定积分的简单应用.pptx

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1、 定积分的简单应用第一章导数及其应用1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.学习目标 复习微积分基本定理（牛顿莱布尼茨公式）知识点一定积分在几何中的应用答案1.求由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及y0所围成的平面图形的面积S.(2)xyoabc(3)(1)xyo知识点一定积分在几何中的应用答案1.求由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及y0所围成的平面图形的面积S.(2)xyoabc(3)(1)xyo知识点

2、一定积分在几何中的应用答案1.求由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及y0所围成的平面图形的面积S.(2)xyoabc(3)(1)xyo知识点一定积分在几何中的应用答案1.求由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及y0所围成的平面图形的面积S.(2)xyoabc(3)(1)xyo2.求由两条曲线f(x)和g(x)(f(x)g(x)，直线xa，xb(ab)所围成平面图形的面积答案yxoba(2)(1)2.求由两条曲线f(x)和g(x)(f(x)g(x)，直线xa，xb(ab)所围成平面图形的面积答案yxoba(2)(1)2.求由两条曲线f(x)和g(x)(f(x)g(x)，直线xa

3、，xb(ab)所围成平面图形的面积答案yxoba(2)(1)解解:作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示:oxy解解:作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示:oxy即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)解解:作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示:oxy即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)法法1：解解:作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示:oxy即两曲线的交

4、点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)法法1：解解:作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示:oxy即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)法法1：解解:作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示:oxy即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)法2：规律总结规律总结：利用定积分求平面图形面积的步骤利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出图形画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；：在平面直角坐标系中画出曲线或

5、直线的大致图象；(2)通过解方程组求出交点的横坐标通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标或纵坐标)，确定积分上、下限确定积分上、下限；(3)确定被积函数确定被积函数；(4)写出写出平面图形面积的平面图形面积的定积分表达式定积分表达式；(5)利用微积分基本定理利用微积分基本定理计算定积分计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案，求出平面图形的面积，写出答案.S1S2S1S2解:直线与x轴交点为(4,0)法1：S1S2解:直线与x轴交点为(4,0)法1：法法3 3：（分析）：（分析）将所求平面图形的面积将所求平面图形的面积看成位于看成位于y y轴右边的一个梯形与一个曲轴右边的一个梯形与一个曲边梯形

6、的面积之差，因此取边梯形的面积之差，因此取y y为积分变为积分变量，还需要把函数量，还需要把函数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，函数函数 变形为变形为法法3 3：（分析）：（分析）将所求平面图形的面积将所求平面图形的面积看成位于看成位于y y轴右边的一个梯形与一个曲轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取边梯形的面积之差，因此取y y为积分变为积分变量，还需要把函数量，还需要把函数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，函数函数 变形为变形为规规律律总总结结：由由两两条条或或两两条条以以上上的的曲曲线线围围成成的的较较为为复复杂杂的的图图形形，在在不

7、不同同的的区区段段内内位位于于上上方方和和下下方方的的函函数数有有所所变变化化，通通过过解解方方程程组组求求出出曲曲线线的的各各交交点点坐坐标标，可可以以将将积积分分区区间间细细化化区区段段，然然后后根根据据图图象象对对各各个个区区段段分分别别求求面面积积进进而而求求和和，在在每每个个区区段段上上被被积积函函数数均均是是由由上上减减下下；若若积积分分变变量量选选取取x运运算算较较为为复复杂杂，可可以以选选y为为积积分分变变量量，同同时时更更改改积积分分的的上上下下限限为为y的的对对应应值值被被积积函函数数也也相应的改变相应的改变 2.求由曲线求由曲线y ，y2x，y x所围成的图形的所围成的图

8、形的面积面积.2.求由曲线求由曲线y ，y2x，y x所围成的图形所围成的图形的面积的面积.解解画出图形，如图所示.2.求由曲线求由曲线y ，y2x，y x所围成的图形所围成的图形的面积的面积.解解画出图形，如图所示.2.求由曲线求由曲线y ，y2x，y x所围成的图形所围成的图形的面积的面积.解解画出图形，如图所示.得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，2.求由曲线求由曲线y ，y2x，y x所围成的图形所围成的图形的面积的面积.解解画出图形，如图所示.得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，3.3.在曲线在曲线 上的某一点上的某一点A A处作一切线，使之与曲处作一

9、切线，使之与曲线以及线以及x x轴所围成的图形的面积为轴所围成的图形的面积为 。试求切点。试求切点A A的坐标和的坐标和过切点过切点A A的切线方程。的切线方程。3.3.在曲线在曲线 上的某一点上的某一点A A处作一切线，使之与曲处作一切线，使之与曲线以及线以及x x轴所围成的图形的面积为轴所围成的图形的面积为 。试求切点。试求切点A A的坐标和的坐标和过切点过切点A A的切线方程。的切线方程。解如图所示，设切点A(x0，y0)，由y2x得过A点的切线方程为yy02x0(xx0)，解如图所示，设切点A(x0，y0)，由y2x得过A点的切线方程为yy02x0(xx0)，解如图所示，设切点A(x0

10、，y0)，由y2x得过A点的切线方程为yy02x0(xx0)，解如图所示，设切点A(x0，y0)，由y2x得过A点的切线方程为yy02x0(xx0)，设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，则SS曲边AOBSABC.解如图所示，设切点A(x0，y0)，由y2x得过A点的切线方程为yy02x0(xx0)，设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，则SS曲边AOBSABC.从而切点为A(1,1)，切线方程为y2x1知识点二定积分在物理中的应用1.变速直线运动的路程变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经作变速直线运动的物体所经过的路程过的路程S，等于其速度函数，等于其速度函数

11、vv(t)(v(t)0)在区间在区间a，b上的上的定积分，即定积分，即_例如：物体以速度例如：物体以速度v=t2做变速直线运动，在时间段做变速直线运动，在时间段0 0，2内经过内经过的路程的路程S=_知识点二定积分在物理中的应用1.变速直线运动的路程变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经作变速直线运动的物体所经过的路程过的路程S，等于其速度函数，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在区间在区间a，b上的上的定积分，即定积分，即_例如：物体以速度例如：物体以速度v=t2做变速直线运动，在时间段做变速直线运动，在时间段0 0，2内经过内经过的路程的路程S=_知识点二定积分在物理中的应用1.

12、变速直线运动的路程变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过作变速直线运动的物体所经过的路程的路程S，等于其速度函数，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在区间在区间a，b上的定上的定积分，即积分，即_例如：物体以速度例如：物体以速度v=t2做变速直线运动，在时间段做变速直线运动，在时间段0 0，2内经过内经过的路程的路程S=_知识点二定积分在物理中的应用1.变速直线运动的路程变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过作变速直线运动的物体所经过的路程的路程S，等于其速度函数，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在区间在区间a，b上的定上的定积分，即积分，即_例如：物体以速度例如：物

13、体以速度v=t2做变速直线运动，在时间段做变速直线运动，在时间段0 0，2内经过内经过的路程的路程S=_v/m/st/s10406030OABCv/m/st/s10406030OABC解：解：由速度时间曲线可知由速度时间曲线可知：v/m/st/s10406030OABC解：解：由速度时间曲线可知由速度时间曲线可知：v/m/st/s10406030OABC解：解：由速度时间曲线可知由速度时间曲线可知：v/m/st/s10406030OABC解：解：由速度时间曲线可知由速度时间曲线可知：2 2变力做功变力做功 物体在恒力物体在恒力F F(单位：单位：N)N)的作用下做直线运动，如果物体沿的作用下做

14、直线运动，如果物体沿着与着与F F相同的方向移动了相同的方向移动了s s m m，则力，则力F F所做的功为所做的功为_._.如果物体在变力如果物体在变力F F(x x)的作用下沿着与的作用下沿着与F F(x x)相同的方向从相同的方向从x xa a移动到移动到x xb b，则变力，则变力F F(x x)做的功做的功_._.2 2变力做功变力做功 物体在恒力物体在恒力F F(单位：单位：N)N)的作用下做直线运动，如果物体沿的作用下做直线运动，如果物体沿着与着与F F相同的方向移动了相同的方向移动了s s m m，则力，则力F F所做的功为所做的功为_._.如果物体在变力如果物体在变力F F(

15、x x)的作用下沿着与的作用下沿着与F F(x x)相同的方向从相同的方向从x xa a移动到移动到x xb b，则变力，则变力F F(x x)做的功做的功_._.2 2变力做功变力做功 物体在恒力物体在恒力F F(单位：单位：N)N)的作用下做直线运动，如果物体沿的作用下做直线运动，如果物体沿着与着与F F相同的方向移动了相同的方向移动了s s m m，则力，则力F F所做的功为所做的功为_._.如果物体在变力如果物体在变力F F(x x)的作用下沿着与的作用下沿着与F F(x x)相同的方向从相同的方向从x xa a移动到移动到x xb b，则变力，则变力F F(x x)做的功做的功_._

16、.例例4 4 如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L L 米处，求克服弹力所作的功米处，求克服弹力所作的功l例例4 4 如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L L 米处，求克服弹力所作的功米处，求克服弹力所作的功l例例4 4 如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L L 米处，求克服弹力所作的功米处，求克服弹力所作的功l例例4 4 如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置如图：在弹性

17、限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L L 米处，求克服弹力所作的功米处，求克服弹力所作的功l所以据变力作功公式有所以据变力作功公式有1.1.从从空空中中自自由由下下落落的的物物体体，在在第第一一秒秒时时刻刻恰恰经经过过电电视视塔塔顶顶，在在第第二二秒秒时时刻刻物物体体落落地地，已已知知自自由由落落体体的的运运动动速速度度为为v vg gt t(g g为为常数常数)，则电视塔高为，则电视塔高为()练一练练一练1.1.从从空空中中自自由由下下落落的的物物体体，在在第第一一秒秒时时刻刻恰恰经经过过电电视视塔塔顶顶，在在第第二二秒秒时时刻刻物物体体落落地地，已已知知自自由由落落体体的的运运动动速

18、速度度为为v vg gt t(g g为为常数常数)，则电视塔高为，则电视塔高为()练一练练一练1.1.从从空空中中自自由由下下落落的的物物体体，在在第第一一秒秒时时刻刻恰恰经经过过电电视视塔塔顶顶，在在第第二二秒秒时时刻刻物物体体落落地地，已已知知自自由由落落体体的的运运动动速速度度为为v vg gt t(g g为为常数常数)，则电视塔高为，则电视塔高为()练一练练一练2.2.一一列列车车沿沿直直线线轨轨道道前前进进，刹刹车车后后列列车车速速度度v v(t t)27270.90.9t t，则列车刹车后前进多少米才能停车，则列车刹车后前进多少米才能停车()A.405 A.405 B.540 C.

19、810 D.945 B.540 C.810 D.9452.2.一一列列车车沿沿直直线线轨轨道道前前进进，刹刹车车后后列列车车速速度度v v(t t)27270.90.9t t，则列车刹车后前进多少米才能停车，则列车刹车后前进多少米才能停车()A.405 A.405 B.540 C.810 D.945 B.540 C.810 D.945解析停车时v(t)0，由270.9t0，得t30，2.2.一一列列车车沿沿直直线线轨轨道道前前进进，刹刹车车后后列列车车速速度度v v(t t)27270.90.9t t，则列车刹车后前进多少米才能停车，则列车刹车后前进多少米才能停车()A.405 A.405 B

20、.540 C.810 D.945 B.540 C.810 D.945解析停车时v(t)0，由270.9t0，得t30，2.2.一一列列车车沿沿直直线线轨轨道道前前进进，刹刹车车后后列列车车速速度度v v(t t)27270.90.9t t，则列车刹车后前进多少米才能停车，则列车刹车后前进多少米才能停车()A.405 A.405 B.540 C.810 D.945 B.540 C.810 D.945解析停车时v(t)0，由270.9t0，得t30，A3.3.一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比.若20 N的力能使弹簧伸长3 cm，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度

21、内)时所做的功W为3.3.一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比.若20 N的力能使弹簧伸长3 cm，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W为解析解析设拉伸弹簧所用的力为F N，弹簧伸长的长度为x m，则Fkx.课堂小结1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤：(1)在平面直角坐标系中画出图形；(2)通过解方程求出交点坐标；(3)写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和或选y为积分变量；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2.路程问题.用定积分解决变速直线运动的问题时，将物理问题转化为数学问题是关键.3.变力做功问题.根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题.谢谢大家谢谢大家