2023年八年级数学专题-勾股定理.docx

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1、2023年八年级数学专题-勾股定理 第十七章勾股定理 171勾股定理 第1课时勾股定理(1) 了解勾股定理的觉察过程，理解并驾驭勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简洁的计算 重点 勾股定理的内容和证明及简洁应用 难点 勾股定理的证明 一、创设情境，引入新课 让学生画一个直角边分别为3 cm和4 cm的直角ABC，用刻度尺量出斜边的长 再画一个两直角边分别为5和12的直角ABC，用刻度尺量出斜边的长 你是否觉察了3242与52的关系，52122与132的关系，即324252，52122132，那么就有勾2股2弦2.对于随便的直角三角形也有这特性质吗？ 由一学生朗读“毕达哥

2、拉斯视察地面图案觉察勾股定理的传闻，引导学生视察身边的地面图形，猜测毕达哥拉斯觉察了什么？ 拼图试验，探求新知 1多媒体课件演示教材第2223页图17.12和图17.13，引导学生视察思索 2组织学生小组合作学习 问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法 引导学生用拼图法初步体验结论 生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和 师：这只是猜测，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明 归纳验证，得出定理 (1)猜测：命题1：假如直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.(2)是不是全部的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直

3、角三角形进行证明到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的 用多媒体课件演示 小组合作探究： a以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？ b它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？ c利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法想一想还有什么方法？ 师：通过拼摆，我们证明了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理 即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦 二、例题讲解 填空题 (1)在RtABC中，C90，a8，b15，

4、则c_； (2)在RtABC中，B90，a3，b4，则c_； (3)在RtABC中，C90，c10，ab34，则a_，b_； (4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_； (5)已知等边三角形的边长为2 cm，则它的高为_cm，面积为_cm2.(1)17(2)(3)68(4)6，8，10(5) 已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边 分析：已知两边中，较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种状况分别进行计算让学生知道考虑问题要全面，体会分类探讨思想 或13 三、稳固练习 填空题 在RtABC中，C90.(1)假如a7，c25，则b_； (2)假如A30，a

5、4，则b_； (3)假如A45，a3，则c_； (4)假如c10，ab2，则b_； (5)假如a，b，c是连续整数，则abc_； (6)假如b8，ac35，则c_ (1)24(2)4(3)3(4)6(5)12 (6)10 四、课堂小结 1本节课学到了什么数学学问？ 2你了解了勾股定理的觉察和验证方法了吗？ 3你还有什么困惑？ 本节课的设计关注学生是否主动参与探究勾股定理的活动，关注学生能否在活动中主动思索、能够探究出解决问题的方法，能否进行主动的联想(数形结合)以及学生能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等关注学生的拼图过程，激励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理第2课时勾股定理(2)

6、能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简洁的实际问题 重点 将实际问题转化为直角三角形模型 难点 如何用解直角三角形的学问和勾股定理来解决实际问题 一、复习导入 问题1：欲登12米高的建筑物，为平安需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？ 师生行为： 学生分小组探讨，建立直角三角形的数学模型 老师深化到小组活动中，倾听学生的想法 生：根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC12 m，BC5 m，AB是梯子的长度，所以在RtABC中，AB2AC2BC212252132，则AB13 m.所以至少需13 m长的梯子 师：很好！ 由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a，

7、b，就可以求出斜边c的长由勾股定理可得a2c2b2或b2c2a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长 问题2：一个门框的尺寸如下图，一块长3 m、宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 学生分组探讨、沟通，老师深化到学生的数学活动中，引导他们觉察问题，找寻解决问题的途径 生1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过 生2：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过 师生共析： 解：在RtABC中，根据

8、勾股定理AC2AB2BC212225.因此AC2.236.因为AC木板的宽，所以木板可以从门框内通过 二、例题讲解 如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是4米，则这两棵树之间的垂直距离是_米，水平距离是_米 分析：由CAB30易知垂直距离为2米，水平距离是6米 26 教材第25页例2 三、稳固练习 1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B，C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC50米，B60，则江面的宽度为_ 50米 2某人欲横渡一条河，由于水流的影响，事实上岸地点C偏离欲到达地点B 200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度 约480 m 四、课堂小结 1谈谈自己在这节课的

9、收获有哪些？会用勾股定理解决简洁的应用题；会构造直角三角形 2本节是从试验问题动身，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答 这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，激励学生动手、动脑，阅历将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习爱好，熬炼了学生独立思索的实力第3课时勾股定理(3) 1利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 2利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点 3进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简洁的实际问题 重点 在数轴上找寻表示，这样的表示无理数的点 难点 利用勾股定理找寻直角三角形中长度为无

10、理数的线段 一、复习导入 复习勾股定理的内容 本节课探究勾股定理的综合应用 师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等你们能用勾股定理证明这一结论吗？ 学生思索并独立完成，老师巡察指导，并总结 先画出图形，再写出已知、求证如下： 已知：如图，在RtABC和RtABC中，CC90，ABAB，ACAC.求证：ABCABC.证明：在RtABC和RtABC中，CC90，根据勾股定理，得BC，BC.又ABAB，ACAC，BCBC，ABCABC(SSS) 师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出所对应的点吗？ 老师可指导学生找寻

11、像长度为，这样的包含在直角三角形中的线段 师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为，所以只需画出长为，的线段即可，我们不妨先来画出长为，的线段 生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，而长为的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边 师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？ 生：设c，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a2b2c2，即a2b213.若a，b为正整数，则13必需分解为两个平方数的和，即1349，a24，b29，则a2，b3，所以长为的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边 师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点 生：步骤如下： 1在数轴上找到点A，使O

12、A3.2作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB2.3以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点 二、例题讲解 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？ 分析：根据题意，可以画出如下图的图形，A点表示男孩头顶的位置，C，B点是两个时刻飞机的位置，C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题 解：根据题意，得在RtABC中，C90，AB5000米，AC4800米由勾股定理，得AB2AC2BC2，即50002BC248002，所以BC1400米 飞机飞行1400米用了10秒，那

13、么它1小时飞行的距离为1400660504000(米)504(千米)，即飞机飞行的速度为504千米/时 在清静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？ 解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD3分米，CB6分米，ADAB，BCAD，所以在RtACB中，AB2AC2BC2，即(AC3)2AC262，AC26AC9AC236，6AC27，AC4.5，所以这里的水深为4.5分米 在数轴上作出表示的点 解：以为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形

14、的斜边，因此，在数轴上画出表示的点，如下列图： 师生行为： 由学生独立思索完成，老师巡察指导 此活动中，老师应重点关注以下两个方面： 学生能否主动主动地思索问题； 能否找到斜边为，另外两条直角边为整数的直角三角形 三、课堂小结 1进一步稳固、驾驭并娴熟运用勾股定理解决直角三角形问题 2你对本节内容有哪些相识？会利用勾股定理得到一些无理数，并理解数轴上的点与实数一一对应 本节课的教学中，在培育规律推理的实力方面，做了认真的考虑和细心的设计，把推理证明作为学生视察、试验、探究得出结论的自然持续，留意数学与生活的联系，从学生的认知规律和接受水平动身，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数

15、学的爱好，培育了学生擅长提出问题、敢于提出问题、解决问题的实力 17.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理(1) 1驾驭直角三角形的判别条件 2熟记一些勾股数 3驾驭勾股定理的逆定理的探究方法 重点 探究勾股定理的逆定理，理解并驾驭互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系 难点 归纳猜测出命题2的结论 一、复习导入 活动探究 (1)总结直角三角形有哪些性质； (2)一个三角形满意什么条件时才能是直角三角形？ 生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30角的直角三角形中，30的角所对的直角边是斜边的一半 师：那么

16、一个三角形满意什么条件时，才能是直角三角形呢？ 生1：假如三角形有一个内角是90，那么这个三角形就为直角三角形 生2：假如一个三角形，有两个角的和是90，那么这个三角形也是直角三角形 师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有确定的数量关系即a2b2c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？ 问题：据说古埃及人用下列图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角 这个问题意味着，假如围成的三角形的三边长分别为3，4

17、，5，有下面的关系：324252，那么围成的三角形是直角三角形 画画看，假如三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的关系：2.52626.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试 生1：我们不难觉察上图中，第1个结到第4个结是3个单位长度即AC3；同理BC4，AB5.因为324252，所以我们围成的三角形是直角三角形 生2：假如三角形的三边长分别是2.5 cm，6 cm，6.5 cm.我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，觉察6.5 cm的边所对的角是直角，并且2.52626.52.再换成三边长分别为4 cm

18、，7.5 cm，8.5 cm的三角形，可以觉察8.5 cm的边所对的角是直角，且有427.528.52.师：很好！我们通过实际操作，猜测结论 命题2假如三角形的三边长a，b，c满意a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形 再看下面的命题： 命题1假如直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.它们的题设和结论各有何关系？ 师：我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题假如把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题 二、例题讲解 说出以下命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ (

19、1)同旁内角互补，两条直线平行； (2)假如两个实数的平方相等，那么这两个实数相等； (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (4)直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半 分析：(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时留意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并留意语言的运用； (2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假 解略 三、稳固练习 教材第33页练习第2题 四、课堂小结 师：通过这节课的学习，你对本节内容有哪些相识？ 学生发言，老师点评 本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学根据学生原有的认知结构，让学

20、生更好地体会分割的思想设计的题型前后呼应，使学问有序推动，有助于学生理解和驾驭；让学生通过合作、沟通、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的爱好，感受探究、合作的乐趣，并从中获得胜利的体验，真正表达学生是学习的主子将目标分层后，满意不同层次学生的做题要求，到达稳固课堂学问的目的 第2课时勾股定理的逆定理(2) 1理解并驾驭证明勾股定理的逆定理的方法 2理解逆定理、互逆定理的概念 重点 勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念 难点 理解互逆定理的概念 一、复习导入 师：我们学过的勾股定理的内容是什么？ 生：假如直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.师：根据上节课学过的

21、内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容：假如三角形的三边长a，b，c满意a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形 师：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？ 师生行为： 让学生试着找寻解题思路，老师可引导学生理清证明的思路 师：ABC的三边长a，b，c满意a2b2c2.假如ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际状况是这样吗？ 我们画一个直角三角形ABC，使BCa，ACb，C90(如图)，把画好的ABC剪下，放在ABC上，它们重合吗？ 生：我们所画的RtABC，(AB)2a2b2，又因为c2a2b2，所以(AB)2c2，即ABc.A

22、BC和ABC三边对应相等，所以两个三角形全等，CC90，所以ABC为直角三角形 即命题2是正确的 师：很好！我们证明白命题2是正确的，那么命题2就成为一个定理由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理 师：但是不是原命题成立，逆命题确定成立呢？ 生：不愿定，如命题“对顶角相等成立，它的逆命题“假如两个角相等，那么它们是对顶角不成立 师：你还能举出类似的例子吗？ 生：例如原命题：假如两个实数相等，那么它们的确定值也相等 逆命题：假如两个数的确定值相等，那么这两个实数相等 明显原命题成立，而逆命题不愿

23、定成立 二、新课教授 教材第32页例1 教材第33页例2 一个零件的形态如下图，按规定这个零件中A和DBC都应为直角工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？ 分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子 解：在ABD中，AB2AD291625BD2，所以ABD是直角三角形，A是直角 在BCD中，BD2BC225144169132CD2，所以BCD是直角三角形，DBC是直角 因此这个零件符合要求 三、稳固练习 1小强在操场上向东走80 m后，又走了60 m，再走100 m回到原地小强在操场上向东走了80 m后，又走60 m的方向是_ 向正南或正北 2如图，在我国沿海

24、有一艘不明国籍的轮船进入我国海疆，我海军甲、乙两艘巡逻艇马上从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，求甲巡逻艇的航向 解：由题意可知：AC120612，BC5065，12252132.又AB13，AC2BC2AB2，ABC是直角三角形，且ACB90，CAB40，航向为北偏东50.四、课堂小结 1同学们对本节的内容有哪些相识？ 2勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数 本节课我接受以学生为主体，引导觉察、操作探究的教学设计，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的主动性，有利于培育学生动手、视察、分析、猜测、验证、推理的实力，切实使学生在获得学问的过程中得到实力的培育