第15单元：整式的乘除与因式分解_复习课件.ppt

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1、 第十五章第十五章 整式的乘除与整式的乘除与因式分解复习因式分解复习 本本章章知识结构：知识结构：一、整式的有关概念一、整式的有关概念 1、代数式、代数式 2、单项式、单项式 3、单项式的系数及次数、单项式的系数及次数 4、多项式、多项式 5、多项式的项、次数、多项式的项、次数 6、整式、整式 二、整式的运算二、整式的运算（一）整（一）整式的式的加减法加减法去括号，合并同类项去括号，合并同类项 1、单项式除以单项式、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式、多项式除以单项式（三）整式的除法（三）整式的除法你你回回忆忆起起了了吗吗？就就这这些些知知识识 1、同底数幂的乘法、同底数幂的乘法 2、幂的

2、乘方、幂的乘方 3、积的乘方、积的乘方 4、同底数的幂相除、同底数的幂相除 5、单项式乘以单项式、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式、单项式乘以多项式 7、多项式乘以多项式、多项式乘以多项式 8、平方差公式、平方差公式 9、完全平方公式、完全平方公式（二）整式的乘法（二）整式的乘法一、整式的有关概念一、整式的有关概念1、单项式：单项式：数与数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。单独的一个数或字母也是单项式。2、单项式的系数：单项式的系数：单项式中的数字因数。单项式中的数字因数。3、单项式的次数：单项式的次数：单项式中所有的字母的指

3、数和。单项式中所有的字母的指数和。4、多项式：多项式：几个单项式的和叫多项式。几个单项式的和叫多项式。5、多项式的项及次数：多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。这个多项式的次数。特别注意，多项式的次数不特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！是组成多项式的所有字母指数和！6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式）有字母的代数式不是整式）二、整式的运算二、整式的运算（一）整（一）整式的式的加减

4、法加减法基本步骤：去括号，合并同类项。基本步骤：去括号，合并同类项。1、同底数幂的乘法、同底数幂的乘法法则：法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。数学符号表示：数学符号表示：（其中其中m、n为正为正整数）整数）（二）整式的乘法（二）整式的乘法练习：判断下列各式是否正确。练习：判断下列各式是否正确。2、幂的乘方、幂的乘方法则：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方，底数不变，指数相乘。数学符号表示：数学符号表示：（其中（其中m、n为正整数）为正整数）练习：判断下列各式是否正确。练习：判断下列各式是否正确。（其中（其中m、n、P为正整数）为正整数）3、积的

5、乘方、积的乘方法则：法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。再把所得的幂相乘。符号表示：符号表示：练习：计算下列各式。练习：计算下列各式。4.单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们单项式与单项式相乘，把它们的的系数、相同字母系数、相同字母分别相乘，对分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因则连同它的指数作为积的一个因式。式。法则：法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(a+b)(m

6、+n)=am+an+bm+bn(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+a(m+n)+b(m+n na(m+n)+b(m+n)5.多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘：=am+an+bm+bn（1）、平方差公式）、平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式说明说明：平方差公式是根据多项式乘以多平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是项式得到的，它是两个数的和两个数的和与与同样的同样的两个数两个数的差的差的积的形式。的积的形式。6.乘法公式：乘法公式：一

7、般的，我们有：一般的，我们有：1、2051952、(3x+2)(3x-2)3、(-x+2y)(-x-2y)4、(x+y+z)(x+y-z)（2）、完全平方公式）、完全平方公式法则法则：两数和（或差）的平方，等于它们的：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍倍。一般的，我们有：一般的，我们有：注意：注意：（1）(a-b)=-(b-a)(2)（a-b)2=(b-a)2 (3)(-a-b)2=(a+b)2 (4)(a-b)3=-(b-a)37.添括号的法则：添括号的法则：添括号时，如果括号前面是正号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号

8、里的各项都不变符号；如括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。各项都要改变符号。（1）、同底数幂的除法）、同底数幂的除法即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。一般地，我们有一般地，我们有（其中（其中a0，m、n为为正整数正整数,并且并且mn）8.整式的除法：整式的除法：即任何不等于即任何不等于0的数的的数的0次幂都等于次幂都等于1（2）、单项式除以单项式）、单项式除以单项式 法则：法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于

9、只在被底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。个因式。（3）、多项式除以单项式）、多项式除以单项式 法则：法则：多项式除以单项式，先把这个多项多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。相加。练习练习练习：计算下列各题。练习：计算下列各题。分解因式分解因式定义定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，象把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这个多项式这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解因式分解或或分解因式分解因式。

10、与与整式乘法的关系：整式乘法的关系：互为逆过程，互逆关系互为逆过程，互逆关系方法方法提公因式法提公因式法公式法公式法步骤一提：一提：提公因式提公因式二用：二用：运用公式运用公式三查：三查：检查因式分解的结果是否正确检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）（彻底性）平方差公式平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式完全平方公式a22ab+b2=(ab)2九九.（1）.公因式：公因式：一个多项式的各项都含有的一个多项式的各项都含有的公公共的因式，共的因式，叫做这个多项式各项的叫做这个多项式各项的公因式公因式（2）找公因式：找公因式：找各项找各项系数的最大公约系数的最大公约数数与各项都

11、含有的字母的与各项都含有的字母的最低次幂的积最低次幂的积。（3）.提公因式法：提公因式法：一般地，如果多项式的一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项式写成因式乘积的形式，这种个因式，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解因式分解 的方法的方法提公因式法。提公因式法。知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，

12、也叫做把这个多项式分解因式。X2-1 (X+1)(X-1)因式分解因式分解整式乘法整式乘法知识点2 提公因式法 多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x x2 2 x=x(x-1)x=x(x-1)，8a8a2 2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1)b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1)x x2a2a探究交流 下列变形是否是因式

13、分解？为什么?(1)3x(1)3x2 2y-xy+y=y(3xy-xy+y=y(3x2 2-x)-x)；(2)x(2)x2 2-2x+3=(x-1)-2x+3=(x-1)2 2+2+2；(3)x(3)x2 2y y2 2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x(4)xn n(x(x2 2-x+1)=x-x+1)=xn+2n+2-x-xn+1n+1+x+xn n.提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.不满足因式分解的含义 因式分解是恒等变形而本题不恒等.是整式乘法.典例剖析 例例1 1 用提公因式法将下列各式因式分解用提公因式法将下列各式因式分解.

14、(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2)3x(a-b)+2y(b-a)解：解：(1)-x(1)-x3 3z+xz+x4 4y=xy=x3 3(-z+xy).(-z+xy).(2)3x(a-b)+2y(b-a)(2)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)=(a-b)(3x-2y)x x3 3+(b-a)+(b-a)-(a-b)-(a-b)(a-(a-b)b)小结小结 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：(1)(1)

15、因式分解的结果每个括号内如有同类项因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解要合并，而且每个括号内不能再分解.如：如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n)=(x+y)(4m-6n).=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).=2(x+y)(2m-3n).(2)(2)如果出现像如果出现像(2)(2)小题需统一时，首先小题需统一时，首先统一统一,尽可能使统一的个数少，这时注意到尽可能使统一的个数少，这时注意到(a

16、-(a-b)b)n n=(=(b-a)b-a)n n(n(n为偶数为偶数)例如：分解因式例如：分解因式a(x-y)a(x-y)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2.本题既可以把本题既可以把(x-yx-y)统一成统一成(y-xy-x)，也可以把，也可以把(y-xy-x)统一成统一成(x-yx-y),),但比较而言把但比较而言把(x-yx-y)化成化成(y-xy-x)比较简比较简便，因为便，因为(x-y)(x-y)2 2=(y-x)=(y-x)2 2.a(x-y)a(x-y)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2=a(y-x

17、)=a(y-x)2 2+b(y-x)+b(y-x)3 3+c(y-x)+c(y-x)2 2=(y-x)=(y-x)2 2a+b(y-x)+c=(y-x)a+b(y-x)+c=(y-x)2 2(a+by-bx+c).(a+by-bx+c).(3)(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成因式分解最后如果有同底数幂，要写成幂的形式幂的形式.例如：例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(8a-16b)=(a-2b)(8a-16b)=8

18、(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2 2.做一做 把下列各式分解因式把下列各式分解因式.(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(2)4p(1-q)(2)4p(1-q)3 3+2(q-1)+2(q-1)2 2；2(2a+b)2(2a+b)2 22(1-q)2(1-q)2 2(2p-2pq+1)(2p-2pq+1)或或2(q-1)2(q-1)2 2(2p-2pq+1)(2p-2pq+1)(2)(2)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=

19、(a=(ab)b)2 2其中，其中，a a2 22ab+b2ab+b2 2叫做完全平方式叫做完全平方式.例如：4x4x2 2-12xy+9y-12xy+9y2 2 =(2x)=(2x)2 2-2-22x2x3y+(3y)3y+(3y)2 2=(2x-=(2x-3y)3y)2 2.知识点3 公式法(1)(1)平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(=(a+b)(a-ba+b)(a-b).).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).探究交流 下列变形是否正确？为什么？下列变形是否正确？为什么？(1)x(1)x2 2-3y-3y2 2=(x+3y)(x-3y)=(

20、x+3y)(x-3y)；(2)4x(2)4x2 2-6xy+9y-6xy+9y2 2=(2x-3y)=(2x-3y)2 2；(3)x(3)x2 2-2x-1=(x-1)-2x-1=(x-1)2 2.目前在有理数范围内不能再分解.不是完全平方式，不能进行分解 不是完全平方式，不能进行分解例例2 2 把下列各式分解因式把下列各式分解因式.(1)(a+b)(1)(a+b)2 2-4a-4a2 2 ；(2)1-10 x+25x(2)1-10 x+25x2 2；(3)(m+n)(3)(m+n)2 2-6(m+n)+9-6(m+n)+9 解解:(1)(a+b):(1)(a+b)2 2-4a-4a2 2=(

21、a+b)=(a+b)2 2-(2a)-(2a)2 2做做一一做做 把下列各式分解因式把下列各式分解因式.(1)(x(1)(x2 2+4)+4)2 2-2(x-2(x2 2+4)+1+4)+1；(2)(x+y)(2)(x+y)2 2-4(x+y-1).-4(x+y-1).(1)(x(1)(x2 2+3)+3)2 2(2)(x+y-2)(2)(x+y-2)2 2(2)1-10 x+25x(2)1-10 x+25x2 2(3)(m+n)(3)(m+n)2 2-6(m+n)+9=(m+n-3)-6(m+n)+9=(m+n-3)2 2.=(a+b+2a)(a+b-=(a+b+2a)(a+b-2a)2a)

22、=(3a+b)(b-a)=(3a+b)(b-a)=(1-5x)=(1-5x)2 2=1-10 x+(5x)=1-10 x+(5x)2 24a4a2 2(2a)(2a)2 2+2a+2a-2a-2a25x25x2 2(5x)(5x)2 2综合运用 例例3 3 分解因式分解因式.(1)x(1)x3 3-2x-2x2 2+x+x；(2)x(2)x2 2(x-y)+y(x-y)+y2 2(y-x)(y-x)解解:(1)x:(1)x3 3-2x-2x2 2+x+x=x(x=x(x2 2-2x+1)2x+1)=x(x-1)=x(x-1)2 2(2)x(2)x2 2(x-y)+y(x-y)+y2 2(y-(

23、y-x)x)x x =x=x2 2(x-y)-y(x-y)-y2 2(x-y)(x-y)=(=(x-y)(x+y)(x-yx-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2 2=(x-y)(x=(x-y)(x2 2-y-y2 2)小结小结 解因式分解题时，首先考虑解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式是两项，则考虑能否用如果没有公因式是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式平方差公式分解因式.是三项式考虑用是三项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式都完全平方式，最后，直到每一个因式都不能再分解为止不能

24、再分解为止.探索与创新题 例例4 4 若若9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2是完全平方式，则是完全平方式，则k=k=分析分析:完全平方式是形如：完全平方式是形如：a a2 22ab+b2ab+b2 2即两数即两数的平方和与这两个数乘积的的平方和与这两个数乘积的2 2倍的和倍的和(或差或差).).9x9x2 2+kxy+36y+kxy+36y2 2=(3x)=(3x)2 2+kxy+(6y)+kxy+(6y)2 2kxykxy=2=23x3x6y=36xy6y=36xyk=k=36 36 做一做 若若x x2 2+(k+3)x+9+(k+3)x+9是完全平方式，则是完全平方式，

25、则k k=_=_ k=3或k=-9 思考题思考题 分解因式分解因式(x(x4 4+x+x2 2-4)(x-4)(x4 4+x+x2 2+3)+10+3)+10 分析分析:把把x x4 4+x+x2 2作为一个整体，用一个作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构新字母代替，从而简化式子的结构.解：令解：令x x4 4+x+x2 2=m=m，则原式可化为，则原式可化为(m-4)(m+3)+10(m-4)(m+3)+10=m=m2 2-m-12+10-m-12+10=m=m2 2-m-2-m-2=(m-2)(m+1)=(m-2)(m+1)=(x=(x4 4+x+x2 2-2)(x-2)(x

26、4 4+x+x2 2+1)+1)=(x=(x2 2+2)(x+2)(x2 2-1)(x-1)(x4 4+x+x2 2+1)+1)=(x=(x2 2+2)(x+1)(x-1)(x+2)(x+1)(x-1)(x4 4+x+x2 2+1)+1)1、利用因式分解计算：（1）（2）(1 )(1 )(1 )(1 )（3）20042-40082005+20052 （4）9.929.90.20.012、若若a、b、c为为ABC的三边，且满足的三边，且满足a2b2c2abacbc，试判断，试判断ABC的形状。的形状。（2）3.分解因式：分解因式：（1）.（3）（4）计算：1、(3a2b3)2(-2ab3c)22、x(x-1)-2x(-x+1)-3x(2x-5)3、先化简,再求值:(3a+1)(2a-3)-6(a+2)(a-1),其中a=-3解：原式=(9a4b6)(4a2b6c2)=(94)(a4a2)(b6b6)c2=36a6b12c21.将多项式将多项式am+an+bm+bn 分解因式分解因式 再再 见见