2023年三角函数的诱导公式教案.docx

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1、2023年三角函数的诱导公式教案 第一篇：三角函数的诱导公式教案 1.3 三角函数的诱导公式 贾斐 三维目标 1、通过学生的探究,明白三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培育学生的规律推理实力及运算实力,渗透转化及分类探讨的思想.2、通过诱导公式的具体运用,娴熟正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的实力.重点难点 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵敏运用,三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:六组诱导公式的灵敏

2、运用.课时支配2课时 教学过程 导入新课 思路1.利用单位圆表示随便角的正弦值和余弦值.复习诱导公式一及其用处.思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把确定值较大的角的三角函数转化为0到360(0到2)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90到360(p到2)范围内的角的三角函数怎样求解,能2不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.新知探究 提出问题 由公式一把随便角转化为0,360)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角

3、形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.老师可组织学生思索探讨如下问题:0到90的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90到360的角能否与锐角相联系?通过分析与的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求90,360)内的角的三角函数值,转化为求有关锐角的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,老师可借此向学生介绍化归思想.图1 探讨结果:通过分析,归纳得出:如图1.180o-a,b,=180o+a,b, 360o-a,b,提出问题 锐角的终边与180+角的终边位置关系如何? 它们与单位圆的交点的位置关

4、系如何? 随便角与180+呢? 活动:分为锐角和随便角作图分析:如图2.图2 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起探讨探究角的关系.无论为锐角还是随便角,180+的终边都是的终边的反向延长线,所以先选择180+为探讨对象.利用图形还可以直观地解决问题,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二: sin(180+)=-sin,cos(180+)=-cos.并指导学生写出角为弧度时的关系式: sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan.引导学生视察公式的特点

5、,明白各个公式的作用.探讨结果:锐角的终边与180+角的终边互为反向延长线.它们与单位圆的交点关于原点对称.随便角与180+角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题 有了以上公式,我们下一步的探讨对象是什么? -角的终边与角的终边位置关系如何? 活动:让学生在单位圆中探讨-与的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思索: 随便角和-的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探究、概括、比照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即: sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.老师点拨学生留意:无论是锐角还是随便角,公式均成立.并进

6、一步引导学生视察分析公式三的特点,得出公式三的用处:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.探讨结果: 根据分析下一步的探讨对象是-的正弦和余弦.-角的终边与角的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题 下一步的探讨对象是什么? -角的终边与角的终边位置关系如何? 活动:探讨-与的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思索:随便角和-的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探究、概括、比照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即: sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-tan.强调无

7、论是锐角还是随便角,公式均成立.引导学生视察分析公式三的特点,得出公式四的用处:可将求-角的三角函数值转化为求角的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一四: +k2(kZ),-,的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限.点拨、引导学生留意公式中的是随便角.探讨结果:根据分析下一步的探讨对象是-的三角函数; -角的终边与角的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用 例1 利用公式求以下三角函数值: (1)cos225;(2

8、)sin11p;(3)sin(-16p);(4)cos(-2 040).33 活动:这是干脆运用公式的题目类型,让学生熟识公式,通过练习加深印象,逐步到达娴熟、正确地应用.让学生视察题目中的角的范围,比照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225=cos(180+45)=-cos45=-(2)sin11p=sin(43-22; p3)=-sinp=-33;23(3)sin(-16p)=-sin16p=-sin(5+p)33=-(-sinp)=33;2(4)cos(-2 040)=cos2 040=cos(6360-120)=cos120=cos(180-60)=-cos60=-1

9、.2点评:利用公式一四把随便角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按以下步骤进行: 上述步骤表达了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练 利用公式求以下三角函数值:(1)cos(-51015);(2)sin(-17).3解:(1)cos(-51015)=cos51015 =cos(360+15015) =cos15015=cos(180-2945)=-cos2945=-0.868 2;(2)sin(-17)=sin(p-32)=sinp=3333.2例2 2023全国高考,1 cos330等于()A.1 B.-1 C.223 2D.-3 2答案:C 变式训练 化简:解:=1+2si

10、n290ocos430osin250o+cos790o 1+2sin290ocos430osin250o+cos790o 1+2sin(360o-70o)cos(360o+70o)sin(180+70)+cos(720+70)oooo1-2sin70ocos70o|cos70o-sin70o| =oooo-sin70+cos70cos70-sin70sin70o-cos70o=-1.=cos70o-sin70o例3 化简cos315+sin(-30)+sin225+cos480.活动:这是要求学生灵敏运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求

11、值、合并、约分.解:cos315+sin(-30)+sin225+cos480 =cos(360-45)-sin30+sin(180+45)+cos(360+120) =cos(-45)-1-sin45+cos120 2=cos45-1=221-2222-22+cos(180-60) -cos60=-1.点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终到达统一角或求值的目的.变式训练 求证:tan(2p-q)sin(2p-q)cos(6p-q)=tanq.(-cosq)sin(5p+q)分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.证明:左边=tan(2p-q)sin(2p-q)cos(6p-

12、q) (-cosq)sin(5p+q)=tan(-q)sin(-q)cos(-q) (-cosq)sin(p+q)cosqsinq=tanqsinqcosq=tan=右边.所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练 课本本节练习13.解答:1.(1)-cos4p;(2)-sin1;(3)-sinp;(4)cos706.95点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1)1;(2)1;(3)0.642 8;(4)-2232.点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sincos;(2)sin.点评：先利用诱导公式变形为角的三角函

13、数,再进一步化简.课堂小结 本节课我们学习了公式 二、公式 三、公式四三组公式,24这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实驾驭由未知向已知转化的化归思想.作业 课本习题1.3 A组2、3、4. 其次篇：3三角函数的诱导公式教案 1.2.3 三角函数的诱导公式1 一、课题：三角函数的诱导公式1 二、教学目标：1.理解正弦、余弦的诱导公式二、三的推导过程； 2.驾驭公式二、三，并会正确运用公式进行有关计算、化简； 3.了解、领悟把为知

14、问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的实力。 三、教学重、难点：1诱导公式二、三的推导、记忆及符号的推断； 2应用诱导公式二、三的推导。 四、教学过程： 一复习： 1利用单位圆表示随便角a的正弦值和余弦值； 2诱导公式一及其用处： sink( =)asink,coso(+a360=a)ckoso,taa+n(=36a0kZ)oo0,360问：由公式一把随便角a转化为)内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？ 3o6+0aoooo0,9090,360 我们对范围内的角的三角函数值是熟识的，那么若能把内的角b的三角函数值转化为求锐角a的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思

15、想。 二新课讲解： oo1引入：对于任何一个： 0,360内的角b，以下四种状况有且只有一种成立其中a为锐角) a,当b0o,90o)180o-a,当b90o,180o)b=ooo180,270)180+a,当booo360-a,当b270,360)ooo所以，我们只需探讨180-a,180+a,360-a与a的同名三角函数的关系即探讨了b与a的关系了。 提问：1锐角a的终边与180+a的终边位置关系如何？ o2诱导公式二： 2写出a的终边与180+a的终边与单位圆交点P,P的坐标。 o3随便角a与180+a呢？ o通过图演示，可以得到：随便a与180+a的终边都是关于原点中心对称的。则有P(

16、x,y),P(-x,-y)，由正弦函数、余弦函数的定义可知： osina=y，cosa=x； sin(180o+a)=-y，cos(180o+a)=-x oo从而，我们得到诱导公式二： sin(180+a)=-sina；cos(180+a)=-cosa 说明：公式二中的a指随便角； 若a是弧度制，即有sin(p+a)=-sina，cos(p+a)=-cosa； 公式特点：函数名不变，符号看象限； sin(180o+a)-sina可以导出正切：tan(180+a)=-tana ocos(180+a)-cosao此公式要使等式两边同时有意义 3诱导公式三： 提问：1360-a的终边与-a的终边位置

17、关系如何？从而得出应先探讨-a； 2任何角a与-a的终边位置关系如何？ 比照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，即得：诱导公式三：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa 说明：公式二中的a指随便角； o在角度制和弧度制下，公式都成立； 公式特点：函数名不变，符号看象限交代清楚在什么状况下“名不变，以及符号确定的具体方法； 可以导出正切：tan(-a)=-tana 4例题分析： 43p) 6oooo0,3600,360分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为)范围内的角的三角函 例 1求以下三角函数值：1sin960； 2cos(-ooo数利用诱导公式一或先将负角

18、转化为正角然后再用诱导公式化到0,90范围内角 的三角函数的值。 解：1sin960o=sin(960o-720o)=sin240o诱导公式一 =sin(180o+60o)=-sin60o诱导公式二 3 243p43p)=cos2cos(-诱导公式三667p7p=cos(+6p)=cos诱导公式一 66pp=cos(+p)=-cos诱导公式二 663 =-2=-方法小结：用诱导公式可将随便角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是： 化负角的三角函数为正角的三角函数； oo0,360化为内的三角函数； )化为锐角的三角函数。 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了有时也干脆化到锐角求值。

19、 cotacos(p+a)sin2(3p+a)例2 化简 3tanacos(-p-a)cota(-cosa)sin2(p+a)解：原式= 3tanacos(p+a)cota(-cosa)(-sina)2 =tana(-cosa)3cota(-cosa)sin2a =tana(-cos3a)cos2asin2a=1 sin2acos2a 五、课堂练习： 六、小结：1简述数学的化归思想； 2两个诱导公式的推导和记忆； oo3公式二可以将180,270范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数； ()4公式三可以将负角的三角函数转化为正角的三角函数。 七、作业： 第三篇：三角函数诱导公式练习题含答案

20、三角函数定义及诱导公式练习题 1将120o化为弧度为 A B C D 2代数式的值为 A.B.C.D.3 A B C D 4已知角的终边经过点(3a，4a)(a0)，则sin cos 等于 A.B.C D 5已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为() (A)2cm (B)4cm (C)6cm (D)8cm 6若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 A500 cm2 B60 cm2 C225 cm2 D30 cm2 7已知，则的值为 A B C D 8已知，且，则 A、B、C、D、9若角的终边过点，则_.10已知点P(tan，cos)在其次象限，则角的终边在

21、第_象限 11若角同时满意sin0且tan0，则角的终边确定落在第_象限 12已知，则的值为 13已知，则_.14已知，则_.15已知tan=3，则 .16(14分)已知tan，求证： (1)=； (2)sin2sincos 17已知 1求的值； 2求的值； 3若是第三象限角，求的值.18已知sin(3)2cos(4)，求的值 参考答案 1B 试题分析：，故.考点：弧度制与角度的互相转化.2A. 试题分析：由诱导公式以可得，sin120cos210=sin60(-cos30)=-=,选A.考点：诱导公式的应用 3C 试题分析：此题主要考查三角诱导公式及特殊角的三角函数值.由，选C.考点：诱导公

22、式.4A 试题分析：，.应选A.考点：三角函数的定义 5C 设扇形的半径为R,则R2=2,R2=1R=1,扇形的周长为2R+R=2+4=6(cm).6C 设扇形的圆心角为,弧长为cm,由题意知， 当时，扇形的面积最大；这个最大值为.应选C.7A 试题分析：，=.考点：诱导公式.8 试题分析：.又因为，所以为三象限的角，.选B.考点：三角函数的基本计算.9 试题分析：点即，该点到原点的距离为，依题意，根据随便角的三角函数的定义可知.考点：随便角的三角函数.10四 由题意，得tan0且cos0，所以角的终边在第四象限 11四 由sin0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合

23、由tan0，可知的终边可能位于其次象限或第四象限，可知的终边只能位于第四象限 12-3 13 试题分析：因为是锐角 所以sin()sin 考点：同角三角函数关系，诱导公式.14 试题分析：，又，则原式=.考点：三角函数的诱导公式.1545 试题分析：已知条件为正切值，所求分式为弦的齐次式，所以运用弦化切，即将分子分母同除以得.考点：弦化切 16证明： (1) (2)sin2sincos (1)原式可以分子分母同除以cosx,到达弦化切的目的.然后将tanx=2代入求值即可.2把1用替换后，然后分母也除以一个1，再分子分母同除以,到达弦化切的目的.证明：由已知tan(1) (2)sin2sinc

24、os 171;2;3. 试题分析：1因为已知分子分母为齐次式，所以可以干脆同除以转化为只含的式子即可求得；2用诱导公式将已知化简即可求得；3有，得，再利用同角关系，又因为是第三象限角，所以； 试题解析： 2分 3分 9分 10分 解法1：由，得，又，故，即，12分 因为是第三象限角，所以 14分 解法2：，12分 因为是第三象限角，所以 14分 考点：1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系.18 sin(3)2cos(4)，sin(3)2cos(4)，sin2cos，且cos0.原式 三角函数的诱导公式1 一、选择题 1假如|cosx|=cosx+，则x的取值集合是 A+2kx+2k B+2

25、kx+2k C +2kx+2k D2k+1x2k+1以上kZ 2sin的值是 A B C D 3以下三角函数： sinn+；cos2n+；sin2n+；cos2n+1； sin2n+1nZ 其中函数值与sin的值相同的是 A B C D 4若cos+=，且，0，则tan+的值为 A B C D 5设A、B、C是三角形的三个内角，以下关系恒成立的是 AcosA+B=cosC BsinA+B=sinC CtanA+B=tanC Dsin=sin 6函数fx=cosxZ的值域为 A1，0，1 B1，1 C1，0，1 D1，1 二、填空题 7若是第三象限角，则=_ 8sin21+sin22+sin23

26、+sin289=_ 三、解答题 9求值：sin660cos420tan330cot690 10证明： 11已知cos=，cos+=1，求证：cos2+= 12化简： 13、求证：=tan 14求证：1sin=cos； 2cos+=sin 参考答案1 一、选择题 1C 2A 3C 4B 5B 6B 二、填空题 7sincos 8三、解答题 9+1 10证明：左边= =，右边=，左边=右边，原等式成立 11证明：cos+=1，+=2k cos2+=cos+=cos+2k=cos= 12解： = = = =1 13证明：左边=tan=右边，原等式成立 14证明：1sin=sin+=sin=cos 2

27、cos+=cos+=cos+=sin 三角函数的诱导公式2 一、选择题： 1已知sin(+)=，则sin(-)值为 A.B. C.D. 2cos(+)= ，,sin(-) 值为 A.B.C.D. 3化简：得 A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D. (cos2-sin2) 4已知和的终边关于x轴对称，则以下各式中正确的选项是 A.sin=sin B.sin(-) =sin C.cos=cos D.cos(-) =-cos 5设tan=-2,0，那么sin+cos(-)的值等于，A.4+ B.4- C.4 D.-4 二、填空题： 6cos(-x)=，x-，则x

28、的值为 7tan=m，则 8|sin|=sin-+，则的取值范围是 三、解答题： 9 10已知：sinx+=，求sin+cos2-x的值 11求以下三角函数值： 1sin；2cos；3tan； 12求以下三角函数值： 1sincostan； 2sin2n+1.13设f=，求f的值.参考答案2 1C 2A 3C 4C 5A 6 78 9原式= sin 1011解：1sin=sin2+=sin=.2cos=cos4+=cos=.3tan=cos4+=cos=.4sin765=sin360245=sin45=sin45=.注：利用公式1、公式2可以将随便角的三角函数转化为终边在第一象限和其次象限的角

29、的三角函数，从而求值.12解：1sincostan=sin+cos4+tan+ =sincostan=1=.2sin2n+1=sin=sin=.13解：f= = = = = = cos1，f=cos1=1=.三角函数公式 1同角三角函数基本关系式 sin2cos2=1 =tan tancot=1 2诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) 一sin()sin sin(+)-sin cos()-cos cos(+)-cos tan()-tan tan(+)tan sin(2)-sin sin(2+)sin cos(2)cos cos(2+)cos tan(2)-tan tan(2+)tan 二sin

30、()cos sin(+)cos cos()sin cos(+)- sin tan()cot tan(+)-cot sin()-cos sin(+)-cos cos()-sin cos(+)sin tan()cot tan(+)-cot sin()sin cos()=cos tan()=tan 3两角和与差的三角函数 cos(+)=coscossinsin cos()=coscossinsin sin (+)=sincoscossin sin ()=sincoscossin tan(+)= tan()= 4二倍角公式 sin2=2sincos cos2=cos2sin22 cos2112 sin

31、2 tan2= 5公式的变形 1 升幂公式：1cos22cos2 1cos22sin2 2 降幂公式：cos2 sin2 3 正切公式变形：tan+tantan(+)1tantan tantantan()1tantan) 4 万能公式用tan表示其他三角函数值 sin2 cos2 tan2 6插入帮助角公式 asinxbcosx=sin(x+) (tan=) 特殊地：sinxcosxsin(x) 7熟识形式的变形如何变形 1sinxcosx 1sinx 1cosx tanxcotx 若A、B是锐角，A+B，则1tanA(1+tanB)=2 8在三角形中的结论 若：ABC=,=则有 tanAta

32、nBtanC=tanAtanBtanC tantantantantantan1 第四篇：三角函数诱导公式-教学反思 我的教学反思 三角函数的诱导公式(一)讲课老师:詹启发 根据学校教务处和数学教研组的教学工作支配,我于12月22日在高一(8)班讲授了一节三角函数的诱导公式公开课。现将本节课做得好与不好的地方总结如下: 本人自己感到满足之处有: 1.教学目标明确,符合新教材的教学要求和学生的认知水平及认知心理,目标设计表达了学科素养。 2.教学内容的设计上抓住了主干学问,把握了重点,突破了难点,留意了教学的条理性。情境导入方面,通过三个设问,激发学生的学习爱好,激励和引导学生主动参与诱导公式的探

33、究觉察过程。演板题目设计典型,难度适中,有确定的效度。 3.运用课件讲授诱导公式,做到图文并茂,让学生能轻松地认知诱导公式,基本到达了预期的教学效果。 4.运用一般话教学,语言精练精确,不说废话。 5.学生学习爱好深厚,答题踊跃,自主、合作、探究学习的看法得以表达,获得了主动的情感体验。 但在教学过程中仍存在一些缺憾:上课时因为惊慌没有在黑板上书写课题;教学中一下微小环节打磨不够,强调不够;板书较少;对做得好的学生缺少表扬等 通过参与这次讲课,使我得到了熬炼,尤其是听课老师中肯的评课,让我收获颇多,将受益终生。盼望今后有机会多参加这样的活动。 第五篇：高一数学三角函数的诱导公式 诱导公式3 一

34、、学习目标 1.能运用诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及简洁三角恒等式的证明 2.能综合运用诱导公式和同角三角函数基本关系式解决求值问题 二、重点与难点 重点:驾驭诱导公式的特点，明确公式用处，娴熟运用公式解决问题 难点:诱导公式的综合应用 三、学问点导学 1.sin(360k+a)=_;cos(360k+a)=_;tan(360k+a)=_;sin(180+a)= _;cos(180+a)=_;tan(180+a)= _;sin(-a)=_;cos(-a)=_;tan(-a)=_;sin(pa)= _;cos(p a)=_;tan(pa)=_; sin(p-a)= _;p -a)=_;

35、sin(pp 2+a)= _;2 +a)= _.2.诱导公式口诀:_.3.用诱导公式化简一个角的三角函数值的过程是_ 四、典型例题与练习 练习1:求以下函数值：(1)tan31p20 5,(2)cos580,(3)sin(-3 p).练习2.化简： sin(q-5p)p -q)cos(8p-q1) cos(3p-q)sin(q-3p)sin(-q-4p) 2sin(-1200o)cos1290o+cos(-1020o)sin(-1050)+tan945o.例1.已知sin(a+p)=45,且sinacosa0,求2sin(a-p)+3tan(3p-a)4cos(a-3p)的值.练习1.已知cos(a-2p)=1p tan(-a-p)sin(2p+a)3,-2 a0，求 cos(-a)tana的值.练习2.已知p6-a)= 3,求5p6+a)-sin2(a-p 6),例2.已知tan(p+a)=3,求2cos(p-a)-3sin(p+a) 4cos(-a)+sin(2p-a)的值。 例3.已知sina,cosa是关于x的方程x2-ax+17p