对流方程差分法ppt课件.pptx

《对流方程差分法ppt课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对流方程差分法ppt课件.pptx（35页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对流方程的差分法对流方程的差分法经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一、研究对象一、研究对象1.研究的对象研究的对象

2、 对流对流方程（一阶双曲型）方程（一阶双曲型）.易见，此方程有精确解易见，此方程有精确解事实上，由事实上，由 知，知，当当 时，就有时，就有 .即存在一族特征线即存在一族特征线经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用其中其中 为任意常数，为任意常数，使得在这样的特征线上有使得在这样的特征线上有 ，也就是，也就是 u 值为常数。值为常数。xt.O要获得在要获得在 x-t 平面上的

3、任意一点平面上的任意一点 处的函数值，处的函数值，只要将其沿特征线投影到只要将其沿特征线投影到 x 轴上，得到投影点轴上，得到投影点 ，则则 .经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用考虑一考虑一维双曲型对流方程维双曲型对流方程：1.区域剖分区域剖分(区域离散）区域离散）将原方程将原方程的上半平面求解的上半平面求解区域分割成矩形一致网格。区域分割成矩形一致网格。h 空间步长，空

4、间步长，时间步长，时间步长，网格网格节点，节点，经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.原方程弱化为节点处的离散方程原方程弱化为节点处的离散方程3.处理方程处理方程 中的偏导数中的偏导数对偏导数用不同的差商近似将建立不同的差分格式。对偏导数用不同的差商近似将建立不同的差分格式。下面进行具体的讨论。下面进行具体的讨论。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增

5、加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 ：关于时间、空间的：关于时间、空间的一阶一阶偏导数都用偏导数都用向前差商近似，向前差商近似，误差为误差为误差为误差为将上面的式子代入离散方程，可得将上面的式子代入离散方程，可得二、迎风格式（二、迎风格式（Upwind Scheme）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的

6、，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将数值解将数值解 代替精确解代替精确解 并忽略高阶小项，则并忽略高阶小项，则可以建立可以建立以下以下差分格式差分格式：可见上述格式的局部截断误差为可见上述格式的局部截断误差为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.差分格式的求解差分格式的求解 时间时间渐进显格式渐进显格式5.用谐

7、波分析方法利用增长因子来讨论稳定性。用谐波分析方法利用增长因子来讨论稳定性。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用设设 ，相当于对数值解进行变量分离，相当于对数值解进行变量分离，对数值格式稳定性的考察现在就转化为对振幅对数值格式稳定性的考察现在就转化为对振幅 是否是否会放大进行讨论。会放大进行讨论。如果如果 则则 G 就称为增长因子，且就称为增长因子，且是数值格式稳定的充要条

8、件，也称为是数值格式稳定的充要条件，也称为 Von Neumann条件。条件。现在研究上述格式的稳定性。现在研究上述格式的稳定性。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用易见，易见，从而从而为使数值格式稳定，则增长因子为使数值格式稳定，则增长因子 G 必须满足必须满足从而获得原格式的稳定性条件从而获得原格式的稳定性条件即即 且且 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费

9、者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用：关于时间、空间的一阶偏导数分别利用一阶向前：关于时间、空间的一阶偏导数分别利用一阶向前差商和一阶向后差商近似，即有差商和一阶向后差商近似，即有，误差为误差为误差为误差为再将上述近似代入离散方程，可得再将上述近似代入离散方程，可得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈

10、行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将数值解将数值解 代替精确解代替精确解 并忽略高阶小项，则并忽略高阶小项，则可以建立可以建立以下以下差分格式差分格式：可见上述格式的局部截断误差为可见上述格式的局部截断误差为上述格式还可简写为上述格式还可简写为也不难得到此格式的增长因子为也不难得到此格式的增长因子为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购

11、买商品的价款或接受服务的费用从而有稳定性条件要求从而有稳定性条件要求即即 且且 综上，我们有以下迎风格式：综上，我们有以下迎风格式：a 0时时且稳定性条件为且稳定性条件为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 这样我们可以根据原方程中系数这样我们可以根据原方程中系数 a的符号来选取恰的符号来选取恰当的步长及合适的数值格式。迎风格式实际上是在双当的步长及合适的数值格式。迎风格式

12、实际上是在双曲型方程离散的过程中将关于空间的偏导数用在特征曲型方程离散的过程中将关于空间的偏导数用在特征方向一侧的单边差商来代替，体现了原方程中波的传方向一侧的单边差商来代替，体现了原方程中波的传播方向，它们都是一阶格式。事实上，原方程含有未播方向，它们都是一阶格式。事实上，原方程含有未知函数关于空间的一阶偏导数项，也就是对流项，尽知函数关于空间的一阶偏导数项，也就是对流项，尽管在数学理论上对这个一阶偏导数进行离散是没有什管在数学理论上对这个一阶偏导数进行离散是没有什么特殊困难的，但在物理过程看却不是这样，因为对么特殊困难的，但在物理过程看却不是这样，因为对流作用带有强烈的方向性，所以对流项的

13、离散是否合流作用带有强烈的方向性，所以对流项的离散是否合适直接影响数值格式的性能，这也就说明了迎风格式适直接影响数值格式的性能，这也就说明了迎风格式之所以有效是因为使用了单边差商。之所以有效是因为使用了单边差商。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用：前面讨论了关于时间和空间的一阶偏导数均用：前面讨论了关于时间和空间的一阶偏导数均用一阶差商近似的情况，接下来容易想到可以对空间

14、一阶差商近似的情况，接下来容易想到可以对空间的偏导数采用二阶中心差分来近似，从而有的偏导数采用二阶中心差分来近似，从而有误差为误差为误差为误差为再将上述近似代入离散方程，可得再将上述近似代入离散方程，可得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将数值解将数值解 代替精确解代替精确解 并忽略高阶小项，则并忽略高阶小项，则可以建立可以建立以下以下差分格式差分格式：可见上述格式的局部

15、截断误差为可见上述格式的局部截断误差为上述格式还可简写为上述格式还可简写为也不难得到此格式的增长因子为也不难得到此格式的增长因子为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用显然对任何显然对任何 都有都有从而数值格式完全不稳定。从而数值格式完全不稳定。三、蛙跳格式（三、蛙跳格式（Leap-Frog Scheme）：对上述不稳定情形进行改进，容易想到对时间和：对上述不稳定情形进行改进

16、，容易想到对时间和空间的偏导数都采用二阶中心差分来近似，从而有空间的偏导数都采用二阶中心差分来近似，从而有误差为误差为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用误差为误差为再将上述近似代入离散方程，可得再将上述近似代入离散方程，可得将数值解将数值解 代替精确解代替精确解 并忽略高阶小项，则并忽略高阶小项，则可以建立可以建立以下以下蛙跳格式蛙跳格式：经营者提供商品或者服务有欺诈行为

17、的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用可见上述格式的局部截断误差为可见上述格式的局部截断误差为上述格式还可简写为三层格式上述格式还可简写为三层格式也不难得到此格式的增长因子为也不难得到此格式的增长因子为当且仅当当且仅当 时，时，从而从而Von Neumann条件满足，数值格式稳定。条件满足，数值格式稳定。蛙跳格式是个三层格式，不能自启动，需要与其它蛙跳格式是个三层格式，不能自启动，需要与其它方法（二阶方法）

18、联合。方法（二阶方法）联合。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用四、四、Lax-Friedrichs 格式格式：在情形：在情形中修改关于时间的一阶偏导数，将中修改关于时间的一阶偏导数，将 用其左右相邻两节点的算术平均来近似，用其左右相邻两节点的算术平均来近似，就是取就是取关于空间的一阶偏导数仍用二阶中心差分，即关于空间的一阶偏导数仍用二阶中心差分，即经营者提供商品或者服务有

19、欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用再将上述近似代入离散方程，可得再将上述近似代入离散方程，可得将数值解将数值解 代替精确解代替精确解 并忽略高阶小项，则并忽略高阶小项，则可以建立可以建立以下以下Lax-Friedrichs格式格式：易见，其局部截断误差为易见，其局部截断误差为 .经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接

20、受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用Lax-Friedrichs格式格式可以改写为可以改写为利用分解式可以得到其增长因子为利用分解式可以得到其增长因子为从而从而经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用可见，当可见，当 时就有时就有 ，从而数值格式稳定。，从而数值格式稳定。根

21、据局部截断误差根据局部截断误差 知，知，当当 取定为常数时，取定为常数时，Lax-Friedrichs是一阶格式。是一阶格式。下面介绍一个二阶格式，通过泰勒公式及原方程下面介绍一个二阶格式，通过泰勒公式及原方程变形而获得。变形而获得。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用五、五、Lax-Wendroff 格式格式再根据泰勒公式就有再根据泰勒公式就有上式中一阶、二阶偏导都用中心

22、差分来近似，上式中一阶、二阶偏导都用中心差分来近似，经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将数值解将数值解 代替精确解代替精确解 并忽略高阶小项，则并忽略高阶小项，则可以建立可以建立以下以下Lax-Wendroff格式格式：易见，其局部截断误差为易见，其局部截断误差为 .Lax-Wendroff格式可简记为：格式可简记为：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要

23、求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用利用分解式利用分解式 容易得到其增长因子为容易得到其增长因子为稳定性要求稳定性要求 从而获得从而获得Lax-Wendroff格式的稳定性条件格式的稳定性条件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品

24、的价款或接受服务的费用 最后再介绍一个二阶的最后再介绍一个二阶的Beam-Warming格式，本质格式，本质上它充分考虑了迎风格式的上它充分考虑了迎风格式的“迎风迎风”特点，同时借用特点，同时借用Lax-Wendroff格式的设计思想提高了精度。格式的设计思想提高了精度。六、六、Beam-Warming格式格式先讨论先讨论 a 0 的情况。的情况。取其中的一阶偏导为迎风的形式且兼顾高阶项，即取其中的一阶偏导为迎风的形式且兼顾高阶项，即经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为

25、的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用同样地，再取迎风的二阶偏导，即同样地，再取迎风的二阶偏导，即把上面两式都代入原来的把上面两式都代入原来的(*)式，就有式，就有经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用将数值解将数值解 代替精确解代替精确解 并忽略高阶小项，则并忽略高阶小项，则可以建立可以建立以下以下a 0 时的时的

26、Beam-Warming格式：格式：其稳定性条件为其稳定性条件为 .经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用编程实现编程实现的基本环节的基本环节 第一步，参数设置，如剖分数第一步，参数设置，如剖分数，节点，节点坐标，坐标，a,已知函已知函 数数 (x),时间、空间步长等。时间、空间步长等。第二步，第二步，初始条件初始条件确定确定第三步，第三步，循环循环：用时间渐进显格式求解各时

27、间层信息。：用时间渐进显格式求解各时间层信息。第四步，第四步，输出输出经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用七、七、数值算例数值算例 例例.数值求解一阶对流方程初值问题数值求解一阶对流方程初值问题其中，初值其中，初值 在在 x=0 处间断。处间断。取空间步长和时间步长分别为取空间步长和时间步长分别为 .且对应上述空间、时间步长的选取易得且对应上述空间、时间步长的选取易得 r=

28、0.5.给出时刻给出时刻 t=0.5 时时 区间区间0,1内数值解的图像。内数值解的图像。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用精确解为：精确解为：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者

29、购买商品的价款或接受服务的费用 迎风格式、迎风格式、Lax-Friedrichs格式、格式、Lax-Wendroff格式、格式、Beam-Warming 格式格式数数值值解解图图像像经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用八、隐格式的设计八、隐格式的设计 前面介绍的若干数值格式都是显格式，从而必须前面介绍的若干数值格式都是显格式，从而必须附带稳定性条件成立才能保证数值解最终收敛到附带稳定性条件成立才能保证数值解最终收敛到精确解。而事实上隐格式通常稳定性较好，所以精确解。而事实上隐格式通常稳定性较好，所以可以考虑设计隐格式来求解。可以考虑设计隐格式来求解。修改关于时间的一阶偏导，向前差商换为向后差商！修改关于时间的一阶偏导，向前差商换为向后差商！