应随机因素效应随机注意：当注意：当 k 大于等于大于等于 2 时，还要考虑各因素之间的相互作用（或交互效时，还要考虑各因素之间的相互作用（或交互效应）应）(Interaction).第11页，共52页，编辑于2022年，星期二q我们要观察的

8、一个我们要观察的一个 input 变量变量(因子因子)有多个样本时有多个样本时,我们实际上在实施我们实际上在实施 单因单因子实验子实验(Single Factor Experiment).q我们要分析对象的我们要分析对象的 因子是否有水平间的差异因子是否有水平间的差异确定确定3个供应商的平均交货期是否有差异个供应商的平均交货期是否有差异确定某个机器的设定值在确定某个机器的设定值在5个水平间变化时，零件的尺寸是否不同个水平间变化时，零件的尺寸是否不同q现在开始做第一次实验现在开始做第一次实验!q观察观察.One way ANOVAOne way ANOVA的概念的概念(1)(1)概要概要第12页

9、，共52页，编辑于2022年，星期二One ANOVAOne ANOVA的概念的概念(2)(2)例题例题o考虑如下情景：一个产品开发工程师要研究某个电阻焊接考虑如下情景：一个产品开发工程师要研究某个电阻焊接系统中系统中5 5种不同的电流设置对焊接强度的影响种不同的电流设置对焊接强度的影响 o她要研究的电流范围为她要研究的电流范围为15-1915-19安培。她将调查安培。她将调查5 5个水平的输入变个水平的输入变量（因子）：量（因子）：15A,16A,17A,18A 15A,16A,17A,18A 和和 19 19A A。她将对每个水平她将对每个水平进行进行5 5次实验次实验 o输出输出:焊接强

10、度焊接强度o输入输入:电流电流o这是一个具有这是一个具有5 5个水平的单因子实验（电流）个水平的单因子实验（电流）o该实验的结果参考下页该实验的结果参考下页.第13页，共52页，编辑于2022年，星期二?One ANOVAOne ANOVA的概念的概念(3)(3)例题例题存在电流对焊接强度的影响吗？存在电流对焊接强度的影响吗？对于这个设备使用哪个电流，你的结论是什么？为什么？对于这个设备使用哪个电流，你的结论是什么？为什么？第14页，共52页，编辑于2022年，星期二输入结果输入结果DATA的的 design matrix同下同下.实习实习:打开窗口打开窗口 Mont52.mtwMont52.

11、mtw 制作各列数据的制作各列数据的 dotplot.使用对所有变量相同的格式使用对所有变量相同的格式(SCALE)!One ANOVAOne ANOVA的概念的概念(3)(3)例题例题第15页，共52页，编辑于2022年，星期二各均值的各均值的 95%置信区间置信区间(CI)如下如下.DATA Stack 后后 StatANOVAInterval Plot对电流和焊接强度的关系做什么结论对电流和焊接强度的关系做什么结论?这结论的置信度是怎样这结论的置信度是怎样?One way ANOVAOne way ANOVA的概念的概念(3)(3)例题例题第16页，共52页，编辑于2022年，星期二设定

12、假设设定假设!One ANOVAOne ANOVA的概念的概念(4)(4)假设假设Ha:至少有一个至少有一个水平产生不同过程水平产生不同过程 H0:数据只描述数据只描述一个过程的自然一个过程的自然散布散布 你认为答案是什么？为什么？你认为答案是什么？为什么？第17页，共52页，编辑于2022年，星期二One ANOVAOne ANOVA的概念的概念(5)(5)假设假设此设计的数学模型是：此设计的数学模型是：l Ho 假设处理项是零假设处理项是零 数学模型假设数学模型假设 常规假设常规假设 Yti=+t+ti其中其中:yti=来自处理来自处理t t的单个响应的单个响应 =总平均值总平均值 t=处

13、理处理tti=随机误差随机误差第18页，共52页，编辑于2022年，星期二One ANOVAOne ANOVA的概念的概念(6)(6)变量选定变量选定*输入变量作为一个输入变量作为一个因子因子。在单因子设计中，因子被当作特征变量处理，即使它可能是间隔值或比率。在单因子设计中，因子被当作特征变量处理，即使它可能是间隔值或比率。*如果因子自然为连续型的，可以把它分类成子群。如果因子自然为连续型的，可以把它分类成子群。-例如，我可以采用低和高来度量生产线的压力值。-我们可以作中值分离(Median Split)来把因子分成两个水平：低和高。-对于我们的例子，因为电流是连续型变量，我们把它分成5个等级

14、。*输出一般以间隔值或比率范围来度量（合格率，温度，电压，等等）输出一般以间隔值或比率范围来度量（合格率，温度，电压，等等）输出变量可以是分离型或间隔输出变量可以是分离型或间隔/比率变量比率变量 第19页，共52页，编辑于2022年，星期二ANOVAANOVA的原理的原理(1)(1)总变动总变动q 因子因子A A的水平是的水平是I I个个,各水平的反复数都是各水平的反复数都是m m次次,则数据矩阵则数据矩阵 排列成下面的样子排列成下面的样子因子的水平A1 A2 A3 A4 A5 A6 Al实验的反复x11 x21 x31 x41 x51 x61 xl1x12 x22 x32 x42 x52 x

15、62 xl2 x13 x23 x33 x43 x53 x63 xl3 x14 x24 x34 x44 x54 x64 xl4 x15 x25 x35 x45 x55 x65 xl5x1m x2m x3m x4m x5m x6m xlm合计T1 T2 T3 T4 T5 T6 TlT均值x1 x2 x3 x4 x5 x6 xlx第20页，共52页，编辑于2022年，星期二q 总均值总均值 是用右边的公式求是用右边的公式求.q 利用各个利用各个DATADATA 和总均值和总均值 把总均值把总均值 分解为两个分解为两个,同下表示同下表示.q 左边和右边平方时同下左边和右边平方时同下.ANOVAANOV

16、A的原理的原理(2)(2)总变动总变动第21页，共52页，编辑于2022年，星期二q 上面的第三项变为如下上面的第三项变为如下.SS(total)SS(error)SS(factor)q 同样第同样第8 8页式从写如下页式从写如下,这意义的略写这意义的略写SS(Sum of SquaresSS(Sum of Squares)来表来表示示.ANOVAANOVA的原理的原理(3)(3)总变动总变动第22页，共52页，编辑于2022年，星期二SS(total)SS(total)的自由度的自由度 是是,SS(factorSS(factor)的自由度的自由度 是是,SS(error)SS(error)的

17、自由度的自由度 是是,因此因此 ANOVAANOVA的原理的原理(4)(4)自由度自由度在一个系统中不影响其他变量能够独立移动的数在一个系统中不影响其他变量能够独立移动的数Ex)a*b*c=4Ex)a*b*c=4 这式中变量的自由度是这式中变量的自由度是 2.2.假如假如 a,ba,b定为定为 1,2,1,2,c c必须是必须是 2.2.即能够自然的移动的变量。即能够自然的移动的变量。q 自由度是自由度是?q 自由度的计算自由度的计算第23页，共52页，编辑于2022年，星期二因子(factor)平方和(Sum of Squares)自由度(Degree of Freedom)均值平方(Mea

18、n Square)F值AErrorTotalANOVAANOVA的原理的原理(5)(5)方差分析表方差分析表q 方差分析表的制作方差分析表的制作q 对错误的均值平方因子对错误的均值平方因子,利用利用A A的均值平方的大小的均值平方的大小 观察观察 A A效果的大小效果的大小.F越大越大 A效果越大效果越大.(利用利用F 分布确认分布确认 P-value)第24页，共52页，编辑于2022年，星期二ANOVAANOVA的原理的原理(6)(6)F F分布分布q F F分布的参考分布的参考q 自由度 k1,k2的变量的 F值的 F(k1,k2:)按 的大小 占有面积(发生概率).(显著水平)F(k1

19、,k2)F(k1,k2:)第25页，共52页，编辑于2022年，星期二F-分布分布 65432100.70.60.50.40.30.20.10.0ScoresProb10%1%5%第26页，共52页，编辑于2022年，星期二q Exercise某个某个 coating 工程认为工程认为 反应温度反应温度对生产的对生产的 产品的强度产品的强度有影响有影响,所以对反应温度变化强度有什么所以对反应温度变化强度有什么变化变化,还有温度在什么水平时强度最好还有温度在什么水平时强度最好,进行了实验进行了实验.反应温度设为因子水平反应温度设为因子水平,各温度反复各温度反复3回回,总总共共12回实验数据随机整

20、理回实验数据随机整理.这结果同下表这结果同下表.制作方差分析表制作方差分析表(ANOVA table).(参考参考Excel sheet.)ANOVAANOVA的原理的原理(7)(7)例题例题第27页，共52页，编辑于2022年，星期二因子(factor)平方和(Sum of Squares)自由度(Degree of Freedom)均值平方(Mean Square)F值AErrorTotalq ANOVA tableANOVAANOVA的原理的原理(8)(8)例题例题F分布表中分布表中 F是是(3,8:0.05)=4.07,F(3,8:0.01)=7.59.那么那么 A是显著水平是显著水平

21、 1%中是否采用零假设中是否采用零假设?还是推翻还是推翻?-要推翻要推翻.第28页，共52页，编辑于2022年，星期二ANOVAANOVA的原理的原理(9)(9)统计的假定统计的假定g输出的总体方差在给定因子所有水平上都相等（输出的总体方差在给定因子所有水平上都相等（方差均一性方差均一性（Test for Equal VarianceTest for Equal Variance ）。）。我们可以用我们可以用Stat ANOVA Stat ANOVA Stat ANOVA Stat ANOVA Test for Equal VarianceTest for Equal Variance程序来检

22、验这个假设。程序来检验这个假设。g响应均值是响应均值是独立的独立的，并服从正，并服从正态分布态分布。-如果使用随机化和适当的样本数，这个假设一般有效。如果使用随机化和适当的样本数，这个假设一般有效。-警告警告:在化学过程中在化学过程中,均值相关的风险很高均值相关的风险很高,应永远考虑随机化。应永远考虑随机化。g残差（数学模型的误差）是独立的，其分布是均值残差（数学模型的误差）是独立的，其分布是均值=0=0，方差为恒量的正态分布。，方差为恒量的正态分布。第29页，共52页，编辑于2022年，星期二q 单一因子实验分析单一因子实验分析实验结果移动到实验结果移动到 MINITAB Worksheet

23、.数据有没有异常点利用管理图进行确认数据有没有异常点利用管理图进行确认.(稳定性分析稳定性分析)利用利用利用利用StatANOVATest for Equal VarianceStatANOVATest for Equal Variance 进行等方差检验进行等方差检验.方差同一时实施方差同一时实施(p-value ANOVAOne-wayStatANOVAOne-way 进行分析进行分析.所有的数据在所有的数据在1列时列时(Stacked):One-way按水平别数据分几列时按水平别数据分几列时(Unstacked):采用采用 One-way(Unstacked.).解释解释F-ratio.

24、F-value 高高 p-value 显著水平时显著水平时(一般一般 5-10%)推翻零假设推翻零假设(Ho).推翻零假设时推翻零假设时,利用利用StatANOVAMain Effects PlotStatANOVAMain Effects Plot 或或StatANOVAInterval Plot 对均值差异利用区间图说明对均值差异利用区间图说明.利用利用Minitab 的的 Anova 视窗中的视窗中的 残差项目残差项目残差项目残差项目(残差残差残差残差 Plot)Plot)对残差实施评价对残差实施评价.为测试实际的显著性为测试实际的显著性,对有影响的对有影响的 Epsilon-Squar

25、ed 进行计算进行计算.根据分析结果找出方案根据分析结果找出方案.应用应用MINITABMINITAB分析分析(1)(1)分析顺序分析顺序第30页，共52页，编辑于2022年，星期二零假设零假设(Ho):3名作业者刷漆厚度相同名作业者刷漆厚度相同.备择假设备择假设(Ha):作业者中至少有一名刷的厚度与其他作业者刷的厚度不同作业者中至少有一名刷的厚度与其他作业者刷的厚度不同(或大或小或大或小).应用应用MINITAB分析分析(1)老板的思考老板的思考是谁刷漆刷的这么厚是谁刷漆刷的这么厚?Bob?Jane?Walt?一定要查找出来一定要查找出来!(显著水平设为显著水平设为 5%)q 设置假设第31

26、页，共52页，编辑于2022年，星期二按照下列样式在按照下列样式在MinitabMinitab中输入数据中输入数据打开打开ANOVA.MPJ的的（3 3 Level ANOVALevel ANOVA ）worksheetworksheetBobJaneWalt25.296926.005628.426826.057825.940027.508524.070026.006327.582524.819926.435627.401825.985125.992724.9209.应用应用MINITABMINITAB分析分析(2)(2)输入数据输入数据1、判信、判信2、判量、判量参考参考MSAMSA章节章节

27、参考参考抽样与样本大小抽样与样本大小章节章节第32页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINITABMINITAB分析分析(3)(3)稳定性分析稳定性分析目的：确认各水平数据中是否有异常现象（逃逸点、不随机等）目的：确认各水平数据中是否有异常现象（逃逸点、不随机等）.路径：路径：Stat-Control Chart（参考下图参考下图）3、判异、判异第33页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINITABMINITAB分析分析(3)(3)稳定性分析稳定性分析输出结果输出结果结论结论 各水平中的数据没发现有异常点，各水平中的数据没发现有异常点，可继续往后分析可继续往后分析第34

28、页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINITABMINITAB分析分析(4)(4)正态性分析正态性分析目的：确认各水平数据是否服从正态分布目的：确认各水平数据是否服从正态分布.路径：路径：Stat-Basic Statistics-Normality Test（参考下图参考下图）4、判形、判形第35页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINITABMINITAB分析分析(4)(4)正态性分析正态性分析输出结果输出结果结论结论 各水平中的数据都服从正态分布，各水平中的数据都服从正态分布，可继续往后分析可继续往后分析第36页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINI

29、TABMINITAB分析分析(5)(5)等方差检验等方差检验目的：确认各水平数据之间方差是否相等目的：确认各水平数据之间方差是否相等.数据堆栈：路径：数据堆栈：路径：Data-Stack-Columns（参考下图参考下图）5、判散、判散第37页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINITABMINITAB分析分析(5)(5)等方差检验等方差检验等方差检验等方差检验 路径：路径：Stat-ANOVA-Test for Equal Variances（参考下图）（参考下图）第38页，共52页，编辑于2022年，星期二P值大于大于0.05 输出结果输出结果 结论：故结论：故3个人所油漆的厚

30、度数据方差相等个人所油漆的厚度数据方差相等应用应用MINITABMINITAB分析分析(5)(5)等方差检验等方差检验第39页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINITABMINITAB分析分析(6)(6)均值检验均值检验目的：确认各水平数据集所对应的总体均值是否相等目的：确认各水平数据集所对应的总体均值是否相等.路径：（堆栈型）路径：（堆栈型）Stat-ANOVA-One-Way（参考左下图参考左下图）（非堆栈型）（非堆栈型）Stat-ANOVA-One-Way（Unstacked）6、判中、判中第40页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINITABMINITAB分析

31、分析(6)(6)均值检验均值检验第41页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINITABMINITAB分析分析(6)(6)均值检验均值检验均值检验输出结果均值检验输出结果均值检验结论均值检验结论 各水平数据集所对应的总体之间的均值至少有一个不相等各水平数据集所对应的总体之间的均值至少有一个不相等One-way ANOVA:Bob,Jane,Walt Source DF SS MS F PFactor 2 80.386 40.193 44.76 0.000Error 87 78.116 0.898Total 89 158.502S=0.9476 R-Sq=50.72%R-Sq(adj)

32、=49.58%32322212ssssPooled+=P 值小于显著水平值小于显著水平 5%时时,得到至少有得到至少有一个总体均值与其他总体均值不同的一个总体均值与其他总体均值不同的结论结论.(推翻零假设推翻零假设)这时这时,推翻所有总体均值相同的零假推翻所有总体均值相同的零假设设(Ho)-即至少有一个均值不同即至少有一个均值不同.因随机现象得到这样大的因随机现象得到这样大的F-值值,实际实际上其概率不足上其概率不足 1/10,000.这与抛硬币时这与抛硬币时,10次连续相同的情况是相次连续相同的情况是相同的同的.群间方差与群内方差相近群间方差与群内方差相近时时,F值接近值接近1.本例中本例中

33、,F-值很大值很大.子群大小相同时共有标准差子群大小相同时共有标准差第42页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINITABMINITAB分析分析(7)(7)残差分析残差分析 目的：二次检验前面的分析是否有不可信的证据（残差有异常现象）目的：二次检验前面的分析是否有不可信的证据（残差有异常现象）路径：路径：Stat-ANOVA-One-Way点点击Graph-点点Four in one7、判差、判差第43页，共52页，编辑于2022年，星期二应用应用MINITABMINITAB分析分析(7)(7)残差分析残差分析 残差输出结果：残差输出结果：残差分析结论：没有足够的证据证明其残差分析

34、有异常残差分析结论：没有足够的证据证明其残差分析有异常第44页，共52页，编辑于2022年，星期二主效果图、箱图及区间图主效果图、箱图及区间图应用应用MINITABMINITAB分析分析(8)Plots(8)Plots8、附图、附图第45页，共52页，编辑于2022年，星期二主效果图及主效果图及 箱图箱图应用应用MINITABMINITAB分析分析(8)Plots(8)PlotsStatANOVAMain Effects Plot选择选择GraphBoxplot第46页，共52页，编辑于2022年，星期二Interval Plot(95%置信区间置信区间)区间图区间图应用应用MINITABMI

35、NITAB分析分析(8)Plots(8)Plots第47页，共52页，编辑于2022年，星期二qEpsilon-Squared虽然是一个有争议的统计量虽然是一个有争议的统计量,但其结果提供实质性的显著但其结果提供实质性的显著性情报性情报.qEpsilon-Squared 根据适当的根据适当的 input变量说明的变量说明的 output变量的大小变量的大小.q该统计量很容易计算该统计量很容易计算.这值是这值是 Sum-of-Squares(Effect)/Sum-of-Squares(Total).在采取措施以前应经常要确认这值在采取措施以前应经常要确认这值.厚度的变动中有厚度的变动中有51%

36、是由是由作业者的差异引起的作业者的差异引起的.应用应用MINITABMINITAB分析分析(9)Squared(9)Squared8、判重、判重第48页，共52页，编辑于2022年，星期二q知道了是谁刷的厚知道了是谁刷的厚.One-way ANOVA的的 P-value 0.05,可采用备择假设可采用备择假设(Ha)“作业者作业者中至少有一名刷的厚度与其他不同中至少有一名刷的厚度与其他不同(或大或小或大或小)”.q这厚度差异这厚度差异,作业者实际影响的效果占作业者实际影响的效果占51%.q在在 95%的置信水平中的置信水平中(显著水平为显著水平为 5%)确认为确认为Walt有所不同有所不同.决

37、定对决定对Walt进行再教育进行再教育.参考参考Interval Plot或或 Main Effect Plot应用应用MINITABMINITAB分析分析(10)(10)结论结论9、判实、判实第49页，共52页，编辑于2022年，星期二q利用利用Mont52.mtw 分析焊接强度的数据分析焊接强度的数据.q原因变量是电流原因变量是电流.q按照分析按照分析 roadmap,与旁边的人协作与旁边的人协作.q您准备用不同的方法和结论对提问进行回答您准备用不同的方法和结论对提问进行回答.时间是时间是15分分!实习实习 解释解释第50页，共52页，编辑于2022年，星期二Ft=2F值和值和 t值的关系

38、值的关系对它进行测试对它进行测试-利用投射器利用投射器(catapult)数据数据,t-检验检验(两侧检验两侧检验)和和 F-检验实施检验实施.F-检验和检验和 t-检验检验再多想想再多想想(1)(1)t-testt-test 比较比较第51页，共52页，编辑于2022年，星期二F-检验和检验和 t-检验检验q在前面关于油漆厚度的实验所得到的在前面关于油漆厚度的实验所得到的结果中结果中,针对针对Bob的结果和的结果和 Walt的结的结果进行比较果进行比较,将将t-test得到的得到的 T值进行值进行平方时就得到与平方时就得到与F值相同的结果值相同的结果再多想想再多想想(1)(1)t-testt-test 比较比较第52页，共52页，编辑于2022年，星期二