DSP7数字信号处理第七章.ppt

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1、电子科技大学计算机科学与工程学院第七章第七章FIR DF有限长数字滤波器有限长数字滤波器的设计的设计电子科技大学计算机科学与工程学院7-1引言一、IIRDF的特点1、DF的设计依托AF的设计，有图表可查，方便简单。2、相位的非线性H（Z）的频响：其中，是幅度函数，是相位函数。通常，与不是呈线性的，这是IIRfilter（无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道具有线性相位特性。3、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。电子科技大学计算机科学与工程学院二、FIRDF的特点1、单位抽样响应h（n）是有限长的，因此FIRDF一定是稳定的。2、经延时，h（n）

2、总可变成因果序列，所以FIRDF总可以由因果系统实现。3、h（n）为有限长，可以用FFT实现FIRDF。4、FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。5、FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的应用，非线性的FIR一般不作研究。电子科技大学计算机科学与工程学院7-2线性相位FIRDF的特点一、线性相位的条件如果FIRDF的单位抽样响应h（n）为实数，而且满足偶对称h（n）=h（N-1-n），或满足奇对称h（n）=-h（N-1-n），其对称中心在处，可证明filter就具有准确的线性相位。N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIRDF，如下所述。电子科技大学计算机

3、科学与工程学院1、N为奇数的偶对称例如N=11，对称中心为n012345678910电子科技大学计算机科学与工程学院2、N为偶数时的偶对称例如N=10，对称中心为n0123456789电子科技大学计算机科学与工程学院3、N为奇数时的奇对称例如，N=11，对称中心为n012345678910电子科技大学计算机科学与工程学院4、N为偶数时的奇对称例如，N=10，对称中心为4.5，n012 3456789电子科技大学计算机科学与工程学院二、线性相位的特点为幅度函数，是一个纯实数，是相位函数，下面分为奇、偶对称两种情况讨论电子科技大学计算机科学与工程学院1、h（n）为偶对称情况也就是电子科技大学计算机

4、科学与工程学院上式两边同时加H（Z），再用2去除得：电子科技大学计算机科学与工程学院电子科技大学计算机科学与工程学院所以，这时的幅度函数和相位函数如下所示:幅度函数为相位函数为显然与呈正比，是严格的线性相位。电子科技大学计算机科学与工程学院0电子科技大学计算机科学与工程学院2、h（n）为奇对称的情况当h（n）=-h（N-1-n）时，可以通过类似的推导，得到所以，其幅度函数和相位函数分别为电子科技大学计算机科学与工程学院可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。0电子科技大

5、学计算机科学与工程学院1、N为奇数，h（n）为偶对称的情况三、幅度函数的特点电子科技大学计算机科学与工程学院电子科技大学计算机科学与工程学院电子科技大学计算机科学与工程学院可见，对呈现偶对称。电子科技大学计算机科学与工程学院2、N为偶数，h（n）为偶对称的情况可见，对呈奇对称。电子科技大学计算机科学与工程学院3、N为奇数，h（n）为奇对称的情况可见，时，对呈奇对称。电子科技大学计算机科学与工程学院4、N为偶数，h（n）为奇对称的情况可见，时，对呈奇对称，而对呈偶对称。这四种线性相位FIRfilter的特性归纳在表7-1中（P341）。电子科技大学计算机科学与工程学院四、系统函数H（Z）的零点分

6、布情况1、零点的分布原则所以，如果是零点，则也一定是H（Z）的零点，h（n）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即也一定是H（Z）的零点，也一定是H（Z）的零点。电子科技大学计算机科学与工程学院2、零点的位置（1）既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，10电子科技大学计算机科学与工程学院(2)不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的倒数就是它们本身，如01电子科技大学计算机科学与工程学院（3）在实轴上，不在单位圆上，实数零点，没复共轭；只有倒数。例如，01电子科技大学计算机科学与工程学院（4）既在实轴上也在单位圆上。此时，只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1，或位于Z=

7、-1。N为偶数时的偶对称为其零点；N为偶数奇对称H（0）=0，有Z=1零点；N为奇数奇对称有零点Z=1，和Z=-1。电子科技大学计算机科学与工程学院7-3窗函数设计法一、设计方法1、设计思想先给定理想filter的频响，所要求设计一个FIR的filter的频响为，使逼近2、设计过程设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应，然后加时间窗对截断，以求得FIRfilter的单位抽样响应h(n)。电子科技大学计算机科学与工程学院例如，低通filter0是矩形的，则一定是无限长的且是非因果的。电子科技大学计算机科学与工程学院二、窗函数对频响的影响1、理想LF的单位抽样响应理想

8、低通filter的频响为100为群延时电子科技大学计算机科学与工程学院因为其相位，所以是偶对称，其对称中心为，这是因为时，即为其最大，故为其对称中心。又是无限长的非因果序列电子科技大学计算机科学与工程学院nn0.1电子科技大学计算机科学与工程学院2、加矩形窗加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口看，称为窗口函数。其他n值因h（n）是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为，所以h（n）可写作h（n）=n为其他值电子科技大学计算机科学与工程学院3、h（n）的频响h（n）的频响可通过傅式变换求得，为了便于与的频响相比较，利用卷积定理(1)对于矩形窗的频响电子科技大学计算机科学与工

9、程学院其中，为幅度函数，为相位函数。（2）对于理想LF的频响其中，为幅度函数，为相位函数。电子科技大学计算机科学与工程学院（3）h（n）的频响其中，为幅度函数，为相位函数。4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:电子科技大学计算机科学与工程学院（1）时，也即在到全部面积的积分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。0电子科技大学计算机科学与工程学院0电子科技大学计算机科学与工程学院（2）时，正好与的一半相重叠。这时有。电子科技大学计算机科学与工程学院(3)时，的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。（4）时，主瓣全部在通带外，时，主瓣全部在通带外，出现负

10、的肩峰。出现负的肩峰。电子科技大学计算机科学与工程学院（5）当时，随增加，左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积也随着的旁瓣在通带内的面积变化而变化，故将围绕着零值而波动。电子科技大学计算机科学与工程学院(6)当时，的右边旁瓣将进入的通带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动。100.5电子科技大学计算机科学与工程学院5、几点结论（1）加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度（2）在处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。（3）吉布斯（Gibbs）效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改

11、变的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是8.95%，这种现象称作吉布斯效应。电子科技大学计算机科学与工程学院三、各种窗函数1、基本概念（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。2、矩形窗时域表达式：频域表达式（频谱）：幅度函数：电子科技大学计算机科学与工程学院3、三角形（Bartlett）窗时域表达式

12、：10 1 2 3 4 电子科技大学计算机科学与工程学院频谱：第一对零点为，即，所以主瓣宽度，比矩形宽一倍。电子科技大学计算机科学与工程学院4、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将变形为又由于其中又考虑到，这里电子科技大学计算机科学与工程学院所以有当时，窗谱分析可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为电子科技大学计算机科学与工程学院汉宁窗是时，特例电子科技大学计算机科学与工程学院5、海明窗，又称作改进升余弦窗其窗函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为其主瓣宽度仍为，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1%有99.963%的能量集中在主瓣内。海明窗是下一类窗的

13、特例电子科技大学计算机科学与工程学院6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为其主瓣宽度为，是矩形窗的三倍。电子科技大学计算机科学与工程学院7、五种窗函数的比较（1）时域窗布拉克曼三角矩形海明（2）各个窗的幅度函数，如P.200，图6-10，注意图中是dB表示的。（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）如P201，图6-11所示。电子科技大学计算机科学与工程学院四、窗函数法的设计1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数基本参数表（P202表3）确定窗的形式及N的大小（4）最后求及2、设计举例例

14、：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR低通滤波器，具体要求：其他并画出相应的频响特性电子科技大学计算机科学与工程学院解（1）由于是一理想LF，所以可以得出（2）确定N由于相位函数，所以呈偶对称，其对称中心为，因此（3）加矩形窗则有电子科技大学计算机科学与工程学院可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心电子科技大学计算机科学与工程学院n1224由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以电子科技大学计算机科学与工程学院例如H（0）=0.94789，可以计算的值，画如下图电子科技大学计算机科学与工程学院（4）加汉宁窗由于可以求出序列的各点值通过可求出加窗后的h（n）电子科技大学计算机科

15、学与工程学院相应幅度函数可用下式求得：电子科技大学计算机科学与工程学院如H（0）=0.98460，图如下电子科技大学计算机科学与工程学院7-4、凯泽（、凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计）窗及其滤波器设计上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。一、凯泽窗凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗函数。凯泽窗定义为：1定义电子科技大学计算机科学与工程学院其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，是一个可自由选择的参数。2.特点

16、电子科技大学计算机科学与工程学院可同时调整主瓣宽度与旁瓣可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，越大，窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣相应增加；相应增加；相当于矩形窗相当于矩形窗;通常选择通常选择，它们相当于旁瓣与主，它们相当于旁瓣与主瓣幅度为瓣幅度为 3.1%-0.047%；凯泽窗随凯泽窗随 变化的曲线如下图：变化的曲线如下图：电子科技大学计算机科学与工程学院注：第一类零阶修正贝塞尔函数为电子科技大学计算机科学与工程学院由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,即即3.凯泽经验公式凯泽经验公式该公式可使该公式可使filter设计人员根据设计人员根据filter的设计指标的设计指标

17、,估算出估算出值和值和 N 值。值。且，且，电子科技大学计算机科学与工程学院：通带截止频率，由：通带截止频率，由 定定;：止带截止频率，由：止带截止频率，由 定定.过渡带宽度过渡带宽度电子科技大学计算机科学与工程学院电子科技大学计算机科学与工程学院4.设计举例设计举例利用凯泽窗设计一利用凯泽窗设计一FIR低通低通filter，要求，要求解：解：电子科技大学计算机科学与工程学院取取38将将N=38,=5.653代入代入 表达式，得表达式，得电子科技大学计算机科学与工程学院0 37 0.0 1.000 0.0204 0.021 36 1.8336 2.030 0.0415 0.042 35 2.5

18、568 3.345 0.0704 0.078 29 4.6548 19.96 0.4082 0.413 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.155 32 3.8656 10.11 0.2067 0.216 31 4.1678 13.10 0.2679 0.297 30 4.4286 16.44 0.3362 0.34电子科技大学计算机科学与工程学院17 20 5.6350 48.03 0.9822 0.989 28 4.8512 23.83 0.4873 0.4910 27 5.0215 27.73 0.5671 0.57

19、11 26 5.1682 31.72 0.6489 0.6512 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.8014 23 5.4838 41.93 0.8575 0.8615 22 5.5515 44.67 0.9135 0.9116 21 5.6017 46.74 0.9558 0.9618 19 5.6515 48.90 1.0 1.00电子科技大学计算机科学与工程学院048121618192529333721电子科技大学计算机科学与工程学院n012345637363534333231-0.01220.01290.01

20、39-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.070.110.150.210.27-0.000240.0005160.00096-0.0016-0.00230.00350.0049电子科技大学计算机科学与工程学院78910111213143029282726252423-0.01965-0.021520.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.410.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.043电子科技大

21、学计算机科学与工程学院1516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45的图形如下所示的图形如下所示电子科技大学计算机科学与工程学院电子科技大学计算机科学与工程学院7-5、频率取样设计法、频率取样设计法一、设计思想一、设计思想窗函数设计法是从时域出发，把理想的窗函数设计法是从时域出发，把理想的 用一定用一定形状的窗函数截取成有限长的形状的窗函数截取成有限长的 ，以，以 来近似来近似 从而使频响从而使频响 近似理想频响近似理想频响 。频率取样法是从频域出发，对理想的频响频率取样法是从频

22、域出发，对理想的频响 进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响，即：，即：，电子科技大学计算机科学与工程学院等间隔取样等间隔取样并且并且二、利用二、利用N个频域采样值重构个频域采样值重构FIR的系统函数与频响的系统函数与频响1.重构重构FIR的的单位抽样响应的的单位抽样响应h(n)根据频域抽样理论（根据频域抽样理论（p99），由），由N个频域采样点个频域采样点可以唯一确定可以唯一确定h(n),即对即对 H(k)进行进行IDFT电子科技大学计算机科学与工程学院2.重构系统函数重构系统函数H(Z)电子科技大学计算机科学与工程学院3.FIR的频响的

23、频响将将 代入代入 表达式可得表达式可得其中其中,为大家所知的内插函数为大家所知的内插函数.电子科技大学计算机科学与工程学院分析分析 可知，当可知，当 时（采样点）时（采样点）有：有：这说明，重构的频响这说明，重构的频响 ，在采样上严格等于，在采样上严格等于H(k),而在采样点之间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。而在采样点之间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。三、线性相位的约束条件三、线性相位的约束条件以以h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数的情况进行分析为奇数的情况进行分析.1.FIR的频响具有线性相位的一般表达式的频响具有线性相位的一般表达式电子科技大学计算机科学与工程学院当当h

24、(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数时，则为奇数时，则（P191，表，表6-1）而且幅度函数而且幅度函数 应为偶对称，即应为偶对称，即2.采样值采样值H(k)具有线性相位的约束具有线性相位的约束电子科技大学计算机科学与工程学院其中，其中，表示采样值的模（纯标量），表示采样值的模（纯标量），表示表示其相角。因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：其相角。因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：而且，而且，必须满足偶对称，即必须满足偶对称，即电子科技大学计算机科学与工程学院四四.设计步骤设计步骤1.根据指标要求，根据指标要求，画出频率采样序列的图形；画出频率采样序列的图形；2.依据依据 的对称特点，

25、可以使问题得以简化；的对称特点，可以使问题得以简化；3.根据线性相位的约束条件，求出根据线性相位的约束条件，求出 ；4.将将 代入代入FIR的频响表达式；的频响表达式；5.由由 的表达式画出实际的表达式画出实际 频响。频响。电子科技大学计算机科学与工程学院四四.设计举例设计举例例例 试用频率采样法，设计一个具有线性相位试用频率采样法，设计一个具有线性相位的低通的低通FIR数字数字filter，其理想频率特性为：，其理想频率特性为：已知已知 ，采样点，采样点N=33.电子科技大学计算机科学与工程学院由于由于h(n)为偶对称，且为偶对称，且 N=33为奇数，所以为奇数，所以 对于对于是偶对称。所以上图可画一半（到是偶对称。所以上图可画一半（到 ）截止频率截止频率，即，即解解：电子科技大学计算机科学与工程学院相位约束条件：相位约束条件：而而 为为将将 代入代入FIR的频响，得的频响，得电子科技大学计算机科学与工程学院考虑到考虑到 时，时，所以将负频部分加进去，所以将负频部分加进去有：有：电子科技大学计算机科学与工程学院的图形如下所示：的图形如下所示：0电子科技大学计算机科学与工程学院作业：教材第388页，习题1、3选作6、8、9