DSP第6章数字滤波器基本结构.ppt

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1、一、什么是数字滤波器一、什么是数字滤波器顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用；即DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。它的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。第一节第一节 离散时间系统结构的表示方法离散时间系统结构的表示方法 第六章第六章 数字滤波器结构数字滤波器结构DF（Digital Filter)一、IIR DF特点1.单位冲激响应h(n)是无限长的n2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0|Z|)有极点存在。3.结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上是递归型的。4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位圆内。第二

2、节 IIR DF的基本结构二、IIR DF系统函数及差分方程若一系统差分方程为：则系统函数可表示为：以下我们讨论M=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。(3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。x(n)a1a2Z-1Z-1a N-1aNZ-1Z-1b0b1b2bMy(n)例子已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反馈部分系数符号

3、作业直接 I型直接 II型1952、级联型结构(1)系统函数因式分解 一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分子、分母进行因式分解：(2)系统函数系数分析(3)基本二阶节的级联结构(4)滤波器的基本二阶节 所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：一般用直接II型（正准型、典范型表示）x(n)1ka2kZ-1Z-1a1k2ky(n)(5)用二阶节级联表示的滤波器系统整个滤波器则是多个二阶节级联x(n)11a21Z-1Z-1a112112a22Z-1Z-1a12221Ma2MZ-1Z-

4、1a1M2My(n).从级联结构中看出：a)它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。b)调整1i,2i,只单独调整滤波器第i对零点，而不影响其它零点。调整a1i,a2i,只单独调整滤波器第i对极点，而不影响其它极点。级联结构特点：(a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。(b)同一个系统函数H(Z)，分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同，就得到不同的二阶节。实际工作时，由于二进制数的字长有一定限度，因此不同的排列，运算误差就会各不相同。如何才能得到最好的排列，以便运算误差最小，这是最优化问题。(c)级联的各基本节间要有电平

5、的放大或缩小，以使级间输出变量不要太大或太小。级间输出变量大大，易使数字滤波器在运算过程中产生溢出。级间输出变量大小，则输出端的信号噪声比会太小。x(n)11a21Z-1Z-1a112112a22Z-1Z-1a12221Ma2MZ-1Z-1a1M2My(n).例子:设IIR数字滤波器系统函数为：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)3、并联型 (1)系统函数的部分分式展开将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。(2)并联型基本二阶节结构并联型的基本二阶节的形式：其

6、中：要求分子比分母小一阶x(n)0k2kZ-1Z-11k1ky(n)注意！(1)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。(2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。(3)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的。(3)基本二阶节的并联结构AN1Z-1a1x(n)aN111Z-1Z-1A1 11y(n)A0.01211N22N2 0N2 1N2其实现结构为：.特点：(1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。(2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一

7、支路a1误差为1，但总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).（5）例子其并联结构为：x(n)Z-1Z-114y(n)161-61Z-1作业本节总结IIR DR的三种结构及其优缺点一、直接型二、级联型三、并联型一、直接I结构的特点此结构的特点为：(1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。简单直观。(2)共需(N+M)级延时单元。(3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或

8、产生较大误差。x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1a N-1aNZ-1Z-1级联结构特点：(a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。(b)同一个系统函数H(Z)，分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同，就得到不同的二阶节。实际工作时，由于二进制数的字长有一定限度，因此不同的排列，运算误差就会各不相同。如何才能得到最好的排列，以便运算误差最小，这是最优化问题。(c)级联的各基本节间要有电平的放大或缩小，以使级间输出变量不要太大或太小。级间输出变量大大，易使数字滤波器在运算过程中产生溢出。级间输出变量大小，则

9、输出端的信号噪声比会太小。x(n)11a21Z-1Z-1a112112a22Z-1Z-1a12221Ma2MZ-1Z-1a1M2My(n).二、级联型三、并联结构AN1Z-1a1x(n)aN111Z-1Z-1A1 11y(n)A0.01211N22N2 0N2 1N2其实现结构为：.特点：(1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。(2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).一、FIR DF的特点(1)系统的单位冲激响

10、应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。(2)系统函数|H(z)|在|z|0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。第三节 FIR DF的结构（有限长冲激响应滤波器）二、FIR的系统函数及差分方程长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：三、FIR滤波器实现基本结构1.FIR的横截型结构（直接型）2.FIR的级联型结构3.FIR的频率抽样型结构1、FIR直接型结构（卷积型、横截型）(1)流图h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z

11、-1x(n)y(n)倒下x(n)h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)2、级联型结构（1）流图 当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形式：即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。x(n)11Z-1Z-12112Z-1Z-1221N/2Z-1Z-12N/2y(n).01020N/211）由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。2）由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。作业3、频率抽样型结构(1)频率抽样型结构的导入若FIR DF 的冲激响应为有限长（N点）

12、序列h(n),则有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)DFT取主值序列N等分抽样单位圆上频响Z变换内插所以，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用内插公式：来表示系统函数。（2）频率抽样型滤波器结构 得到FIR滤波器提供另一种结构：频率抽样型结构。它是由两部分级联而成。其中：级联中的第一部分为梳状滤波器：第二部分由N个谐振器组成的谐振柜：(3)梳状滤波器 (a)零、极点特性 它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位圆上有N个等分的零点、无极点。(b)幅频特性及流图频率响应为：w|H(ejw)|0.幅频曲线：1x(n)y(n)-Z-N梳状滤波器信号流图：（4）谐振器谐振器：是一

13、个阶网络。Z-1H(k)Hk(z)谐振器的零极点：此为一阶网络，有一极点：(5)谐振柜谐振柜：它是由N个谐振器并联而成的。这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵消，从而使这个频率（w=2k/N)上的频率响应等于H(k).将两部分级联起来，得到频率抽样结构。（6）频率抽样型结构流图Z-1H(0)Z-1H(1)Z-1H(2)Z-1H(N-1)-Z-Nx(n)y(n).优点：(1)它的系数H(k)直接就是滤波器在 处的频率响应。因此，控制滤波器的频率响应是很直接的。结构有两个主要缺点：(a)所有的相乘系数及H(k)都是复数，应将它们先化成二阶的实数，这样乘起来较复杂，增加乘法次数，

14、存储量。(b)所有谐振器的极点都是在单位园上,由 决定。考虑到系数量化的影响，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消。（零点由延时单元决定，不受量化的影响）系统就不稳定了。优点：2）只要h(n)相同长度，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N各一节网络部分结构完全相同，只有各支路增益H（k)不同（7）修正的频率抽样结构 （a）产生的原因 为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位园内某一靠近单位圆、半径为r(r1)的园上，同时梳状滤波器的零点也移到r圆上。（即将频率采样由单位圆移到修正半径r的圆上）(b)修正的频率抽样结构的

15、系统函数 为了使系数是实数，可将共 轭根合并，这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴成对称分布。(c)修正的频率抽样结构的系统 极点分布0|z|=rN=8(d)修正频率结构的复根部分：第k和第N-k个谐振器合并为一个实系数的二阶网络因为h(n)是实数，它的DFT也是圆周共轭对称的。因此，可以将第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络。(e)有限Q的谐振器 第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络的极点在单位圆内，而不是在单位圆上，因而从频率响应的几何解释可知，它相当于一个有限Q的谐振器。其谐振频率为：(f)修正频率抽样结构的谐振器的实根部分除了共轭复根外，还有实根。当N=偶数时，有一对实根，它们分

16、别为 两点。当N=奇数时，只有一个实根z=r(k=0），即只有H0(z).r-r(g)修正频率抽样结构流图（N=偶数）r-rx(n)y(n).(h)修正频率抽样结构流图（N=奇数）rx(n)y(n).(i)修正频率抽样结构的特点（1）结构有递归型部分谐振柜又有非递归部分-梳状滤波器。（2）它的零、极点数目只取决于单位抽样响应的长度，因而单位冲激响应长度相同，利用同一梳状滤波器、同一结构而只有加权系数0k,1k,H(0),H(N/2)不同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器（3）其结构可以高度模块化，适用于时分复用。(j)频率抽样结构的应用范围 (1)如果多数频率特性的采样值H(k)为零，例：窄带

17、低通情况下，这时谐振器中剩下少数几个所需要的谐振器，因而可以比直接型少用乘法器，但存储器还是比直接型多用一些。（2）可以共同使用多个并列的滤波器。例：信号频谱分析中，要求同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时可采用频率采样结构的滤波器，大家共用一个梳状滤波器及谐振柜，只是将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需的滤波器。这样结构具有很大的经济性。（3）常用于窄带滤波，不适于宽带滤波。4.快速卷积结构（1）原理设FIR DF的单位冲激响应h(n)的非零值长度为M，输入x(n)的非零值长度为N。则输出y(n)=x(n)*h(n),且长度L=N+M-1若将x(n)补零加长至L，补L-N个零点，将

18、h(n)补零加长至L，补L-M个零点。这样进行L点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)线卷积。其中：而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算，即可得到FIR的快速卷积结构。（2）快速 卷积结构框图L点DFTL点DFTL点IDFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)当N，M中够大时，比直接计算线性卷积快多了。5、线性相位FIR型结构（1）定义所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。（2）线性相位FIR DF具有特性h(n)是因果的，为实数，且满足对称性。即满足约束条件：h(n)=h(N-1-n)其中:h(n)为偶对称时，h(n)=h(N-1-n);h(n)为奇对称时，h(n)=

19、-h(N-1-n);下面我们针对h(n)奇、偶进行讨论。（3）h(n)为偶偶、奇奇对称，N=偶数偶数时(a)FIR的线性相位的特性令n=N-1-n代入用n=n应用线性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)(b)线性相位FIR的结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-1).h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2).Z-1Z-1Z-1Z-1（4）h(n)为奇奇、偶偶对称，N=奇数奇数时(a)FIR的线性相位的特性当N=奇数时，有一中间项h(N-1)/2)无法合并，需提出：(b)线性相位FIR的

20、结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3).h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),h(N-3)/2)=h(N-1)/2共有（N-3）/2项Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1（5）总结：h(n)为偶对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性同理，当h(n)=偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),可求出:N=奇数时，（6）h(n)为奇对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性同理，当h(n)=奇对称时，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:N=奇数时，总结本章主要的内容1.IIR 滤波器实现的基本结构2.FIR滤波器实现的

21、基本结构3.一种特殊的滤波器结构实现形式：格型滤波器结构.1.IIR DF基本结构IIR DF类型有：直接型直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）级联型并联型直接I型直接I型流图IIR DF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现。）x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1a N-1aNZ-1Z-1方程看出：y(n)由两部分组成：第一部分 是一个对输入x(n)的M节延时链结构。即每个延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。第二部分 是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈

22、网络。直接II型的结构流图x(n)a1a2Z-1Z-1a N-1aNZ-1Z-1b0b1b2bMy(n)由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。这就是直接II型的结构流图。级联型级联型的基本二阶节 所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：一般用直接II型（正准型、典范型表示）x(n)1ia2iZ-1Z-1a1i2iy(n)级联型二阶节表示的滤波器系统整个滤波器则是多个二阶节级联x(n)11a21Z-1Z-1a112112a22Z-1Z-1a12221Ma2MZ-1Z

23、-1a1M2My(n).并联型将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。并联型基本二阶节结构并联型的基本二阶节的形式：其中：要求分子比分母小一阶x(n)0a2Z-1Z-1a11y(n)二、FIR滤波器长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：FIR滤波器实现基本结构（1）FIR的横截型结构（直接型）（2）FIR的级联型结构（3）FIR的线性型 结构（4）FIR的频率抽样型结构（5）FIR的轨迹卷积型结构1.FIR直接型结构（卷积型、横截型）h(0)h(1)h(2)h(N-

24、1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)2.级联型结构当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形成：即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。x(n)11Z-1Z-12112Z-1Z-1221N/2Z-1Z-12N/2y(n).01020N/213.线性相位FIR型结构所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。h(n)为偶数，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性同理，当h(n)=偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),可求出:N=奇数时，h

25、(n)为奇数，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性当h(n)=奇对称时，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:N=奇数时，4.快速卷积结构设FIR DF的单位冲激响应h(n)的非零值长度为M，输入x(n)的非零值长度为N。则输出y(n)=x(n)*h(n),且长度L=N+M-1若将x(n)补零加长至L，补L-N个零点，将h(n)补零加长至L，补L-M个零点。这样进行L点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)线卷积。其中：而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算，即可得到FIR的快速卷积结构。（2）快速 卷积结构框图L点DFTL点DFTL点DFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)当N，M中够大时

26、，比直接计算线性卷积快多了。5、频率抽样型结构若FIR DF 的冲激响应为有限长（N点）序列h(n),则有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)DFT取主值序列N等分抽样单位园上频响Z变换内插所以，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用内插公式：来表示系统函数。(3)梳状滤波器(a)零、极点特性它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位园上有N个等分的零点、无极点。由看出：（6）频率抽样型结构流图Z-1W-kH(0)Z-1W-kH(1)Z-1W-kH(2)Z-1W-kH(N-1)-Z-Nx(n)y(n)一、全零点（IIR）格型滤波器一个M阶的FIR滤波器的系统函数H(z)可写成如下形式：全零点格型滤波器网络结构二、全极点（IIR）格型滤波器IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。设一个全极点系统函数由下式给定：全极点（IIR）滤波器格型结构：