高中数学必修四课件全册(人教A版)ppt.ppt

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1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2023年1月15日高中数学必修四课件全册（人教A版）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么任意角的概念任意角的概念任意角的概念任意角的概念角的度量方法角的度量方法角的度量方法角的度量方法（角度制与弧度制）（角度制与弧度制）（角度制与弧度制）（角度制与弧度制）弧长公式与弧长公式与弧长公式与弧长公式与扇形面积公式扇形面积公式扇形面积公式扇形面积公式任意角的任意角的任意角的任意角的三角函数三角函数三角函数三角函数同角公式同角公式同

2、角公式同角公式诱导公式诱导公式诱导公式诱导公式两角和与差的两角和与差的两角和与差的两角和与差的三角函数三角函数三角函数三角函数二倍角的二倍角的二倍角的二倍角的三角函数三角函数三角函数三角函数三角函数式的恒等变形三角函数式的恒等变形三角函数式的恒等变形三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）（化简、求值、证明）（化简、求值、证明）（化简、求值、证明）三角函数的三角函数的三角函数的三角函数的图形和性质图形和性质图形和性质图形和性质正弦型函数的图象正弦型函数的图象正弦型函数的图象正弦型函数的图象已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角知识网络结构在日常生活中，

3、随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.1.角的概念的推广角的概念的推广（1）正角，负角和零角正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.（4）角在“到”范围内，指.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一

4、象限，这时也称该角为轴线角.一、基本概念：一、基本概念：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、任意角的三角函数1、角的概念的推广角的概念的推广正角正角负角负角oxy的终边的终边零角零角在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、象限角：注注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：（角度制）（弧度制）例1、求在 到 （）范围内，与下列各角终边相同的角原点原点x轴的非负半轴轴的非负半轴一、在直角坐标系内讨论角，

5、角的顶点与 重合，角的始边 与 重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1 1、终边相同的角与相等角的区别、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。2 2、象限角、象间角与区间角的区别、象限角、象间角与区间角的区别3 3、角的终边落在、角的终边落在“射线上射线上”、“直线上直线上”及及“互相互相垂直的两条直线上垂直的两条直线上”的一般表示式的一般表示式三、终

6、边相同的角在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(1)与与 角角终边相同的角的集合终边相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法几类特殊角的表示方法|=2k+,kZ.(2)象限角、象限界角象限角、象限界角(轴线角轴线角)象限角象限角第一象限角第一象限角:(2k 2k+,k Z)2 第二象限角第二象限角:(2k+2k+,k Z)2 第三象限角第三象限角:(2k+2k+,k Z)23 第四象限角第四象限角:2 (2k+2k+2,k Z 或或 2k-2k,k Z)23 一、角的基本概念一、角的基本概念在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食

7、的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么轴线角轴线角x 轴的非负半轴轴的非负半轴:=k 360(2k)(k Z);x 轴的非正半轴轴的非正半轴:=k 360+180(2k+)(k Z);y 轴的非负半轴轴的非负半轴:=k 360+90(2k+)(k Z);2 y 轴的非正半轴轴的非正半轴:=k 360+270(2k+)或或 =k 360-90(2k-)(k Z);23 2 x 轴轴:=k 180(k)(k Z);y 轴轴:=k 180+90(k+)(k Z);2 坐标轴坐标轴:=k 90()(k Z).2k 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识

8、到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：（2）、终边落在y轴上的角度集合：（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么典型例题 各各各各个个个个象象象象限限限限的的的的半半半半角角角角范范范范围围围围可可可可以以以以用用用用下下下下图图图图记记记记忆忆忆忆，图图图图中中中中的的的的、分分分分别别别别指指指指第第第第一、二、三、四象限角的半角范围；一、二、三、四象限角的半角范围；一、二、三、四象限角的半角范围；一、二、三、四象限角的半角范围；例例1.1

9、.若若是是第第三三象象限限的的角角，问问/2/2是是哪哪个个象象限限的的角角?2?2是哪个象限的角是哪个象限的角?在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么C点评点评:本题先由本题先由所在象限确定所在象限确定/2所在象限所在象限,再再/2的的余弦符号确定结论余弦符号确定结论.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：解：分针所转过的角度例例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角 （1）（2）评析：评析：在解选择

10、题或填空题时，如求角所在象限，也可以不讨论k的几种情况，如图所示利用图形来判断.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角。OABrr2rOABr在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.应熟记一些特殊角的度数和弧度数.在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制（4）弧长公式和扇形面积公式.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认

11、为浪费这一点点算不了什么度 弧度 02、角度与弧度的互化角度与弧度的互化特殊角的角度数与弧度数的对应表特殊角的角度数与弧度数的对应表在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 略解：解：例3已知角和满足求角的范围.解：例例4 4、已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？扇形面积最大值为625.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例7.7.已已知知一一扇扇形形中中心心角角是是，所所在在圆圆的的半半径径是是R.R.若若6

12、060，R R10cm10cm，求求扇扇形形的的弧弧长长及及该该弧弧所在的弓形面积所在的弓形面积.若若扇扇形形的的周周长长是是一一定定值值C C(C C0)0)，当当为为多多少少弧弧度度时时，该该扇扇形形的的面面积积有有最最大大值值?并并求求出出这这一一最最大大值值?指指指指导导导导:扇扇扇扇形形形形的的的的弧弧弧弧长长长长和和和和面面面面积积积积计计计计算算算算公公公公式式式式都都都都有有有有角角角角度度度度制制制制和和和和弧弧弧弧度度度度制制制制两两两两种种种种给给给给出出出出的的的的方方方方式式式式，但但但但其其其其中中中中用用用用弧弧弧弧度度度度制制制制给给给给出出出出的的的的形形形形

13、式式式式不不不不仅仅仅仅易易易易记记记记，而而而而且且且且好好好好用用用用.在在在在使使使使用用用用时时时时，先先先先要要要要将将将将问问问问题题题题中中中中涉涉涉涉及及及及到到到到的的的的角角角角度度度度换算为弧度换算为弧度换算为弧度换算为弧度.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 解：（解：（1）设弧长为）设弧长为l，弓形面积为，弓形面积为S弓弓。（2）扇形周扇形周长长C=2R+l=2R+在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么正弦线：正弦线：正弦线：正弦线：

14、余弦线：余弦线：余弦线：余弦线：正切线：正切线：正切线：正切线：（2 2）当角）当角）当角）当角 的终边在的终边在的终边在的终边在x x轴上时，正弦线，正切线变成一轴上时，正弦线，正切线变成一轴上时，正弦线，正切线变成一轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角个点；当角个点；当角个点；当角 的终边在的终边在的终边在的终边在y y轴上时，余弦线变成一个点，正轴上时，余弦线变成一个点，正轴上时，余弦线变成一个点，正轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。切线不存在。切线不存在。切线不存在。2.正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线x xy yOOP PT TMMA A有向线段有向线段有向线段有

15、向线段MPMP有向线段有向线段有向线段有向线段OMOM有向线段有向线段有向线段有向线段ATAT注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 三角函数三角函数三角函数线三角函数线正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正弦线正弦线MP 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 yx xO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：注意：三角三角函数线是函数线是有有向线段向线段！余弦线余弦线OM正切线正切线AT在日常

16、生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 P POOMM P POOMM P POOMM P POOMMMPMP为角为角 的正弦线的正弦线,OMOM为角为角 的余弦线的余弦线为第二象限角时为第二象限角时 为第一象限角时为第一象限角时 为第三象限角时为第三象限角时 为第四象限角时为第四象限角时 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么10）函数函数y=lg sinx+的定义域是的定义域是（A）（A）x|2kx2k+(kZ)（B）x|2kx2k+(kZ)（C）x|2kx2k+(

17、kZ)（D）x|2kx2k+(kZ)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三角函数线的应用三角函数线的应用一、三角式的证明一、三角式的证明2、已知：角 为锐角，试证：1、已知：角 为锐角，试证：（1）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心角是多少？扇形的的面积是多少？答：圆心角为-2，面积是5、用单位圆证明sian tan.(00 0,0)y=Asin(x+)(A0,0)的图象的对称中心的图象的对称中心和

18、对称轴方程和对称轴方程在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2 2、函数、函数、函数、函数 的图象（的图象（的图象（的图象（A0,0 )A0,0 )第一种变换第一种变换第一种变换第一种变换:图象向左图象向左图象向左图象向左()()或或或或向右向右向右向右()()平移平移平移平移 个单位个单位个单位个单位 横坐标伸长横坐标伸长横坐标伸长横坐标伸长()()或缩短或缩短或缩短或缩短()()到原来的到原来的到原来的到原来的 倍倍倍倍 纵坐标不变纵坐标不变纵坐标不变纵坐标不变纵坐标伸长纵坐标伸长纵坐标伸长纵坐标伸长(A1)(A1)或缩短或

19、缩短或缩短或缩短(0A1)(0A1)(A1)或缩短或缩短或缩短或缩短(0A1)(0A1)到原来的到原来的到原来的到原来的A A倍倍倍倍 横坐标不变横坐标不变横坐标不变横坐标不变在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心、对称轴；会判断奇偶性对称中心、对称轴；会判断奇偶性在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点

20、算不了什么例例3、不通过求值，比较、不通过求值，比较tan1350与与tan1380的大小。的大小。解：900135013802700又 y=tanx在x（900，2700）上是增函数 tan13500,|0,(A0,0)0)的图象的图象求其解析式的一般方法：求其解析式的一般方法：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 6、已知下图是函数、已知下图是函数 的图象的图象(1)求求 的值；的值；(2)求函数图象的对称轴方程求函数图象的对称轴方程.O x2112y（2）函数图象的对称轴方程为即即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现

21、象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么设函数设函数（1 1）求）求 ；（2 2）求函数）求函数 的单调递增区间；的单调递增区间；（3 3）画出函数）画出函数 在区间在区间00，上的图象上的图象.图象的一条对称轴是直线图象的一条对称轴是直线例例3在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 解析解析:（1 1）图象的一条对称轴图象的一条对称轴,是是Oyx在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意

22、识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（2 2）函数函数 的单调递增的单调递增区间为区间为在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么x xy yo o-1-11 1x0,x0,（3 3）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 5)函数 (A0,0)的一个周期内的图象如图，则有()(A)(B)(C)(D)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx03-3yx02-2-4如图：根据函数如图：根据函

23、数 y=A sin(y=A sin(x+x+)(A0,(A0,0)0)图象图象求它的解析式求它的解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx0-44如图：根据函数如图：根据函数y=A sin(y=A sin(x+x+)(A0,(A0,0)0)图象图象求它的解析式求它的解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx02-2如图：根据函数如图：根据函数y=A sin(y=A sin(x+x+)(A0,(A0,0)0)图象图象求它的解析式求它的解析式在日常生活中，

24、随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx012如图：根据函数如图：根据函数y=2 sin(y=2 sin(x+x+)(0)0)图象图象求它的解析式求它的解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx012如图：根据函数如图：根据函数y=2 sin(y=2 sin(x+x+)(0)0)图象图象求它的解析式求它的解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据正弦函数

25、的图象和性质寻找区间使其满足：使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且包括锐角包括锐角4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做实数实数 a 的反正弦，记作的反正弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的正弦值为表示一个角，角的正弦值为a ，即，即角的范围是角的范围是在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角练习：练习：（1）表示什么意思？表示

26、什么意思？表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那个角，即角的那个角，即角 ，故故（2）若）若，则，则x=（3）若）若，则，则x=在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的余弦值为表示一个角，角的余弦值为a ，即，即角的范围是角的范围是 根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且包括锐角包括锐角yx 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，

27、符合条件 的角的角x，叫做，叫做实数实数 a 的反余弦，记作的反余弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4、已知三角函数值求角、已知三角函数值求角y=sinx,的反函数 y=arcsinx,y=cosx,的反函数y=arccosx,y=tanx,的反函数y=arctanx,已知角已知角x()的三角函数值求的三角函数值求x的步骤的步骤先确定x是第几象限角若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角 ；若x的三角函数 值为负的，求出与其绝对值对应的锐角根据x是第几象限角，求出x 若x为第二象限角

28、，即得x=；若x为第三象限角，即得 x=；若x为第四象限角，即得x=若 ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。反三角函数反三角函数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么已知三角函数值求角已知三角函数值求角x（仅限于0，2）的解题步骤：1、如果函数值为正数，则求出对应的锐角x0；如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的锐角x0；2、由函数值的符号决定角x可能的象限角；3、根据角x的可能的象限角得出0，2 内对应的角：如果x是第二象限角，那么可以表示为 x0如果x是第三象限角，那么可以表示为 x0如果x是第四象限角，那么可

29、以表示为2 x0在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么说明说明说明说明:三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视.(1)(1)(1)(1)判断角的象限判断角的象限判断角的象限判断角的象限；(2)(2)(2)(2)求对应锐角；求对应锐角；求对应锐角；求对应锐角；如果函数值为正数，则先求出对应的锐角如果函数值为正数，则先求出对应的锐角如果函数值为正数，则先求出对应的锐角如果函数值为正

30、数，则先求出对应的锐角x x1 1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x x1 1.(3)(3)(3)(3)求出求出求出求出(0(0(0(0，2 2 2 2)内对应的角内对应的角内对应的角内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为如果它是第二象限角，那么可表示为如果它是第二象限角，那么可表示为如果它是第二象限角，那么可表示为x x1 1；如果它是第三或第四象限角，则可表示为如果它是第三或第四象限角，则可表示为如果它是第三或第四象限角，则可表示为

31、如果它是第三或第四象限角，则可表示为x x1 1 或或或或x x1 12 2.(4)(4)(4)(4)求出一般解求出一般解求出一般解求出一般解 利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果写出结果.（三）已知三角函数值求角（三）已知三角函数值求角”的基本步骤的基本步骤1、基本步骤、基本步骤在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、表示角的一种方法、表示角的一种方法反三角函数法反三角函数法1 1 1

32、1、反正弦：、反正弦：、反正弦：、反正弦：这时这时sin(arcsina)=a 2 2 2 2、反余弦：、反余弦：、反余弦：、反余弦：这时这时cos(arccosa)=a 这时这时tan(arctana)=a 3 3 3 3、反正切：、反正切：、反正切：、反正切：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、两角和与差的三角函数1 1、预备知识：两点间距离公式、预备知识：两点间距离公式xyo2 2、两角和与差的三角函数、两角和与差的三角函数注：公式的逆用注：公式的逆用 及变形的应用及变形的应用公式变形公式变形在日常生活中，随处都可以

33、看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3 3、倍角公式、倍角公式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、知识点二、知识点（一）（一）两角和与两角和与差公式差公式（二）（二）倍角倍角公式公式 公式 =1-cos2 2cos2=1+cos2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2tan+tan=tan(+)(1-tantan)tan-tan=tan(-)(1+tantan)注意1、公式的变形如：注意2、公式成立的条件（使等式两边都有意义）.C：S：C2：S 2：T2：T：在日常

34、生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3、倍角公式、倍角公式注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别返回和角公式的一个重要变形和角公式的一个重要变形在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么其其 它它 公公 式式(1)1、半角公式2、万能公式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么十二、两角和与差的正弦、余弦、正切：注意：、的变形式变形式变

35、形式变形式以及运用和差公式时要会拼角拼角拼角拼角如：要要要要熟熟熟熟悉悉悉悉公公公公式式式式逆逆逆逆用用用用！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么十三、一个化同角同函数名的常用方法：如：例7、求 的值十四、二倍角公式：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么降降幂幂（扩扩角角）公公式式升升幂幂（缩缩角角）公公式式和差化积公式：和差化积公式：积化和差公式：积化和差公式：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不

36、了什么例例4化简：化简：解法1：从“角”入手，“复角”化为“单角”，利用“升幂公式”。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4化简：化简：解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式”。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4化简：化简：解法3：从“名”入手，“异名化同名”。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4化简：化简：解法4：从“形”入手，利用“配方法”。在日常生活中，随处都可以看到浪费

37、粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三角解题常规三角解题常规宏宏观观思思路路分析差异分析差异寻找联系寻找联系促进转化促进转化指角的、函数的、运算的差异指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一活用公式，差异转化，矛盾统一在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么微微观观直直觉觉1、以变角为主线，注意配凑和转化；、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；

38、见乘积，化和差；、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；想升幂；6、见、见sin2，想拆成，想拆成2sincos；7、见、见sincos或或9、见、见coscoscos，先运用，先运用sin+sin=pcos+cos=q8、见、见a sin+b cos，想化为，想化为 的形式的形式若不行，则化和差若不行，则化和差10、见、见cos+cos(+)+cos(+2 )，想乘想乘 想两边平方或和差化积想两边平方或和差化积在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费

39、，也许你认为浪费这一点点算不了什么总结：多种名称想切化弦；遇高次就降次消元；asinA+bcosA提系数转换；多角凑和差倍半可算；难的问题隐含要显现；任意变元可试特值算；求值问题缩角是关键；字母问题讨论想优先；非特殊角问题想特角算；周期问题化三个一再算；适时联想联想是关键！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【解题回顾解题回顾】找出非特殊角和特殊角之间找出非特殊角和特殊角之间的关系的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角式变形有规律即坚持并且三角式变形有规律即坚持“四化四化”：多角同角化多角

40、同角化异名同名化异名同名化切割弦化切割弦化特值特角互化特值特角互化在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么公式体系的推导：公式体系的推导：首先利用两点间的距离公式推导首先利用两点间的距离公式推导 ，然后利用换元及等价转化等思想方法，以然后利用换元及等价转化等思想方法，以 为中心推为中心推导公式体系。导公式体系。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么sin+cos=1在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什

41、么二【述评】二【述评】1 1、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以表达式的变换（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题

42、的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。2 2、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）分析综合（由因导果或执果索因）分析综合（由因导果或执果索因）实现转化。实现转化。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1、值域与最值问题利用有界性化二次函数型运用合一变换换元在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪

43、费这一点点算不了什么十七、求值域问题求值域问题求值域问题求值域问题：主要是将式子化成同角度同函数名同角度同函数名同角度同函数名同角度同函数名的形式，再利用正弦函数与余弦函数的有界性有界性有界性有界性求解。例10、求函数 的值域有时还要运用到 的关系在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、对称性问题3、奇偶性与周期性问题注意绝对值的影响化为单一三角函数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4、单调性与单调区间复后函数单调性注意负号的处理在日常生活中，随处都可以看到

44、浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5、图像变换问题相位变换、周期变换、振幅变换求函数解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4:已知函数已知函数 求：求：函数的最小正周期；函数的最小正周期；函数的单增区间；函数的单增区间；解：解：应用应用：化同一个角同一个函数：化同一个角同一个函数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4:已知函数已知函数 求：求：函数的最大值函数的最大值 及相应的及相应的x的值；的值；函数的图

45、象可以由函数函数的图象可以由函数 的图象经过怎的图象经过怎 样的变换得到。样的变换得到。解：解：图象向左平移图象向左平移 个单位个单位图象向上平移图象向上平移2个单位个单位 应用应用：化同一个角同一个函数：化同一个角同一个函数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例5：已知：已知解：解：应用：应用：化简求值化简求值在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例1 化简：解:原式=在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一

46、点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么练习题练习题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例2 (1)已知求证：(2)已知求(1)证明：化简得：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2)已知求解:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这

47、一点点算不了什么解：应用：化简求值应用：化简求值例例5.5.已知已知在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、解:由两边平方得:2由两边平方得:2由2+2得:即所以由2 2得:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也

48、许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么练习 已知求解:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例15.（06陕西理17）已知函数f(x)sin(2x )2sin2(x )(xR)（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取最大值的x的集合 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：f(x)sin(2x )1 cos2(x )sin

49、(2x )cos(2x )1 2 sin(2x )1函数f(x)的最小正周期T.使函数f(x)取最大值的x的集合为x|x=k ,k Z 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 2、已知函数、已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a(aR,a常数常数)。（1）求函数）求函数f(x)的最小正周期；的最小正周期；（2）若）若x-,时，时，f(x)的最大值为的最大值为1，求，求a的值。的值。解：（解：（1）f(x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a =sinx+cosx+a =2sin(x+)+a f(

50、x)最小正周期最小正周期T=2（2）x -,x+-,f(x)大大=2+a a=-1在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例3、求函数、求函数 的值域的值域.解：解：又-1sinx1原函数的值域为：变题：变题：已知函数已知函数 （a为常为常数，且数，且a0），求该函数的最小值），求该函数的最小值.当当-2 0时，时，当当 -2时，时，在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)