湖南省永州市新田县第一中学高中数学 23 反证法课件 理 新人教A版选修2-2.ppt

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1、复习复习直接证明直接证明是从是从命题的条件或结论命题的条件或结论出发，根据已知的定义、出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。公理、定理，直接推理证明结论的真实性。常用的直接证明方法有常用的直接证明方法有综合法综合法与与分析法分析法。综合法综合法的思路是的思路是由因导果由因导果；分析法分析法的思路是的思路是执果索因执果索因。在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。先用分析法寻求解题思路，再用综合法解来使用。先用分析法寻求解题思路，再用综合法解答或证明；有时要分析法和综合法结合起来交替使答或证明；有时要分析法和综合法结合

2、起来交替使用。用。古时候有个人叫王戎，古时候有个人叫王戎，7岁那年岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：有王戎站着没动。他说：“李子是李子是苦的苦的,我不吃。我不吃。”小伙伴摘来一尝，小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。李子果然苦的没法吃。路边苦李路边苦李 小故事小小伙伴伙伴问王戎问王戎:“这就怪了这就怪了!你又你又没有吃没有吃,怎么知道李子是苦的啊怎么知道李子是苦的啊?”王戎说王戎说:“如果李子是甜的如果李子是甜的,树长在路

3、边树长在路边,李子早就没了！李子早就没了！李子现在还那么多李子现在还那么多,所以啊所以啊,肯定李子是苦的，不好吃肯定李子是苦的，不好吃!”间接证明间接证明不是从正面证明命题的真实性，而是证明命不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。到证明的目的。反证法反证法就是一种常用的间接证明方法。就是一种常用的间接证明方法。证明：在一个三角形中至少证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于有一个角不小于60.引例引例已知：已知：A，B，C是是ABC的内角的内角.求证：求证：A，B，C中至少有一个中至少有一

4、个 不小于不小于60已知：已知：A，B，C是是ABC的内角的内角.求证：求证：A，B，C中至少有一个中至少有一个 不小于不小于60证明：证明：证明：证明：假设假设假设假设 的三个内角的三个内角的三个内角的三个内角A A，B B，C C都小于都小于都小于都小于6060，所以所以所以所以 A A 6060，B B 60 60，C C 6060 A+A+B+B+C180C180 这与这与这与这与 相矛盾相矛盾相矛盾相矛盾.三角形内角和等于三角形内角和等于180180 不能成立，所求证的结论成立不能成立，所求证的结论成立.假设假设反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设原命题不成立。假设原命题不

5、成立。(2)从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。反设反设归谬归谬结论结论归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛）与已知条件矛盾；盾；（2 2）与公理、定理、定义矛）与公理、定理、定义矛盾；盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。例例1 1：反馈练习反馈练习1 1、写出用、写出用“反证法反证法”证明下列命题的第证明下列命题的第一步一步“假设假设”.(1)(1)互补的两个角不能都大于互补的两个角不能都大于90.90.(2)ABC(2)ABC中中,最多有一个钝

6、角最多有一个钝角 假设互补的两个角都大于假设互补的两个角都大于90.假设假设ABC中中,至少有两个钝角至少有两个钝角2 2、“已知已知:ABC:ABC中中,AB=AC.,AB=AC.求证求证:B90”.:B180.B+C+A180.这与三角形内角和这与三角形内角和定理相矛盾定理相矛盾.(2)(2)所以所以B90.(3)B90.(3)假设假设B90.B90.(4)(4)那么那么,由由AB=AC,AB=AC,得得B=C90.B=C90.即即B+C180.B+C180.这四个步骤正确的顺序应是这四个步骤正确的顺序应是()()A.(1)(2)(3)(4)A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)(2

7、)(1)B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)C.(3)(4)(1)(2)D.(4)(3)(2)(1)D.(4)(3)(2)(1)反馈练习反馈练习C 例例2.2.求证：求证：是无理数。是无理数。证明：圆的两条不是直径的相交弦证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.例例 3 3证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分平分，连结连结 AD、BD、BC、AC,DPOBAC因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四

8、边形点平分，所以四边形ABCD是平行四边形是平行四边形所以所以因为因为 ABCD为圆内接四边形为圆内接四边形所以所以因此因此所以，对角线所以，对角线AB、CD均为直径，均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：圆的两条不是直径的相交弦证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 3 3由于由于P点点一定不是圆心一定不是圆心O，连结连结O

9、P，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二证法二OPAB，OPCD，演练反馈演练反馈2 2、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三

10、角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。(1)如果点D在 之内，根据假设，DABC都为锐角三角形所以这与一个周角为这与一个周角为360矛盾。矛盾。演练反馈演练反馈2 2、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为

11、顶点的三角形不可能都是锐角三角形(1)如果点D在 之外，根据假设，ADBC都是锐角三角形，即这与四边形内角和矛盾。这与四边形内角和矛盾。所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。即这些三角形不可能都为锐角三角形。即这些三角形不可能都为锐角三角形。总结提炼总结提炼1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么?用反证法在归谬中所导出的矛盾可以用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与已知条件矛盾是与已知条件矛盾,与假设矛盾与假设矛盾,与已知与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等反设反设 归谬归谬 结论结论2.用反证法证题用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些?应用反证法的情形：应用反证法的情形：反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反直接证明困难直接证明困难;需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷多个有无穷多个”-类命题；类命题；结论为结论为“唯一唯一”类命题；类命题；作业作业P91 练习练习 2P91 A组组 4