人教A版高中数学必修四2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、运算课件.ppt

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1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2 使a=1 e1+2 e2温故知新(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.1,2是被 a,e1、e2唯一确定的数量。a=1 e1+2 e2G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量

2、a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2 a2,使a=1a1+2 a2新课引入G与与F1,F2有什么关系有什么关系?把一个向量分解为两个互相 垂直的向量,叫做把向量 正正交交分分解解若两个不共线向量互相垂直时a1a12 a2F1F2G正交分解正交分解 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。思考：思考：如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设 ，填空：，填空：（1）（2）若用）若

3、用 来表示来表示 ，则：，则：1153547（3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？可以的话，如何表示？表示出来？可以的话，如何表示？ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?ab能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)y

4、xAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。练习练习:在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.解：解：如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1 2 3 4-4 -3-2-154321-1-2

5、-3-4-5ji1 2 3 4由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)2.3.3平面向量的坐标运算两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标应坐标2已知已知 求求xyO解：解：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标 例例2.已知已知 ，求，求 的坐标。的坐标。解：解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=

6、（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）例例.已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A,B,C 的坐标分的坐标分别为（别为（-2，1）（）（-1，3）（）（3，4），求顶点），求顶点D的坐标。的坐标。ABCDO解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y）例例.已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A,B,C 的坐标分的坐标分别为（别为（-2，1）（）（-1，3）（）（3，4），求顶点），求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDOO坐标是坐标是A A、(3,2)B(

7、3,2)B、(2,3)C(2,3)C、(-3,-2)D(-3,-2)D、(-2,-3)(-2,-3)BA A、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B标标坐标为坐标为A A、(x-2,y+1)B(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、(-2-x,1-y)D(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)(x+2,y+1)C小试牛刀BB标标的坐标为的坐标为(i,ji,j),),则点则点A A的坐标为的坐标为A A、(m-i,n-jm-i,n-j)B)B、(i-m,j-ni-m,j-n)C C、(m+i,n+jm+i,n+j)D)D、(m+n,i+jm+n,i+j)A1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念:2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算:(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题:“向量向量”的思想的思想课堂小结