人教A版数学必修一第三章3.1.1 方程的根与函数的零点课件.ppt

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1、3.1.1 方程的根与函数的零点 1.对于数学关系式对于数学关系式:2x-1=0与与y=2x-1它们它们的含义分别如何的含义分别如何?2.方程方程 2x-1=0的根与函数的根与函数y=2x-1的图象有的图象有什么关系呢什么关系呢?3.我们如何对方程我们如何对方程f(x)=0的根与函数的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步的阐述的图象的关系作进一步的阐述?导入新课知识探究知识探究:方程的根与函数零点方程的根与函数零点 思考思考1：方程方程x2-2x-3=0有实根吗？有实根吗？你能用多少种方法解决这个问题？你能用多少种方法解决这个问题？预案一：解方程预案一：解方程(求根公式或因式分解求根公式或

2、因式分解)；预案二：计算判别式预案二：计算判别式的值；的值；预案三：设预案三：设f(x)=x2-2x-3，画出函数图象，画出函数图象.知识探究知识探究:方程的根与函数零点方程的根与函数零点 思考思考2:上述三个一元二次方程的实根分别是上述三个一元二次方程的实根分别是什么什么?对应的二次函数的图象与对应的二次函数的图象与x轴的交点坐轴的交点坐标分别是什么标分别是什么?考察下列一元二次方程与对应的二次函数考察下列一元二次方程与对应的二次函数:方程方程 x2-2x-3=0 与函数与函数y=x2-2x-3;方程方程 x2-2x+1=0 与函数与函数y=x2-2x+1;方程方程 x2-2x+3=0 与函

3、数与函数y=x2-2x+3.方程方程函数函数 函函 数数 的的 图图 象象方程的实数方程的实数根根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点x22x3=0y=x22x3xy0311-1-3-4x1=-1,x2=3(-1,0),(3,0)x22x+1=0y=x22x+1x1=x2=1x0311-1-2y(1,0)x22x+3=0y=x22x+3无实数根无实数根x03211-13y无交点无交点结论结论:二次函数图象与二次函数图象与x轴交点的横坐标就是轴交点的横坐标就是相应方程的实数根相应方程的实数根.思考思考3:一般地一般地,一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根与对应的二次函

4、数的实根与对应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的的图象与图象与x轴的交点有什么关系轴的交点有什么关系?方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根xy0 11x1x2x0 11yx0 11yx1判别式判别式=b24ac0=00有两个相等有两个相等的实数根的实数根 x1=x2没有实数根没有实数根有两个不相有两个不相等的实数根等的实数根x1、x2函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点思考思考4:更一般地更一般地,对于方程对于方程f(x)=0与函数与函数y=f(x)上述关系适应吗？上述

5、关系适应吗？结论结论:二次函数图象与二次函数图象与x轴交点的横坐标就是轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。相应方程的实数根。对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点.那么函数那么函数y=f(x)的零的零点实际是一个什么实数点实际是一个什么实数?零点是一零点是一个点吗个点吗?函数函数y=f(x)的图象与的图象与x 轴交点的轴交点的横坐标横坐标;就是相应就是相应方程方程f(x)=0的的实数根实数根.函数零点的定义函数零点的定义:函数函数y=f(x)有零点有零点方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图

6、象与x轴有交点轴有交点.思考思考5:函数函数y=f(x)有零点可等价于哪些说法有零点可等价于哪些说法?由此可知由此可知,求方程求方程f(x)=0的实数根的实数根,就是确就是确定函数定函数y=f(x)的零点的零点.一般地一般地,对于不能用公式对于不能用公式法求根的方程法求根的方程f(x)=0来说来说,我们可以将它与函我们可以将它与函数数y=f(x)联系起来联系起来,利用函数的性质找出零点利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根从而求出方程的根.练习：练习：1.函数函数y=2x-1的零点是的零点是:.2.函数函数y=log2 x 的零点是的零点是:.13.函数函数y=2|x|-8 的零点是的零点是

7、:.34.函数函数y=2+log3 x 的零点是的零点是:.5.函数函数y=x2+x+1的零点个数是的零点个数是:.06.函数函数y=2x-1 的零点个数是的零点个数是:.1函数函数y=lnx+2x-6 的零点情况呢的零点情况呢?思考思考1:函数函数f(x)=2x-1的零点是什么的零点是什么?函数函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分布的图象在零点两侧如何分布?思考思考2:二次函数二次函数f(x)=x2-2x-3 的零点是什么的零点是什么?函数函数f(x)=x2-2x-3的图象在零的图象在零点附近如何分布点附近如何分布?知识探究知识探究:函数零点存在性原理函数零点存在性原理 x0311-

8、3yxy0311-1-3-4思考思考3:在什么情况下在什么情况下,函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内内一定存在零点呢一定存在零点呢?1.如果把函数比作一部电影如果把函数比作一部电影,那么函数的零点那么函数的零点就像是电影的一个瞬间就像是电影的一个瞬间,一个镜头一个镜头.有时我们会有时我们会不小心忽略一些镜头不小心忽略一些镜头,但我们仍能推测出被忽但我们仍能推测出被忽略的片断略的片断.现在我有两组镜头现在我有两组镜头(下图下图),哪一组说哪一组说明他的行程一定曾渡过河明他的行程一定曾渡过河?2.将河流抽象成将河流抽象成x轴轴,将前将前后的两个位置视为后的两个位置视为A、B两两点点.请问

9、当请问当A、B与与x轴怎样轴怎样的位置关系时的位置关系时,AB间的一间的一段段连续不断连续不断的函数图象与的函数图象与x轴一定会有交点轴一定会有交点?3.A、B与与x轴的位置关系轴的位置关系,如如何用数学符号何用数学符号(式子式子)来表示来表示?用用f(a)f(b)0来表示来表示.yABOx(a,f(a)(b,f(b)思考思考4:如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间1,2上的图上的图象是连续不断的一条曲线象是连续不断的一条曲线,那么在下列那那么在下列那种情况下种情况下,函数函数y=f(x)在区间在区间(1,2)内一定内一定有零点有零点?(1)f(1)0,f(2)0;(2)f(1)0,f(2

10、)0;(3)f(1)0,f(2)0;(4)f(1)0,f(2)0.思考思考5:一般地一般地,如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上上的图象是连续不断的一条曲线的图象是连续不断的一条曲线,那么在什么条那么在什么条件下件下,函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内一定有零点内一定有零点?如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连上的图象是连续不断的一条曲线续不断的一条曲线,并且有并且有f(a)f(b)0时时,函函数数y=f(x)在区间在区间(a,b)内一定没有零点吗内一定没有零点吗?思考思考7:1.若满足了定理的若满足了定理的两个条件两个条件,则函数一定则函数一定有零

11、点有零点,有几个有几个?2.在定理的条件下在定理的条件下,什么时候函数只有一什么时候函数只有一个零点个零点?思考思考9:若函数有零点若函数有零点,一定能找到一个区间一定能找到一个区间a,b,使得使得f(a)f(b)0 ,则函数零点可能存在则函数零点可能存在,也也可能不存在可能不存在.注意注意:典型例题典型例题:例例2.试推断是否存在自然数试推断是否存在自然数m,使函数使函数f(x)=3-2x在区间在区间(m,m+1)上有零点上有零点?若存若存在在,求求m的值的值;若不存在若不存在,说明理由说明理由 例例1.求函数求函数f(x)=lnx+2x-6零点的个数零点的个数.练习练习:1.利用函数图象判

12、断下列方程有没有根利用函数图象判断下列方程有没有根,有几有几个根个根?-x2+3x+5=0;2x(x-2)=-3;x2=4x-4;5x2+2x=3x2+5.两个不相等的实数根两个不相等的实数根没有实数根没有实数根两个相等的实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根两个不相等的实数根2.已知函数已知函数f(x)=ax2+bx+c,若若 ac0,则函则函数数f(x)的零点个数有的零点个数有()A.0 B.1 C.2 D.不确定不确定C3.已知函数已知函数f(x)=ax+b 有一个零点为有一个零点为2,则则函数函数g(x)=bx2-ax的零点是的零点是()A.0和和2 B.2和和-1/2 C.0和和1

13、/2 D.0和和-1/2 D练习练习:B练习练习:4.函数函数 A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)的零点所在的大致区的零点所在的大致区 间是间是()5.已知函数已知函数 和和g(x)=log0.5x,设设h(x)=f(x)-g(x),试确定函数试确定函数h(x)的零点的零点 的个数的个数.练习练习:x13y1-1-1-4O小结小结:对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点.那么函数那么函数y=f(x)的零的零点实际是一个什么实数点实际是一个什么实数?零点是一零点是一个点吗个点吗?函数函数y=f(x)的

14、图象与的图象与x 轴交点的轴交点的横坐标横坐标;就是相应就是相应方程方程f(x)=0的的实数根实数根.函数零点的定义函数零点的定义:函数函数y=f(x)有零点有零点方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点.函数函数y=f(x)有零点可等价于哪些说法有零点可等价于哪些说法?由此可知由此可知,求方程求方程f(x)=0的实数根的实数根,就是确就是确定函数定函数y=f(x)的零点的零点.一般地一般地,对于不能用公式对于不能用公式法求根的方程法求根的方程f(x)=0来说来说,我们可以将它与函我们可以将它与函数数y=f(x)联系起来联系起来,利用函数的性质找出零点利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根从而求出方程的根.小结小结:函数零点存在性原理函数零点存在性原理:小结小结:如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连上的图象是连续不断的一条曲线续不断的一条曲线,并且有并且有f(a)f(b)0 ,则函数零点可能存在则函数零点可能存在,也也可能不存在可能不存在.注意注意:小结小结:补充补充:1.设设m为常数为常数,讨论函数讨论函数 f(x)=x2-4|x|+5-m 的零点个数的零点个数.2.若函数若函数f(x)=2x2-3x-m 在区间在区间(-1,1)内有零点内有零点,求实数求实数m的取值范的取值范围围.