人教A版（2019）高中数学必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解 课件 .pptx

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1、4.5.1 函数的零点与方程的解中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月切却经历了相当漫长的岁月.约公元约公元50100年编成的年编成的九章算术九章算术给出了一次给出了一次方程、二次方程和正系数方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法三次方程的求解方法.情境引入中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解1313世

2、纪，南宋数学世纪，南宋数学家家秦九韶秦九韶给出了求给出了求任意次代数方程任意次代数方程的的正根正根的解法。的解法。1111世纪，北宋数学家世纪，北宋数学家贾宪贾宪给出了给出了三次及三次以上三次及三次以上的方程的解法的方程的解法.中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解 国外数学家对方程求解亦有很多研究。国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。四次方程的求解方法。由于实际问题的需要，我们经常需要寻求由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数函数y=f(x)的零点的零点。我们已经学习了用二次函数的观点认识一元

3、二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.例如，方程x2-5x+6=0的根为x1=2,x2=3,则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3.y63x02在图像上显示为画出下列函数的图象(1)f(x)=x-1 f(x)=x2-2x+1(2)f(x)=f(x)=(3)f(x)=2x-1 f(x)=log2x思考：当函数和x轴有交点时，其交点横坐标与方程 f(x)=0的解有什么关系？再任意画几个函数的图象,观察其图象，看看其交点横坐标与 f(x)=0的解有什么关系？函数的零点定义：函数的零点定义：函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点方程方程f(x)=0有实数

4、根有实数根函数函数y=f(x)有零点有零点等价关系等价关系 对于一般函数对于一般函数y=f(x),我们把我们把使使f(x)=0的实数的实数x叫做叫做函数函数y=f(x)的零点。的零点。函数的零点是点吗？函数的零点是点吗？答：不是。函数答：不是。函数y=f(x)的零点是方程的零点是方程f(x)=0的实数解，也的实数解，也就是函数就是函数y=f(x)的图象与的图象与x x轴交点的轴交点的横坐标横坐标。零点的求法零点的求法 代数法代数法图象法图象法探究新知问题1 像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？由刚才的等价关系我们知道，求方程f

5、(x)=0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程f(x)=0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。对于二次函数 f(x)=x2-2x-3,观察它的图象(图4.5-1),发现它在区间2,4上有零点。这时，函数图象与x轴有什么关系?在区间-2,0上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系?再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用 f(x)的取值刻画这种关系的方法.图4.5-1211-22-134-1-2-3-40yx 可以发

6、现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。函数在端点x=2和x=4的取值异号，即 f(2)f(4)0,函数 f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的一个根。同样地，f(-2)f(0)0，函数f(x)=x2-2x-3在(-2,0)内有零点x=-1,它是方程x2-2x-3=0的另一个根。211-22-134-1-2-3-40yx观察函数的图象观察函数的图象在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点；f(a)f(b)_0（或）（或）在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零零点；点；f(b)f(c)_ 0（或）（或）在区间在区间(

7、c,d)上上_(有有/无无)零零点；点；f(c)f(d)_ 0（或）（或）bac0yxd有有有 如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，且有的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数，那么函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，即内有零点，即存在存在 c (a,b)，使得，使得 f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的解的解。函数零点存在定理思考思考1：如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上有上有 f(a)f(b)0，那那么么函数函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内内是否一定有零点是

8、否一定有零点？0yx思考思考2：如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上上是连续不断的一条曲线，那么，那么函数函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内内是否一定有零点是否一定有零点？0yx这说明什么？这说明什么？“在给定区间在给定区间a,b上连续上连续”和和“f(a)f(b)0”这两个条件这两个条件缺一不可缺一不可思考3：如果函数 y=f(x)在区间a,b上是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)f(b)0？xy0这说明什么？这说明什么？“在给定区间在给定区间a,b上连续上连续”和和“f(a)f(b)0”这两个条件这两个条件是是函数 y=f(x)在区间(

9、a,b)内有零点的充分不必要条件。充分不必要条件。问题问题4 如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但是否只有一个零点呢？0yx这又说明什么？这又说明什么？函数零点存在定理可以函数零点存在定理可以证明函数有零点，证明函数有零点，但但不能判定零点不能判定零点的个数。的个数。例例1：求函数：求函数f（x）=lg(x-1)的零点的零点求函数零点的步骤：求函数零点的步骤：(1)令令f(x)=0;(2)解方程解方程f(x)=0；(3)写出零点写出零点例题讲解由表由表4.5-1和图和图4.5-2可知可知f(

10、2)0，即即f(2)f(3)0，由函数零点存在定理可由函数零点存在定理可知，这个函数在区间知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点内至少有一个零点。解：用计算工具作出解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表4.5-1）和图象）和图象（图（图4.5-2）例例2 已知函数已知函数f(x)=lnx+2x6，能判断出函数，能判断出函数零点大致在那个区间上吗？零点大致在那个区间上吗？.x0246105y241086121487643219y=lnx和y=2x-6在(0,+)上都是增函数，f(x)=lnx+2x-6在(0,+)上是增函数，又f(2)=ln2+2 260如何求方程 +=

11、实数解的个数？函数在定义域(0,+)内仅有一个零点。思考：如何判断函数在某一特定区间内只有一个零点？如果函数如果函数 y=f(x)在在a,b上上,图象是图象是连续连续的的,并且在闭区间的两个端点上的函数值并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，互异，即即f(a)f(b)0,且是且是单调单调函数函数,那么，这个函数在那么，这个函数在(a,b)内必有内必有惟一的一个零点惟一的一个零点。函数零点存在定理的推论：函数零点存在定理的推论：函数函数 y=f(x)有零点有零点函数函数 y=f(x)的图象与的图象与 x 轴有公共点轴有公共点1 1、函数的零点与方程的解的关系：、函数的零点与方程的解的关系：方程方程 f(x)=0 有实数解有实数解2、判断在某个区间是否存在零点的方法、判断在某个区间是否存在零点的方法 如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，且有的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数，那么函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，即内有零点，即存在存在 c (a,b)，使得，使得 f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的解的解。函数零点存在定理课堂小结(B )A小试牛刀