2021_2022学年新教材高中数学第一章预备知识1.3第2课时全集与补集课件北师大版必修第一册202106041106.pptx

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1、1.1集合的概念集合的概念第第2课时课时全集与补集全集与补集自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.了解全集的定义和它的记法了解全集的定义和它的记法.理解补集的概念理解补集的概念,能正确运用补集的符号和表示形式能正确运用补集的符号和表示形式,会用图形表会用图形表示一个集合及其子集的补集示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集会求一个给定集合在全集中的补集,并能解答并能解答简单的应用题简单的应用题.3.体会数学抽象的过程体会数学抽象的过程,提升数学运算、逻辑推提升数学运算、

2、逻辑推理的素养理的素养.一、全集的含一、全集的含义【问题思考】【问题思考】1.根据方程根据方程(x-3)(x2-2)=0在不同范围内的解集在不同范围内的解集,回答下面的问回答下面的问题题:(1)该方程在有理数集内的解集为该方程在有理数集内的解集为;在实数集内的在实数集内的解集为解集为.(2)问题问题(1)中在有理数集范围内或在实数集范围内的含义是中在有理数集范围内或在实数集范围内的含义是什么什么?提示提示:有理数集范围内或实数集范围内是指所研究问题的所有理数集范围内或实数集范围内是指所研究问题的所有元素组成的集合有元素组成的集合,即全集即全集.2.全集的定义全集的定义定义定义:在研究某些集合的

3、时候在研究某些集合的时候,它们往往是某个它们往往是某个给定集合给定集合的子的子集集,这个给定的集合叫作全集这个给定的集合叫作全集,常用常用符号符号U 表示表示.二、二、补集的概念集的概念【问题思考】【问题思考】1.观察下面三个集合观察下面三个集合:A=1,2,3,4,B=5,6,7,8,U=1,2,3,4,5,6,7,8.回答下面的问题回答下面的问题.(1)集合集合A,B,U有什么关系有什么关系?提示提示:A U,B U,AB=U.(2)B中元素与中元素与U和和A有什么关系有什么关系?提示提示:B中元素都属于集合中元素都属于集合U,它是由它是由U中不属于集合中不属于集合A的元素的元素组成的组成

4、的.2.填一填填一填:设设U是全集是全集,A是是U的一个子集的一个子集(即即A U),则由则由U中所有中所有不属于不属于A的元素组成的集合的元素组成的集合,叫作叫作U中子集中子集A的补集的补集,记作记作 UA,即即 UA=x|xU,且且x A.用用Venn图表示为图表示为三、三、补集的性集的性质【问题思考】【问题思考】1.设集合设集合A=1,2,那么相对于集合那么相对于集合M=0,1,2,3和和N=1,2,3,MA和和 NA相等吗相等吗?由此说说你对全集与补集的认识由此说说你对全集与补集的认识.提示提示:MA=0,3,NA=3,MA NA.补集是一个相对的概念补集是一个相对的概念,研研究补集必

5、须在全集的条件下研究究补集必须在全集的条件下研究,而全集因研究问题不同而而全集因研究问题不同而不同不同,同一个集合相对于不同的全集同一个集合相对于不同的全集,其补集也就不同其补集也就不同.2.U(UA)=A是如何得来的是如何得来的?提示提示:先求先求 UA,然后再求然后再求 UA的补集即集合的补集即集合A.3.补集的性质补集的性质(1)A(UA)=U;(2)A(UA)=;(3)UU=,U=U,U(UA)=A;(4)(UA)(UB)=U(AB);(5)(UA)(UB)=U(AB).【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“

6、”,错误错误的画的画“”.(1)全集一定是实数集全集一定是实数集R.()(2)全集一定包含所有元素全集一定包含所有元素.()(3)若若B=UA,则则A U.()(4)若集合若集合A=3,4,m,B=3,4,AB=5,则则m=5.()探究探究一一 补集集的运算的运算【例【例1】(1)设全集设全集U=1,2,3,4,5,集合集合A=1,2,则则 UA=.(2)若全集若全集U=R,集合集合A=x|x1,则则 UA=.解析解析:(1)U=1,2,3,4,5,A=1,2,UA=3,4,5.(2)由补集的定义由补集的定义,结合数轴可得结合数轴可得 UA=x|x1.答案答案:(1)3,4,5(2)x|x1根

7、据补集的定义根据补集的定义,当集合中元素离散时当集合中元素离散时,可借助可借助Venn图图;当集合当集合中元素连续时中元素连续时,可借助数轴可借助数轴,利用数轴分析法求解利用数轴分析法求解.【变式训练【变式训练1】已知全集已知全集U=x|x-3,集合集合A=x|-34.答案答案:x|x=-3,或或x4探究探究二二 集合集合交、并、交、并、补的的综合运算合运算【例【例2】(1)已知全集已知全集U=x|x9,xN+,集合集合A=1,2,3,B=3,4,5,6,则则 U(AB)=()A.3B.7,8C.7,8,9D.1,2,3,4,5,6解析解析:全集全集U=x|x9,xN+=1,2,3,4,5,6

8、,7,8,9,集合集合A=1,2,3,B=3,4,5,6,AB=1,2,3,4,5,6,U(AB)=7,8,9.故选故选C.答案答案:C(2)已知全集已知全集U=x|x4,集合集合A=x|-2x3,B=x|-3x2,求求AB,(UA)B,A(UB).解解:在数轴上分别表示出全集在数轴上分别表示出全集U及集合及集合A,B,如图如图.则则AB=x|-2x2,UA=x|x-2,或或3x4,UB=x|x-3,或或2x4.所以所以(UA)B=x|x2,或或3x4;A(UB)=x|2x3.1.解决与不等式有关的集合问题时解决与不等式有关的集合问题时,画数轴画数轴(这也是集合的图这也是集合的图形语言的常用表

9、示方式形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观可以使问题变得形象直观,要注意求要注意求解时端点的值是否能取到解时端点的值是否能取到.2.解决集合的混合运算时解决集合的混合运算时,一般先计算括号内的部分一般先计算括号内的部分,再计算再计算其他部分其他部分,如本例如本例(2)求求(UA)B时时,可先求出可先求出 UA,再求并集再求并集.【变式训练【变式训练2】设全集为设全集为R,集合集合A=x|3x7,B=x|2x10,求求 R(AB)及及(RA)B.解解:全集全集R和集合和集合A,B在数轴上表示如下在数轴上表示如下.由图知由图知,AB=x|2x10,RA=x|x3,或或x7,所以所以 R(A

10、B)=x|x2,或或x10,(RA)B=x|2x3,或或7x10.探究探究三三 与与补集相关的参数集相关的参数值的求解的求解【例【例3】设全集设全集U=R,M=x|3ax2a+5,N=x|-2x1,若若MUN,求实数求实数a的取值范围的取值范围.分析分析:求求N的补集的补集讨论集合讨论集合M借助数轴求解借助数轴求解解解:UN=x|x1,因为因为MUN,所以分所以分M=和和M 两种两种情况讨论情况讨论.(1)当当M=时时,有有3a2a+5,解得解得a5.(2)当当M 时时,在数轴上表示出集合在数轴上表示出集合M,UN,如图如图.1.例例3中中,若集合若集合M=x|x+a0,且且(UM)N=,其他

11、条件不变其他条件不变,求求实数实数a的取值范围的取值范围.解解:由已知由已知M=x|x-a,得得 UM=x|x-a,又因为又因为N=x|-2x1,(UM)N=,在数轴上表示出集合在数轴上表示出集合N,UM,如图如图.由图可得由图可得-a-2,即即a2,所以实数所以实数a的取值范围是的取值范围是a|a2.2.若例若例3中全集和中全集和N不变不变,集合集合M=x|x0,集合集合C=x|x-a0,求实数求实数a的取值范围的取值范围,使其满足下列两个条件使其满足下列两个条件:C(MN),C(UM)(UN).解解:因为因为M=x|x0,N=x|-2x1,所以所以MN=x|0 x1,UM=x|-3x0,U

12、N=x|x1,所以所以(UM)(UN)=x|-3x-2.而而C=x|x1,当当C(UM)(UN)时时,有有a-2,综上所述综上所述,实数实数a的取值范围是的取值范围是a|a1.【变式训练【变式训练3】设全集为设全集为R,集合集合A=x|axa+3,RB=x|-1x5.(1)若若AB,求求a的取值范围的取值范围;(2)若若ABA,求求a的取值范围的取值范围.解解:因为全集为因为全集为R,RB=x|-1x5,所以所以B=x|x5.所以当所以当AB 时时,a的取值范围是的取值范围是a|a2.(2)假设假设AB=A,则则A B,结合数轴结合数轴,得得a+35,解得解得a5.所以当所以当ABA时时,a的

13、取值范围是的取值范围是a|-4a5.忽视集合与全集的关系致误忽视集合与全集的关系致误【典例】【典例】设全集设全集U=2,3,a2+2a-3,A=|2a-1|,2,UA=5,求实求实数数a的值的值.错解错解因为因为 UA=5,所以所以5U,且且5 A,所以所以a2+2a-3=5,且且|2a-1|5,解得解得a=2或或a=-4,即实数即实数a的值是的值是2或或-4.以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改正正?你如何防范你如何防范?提示提示:本题本题解答错误在于没有验证解答错误在于没有验证A U.集合集合A的元素的元素|2a-1|是是

14、由由a确立的确立的.正解正解:同同错解错解.事实上事实上,当当a=2时时,|2a-1|=3,A=2,3,符合题意符合题意,而当而当a=-4时时,A=9,2,不是不是U的子集的子集.因此因此a=2.全集主要在与补集有关的问题中用到全集主要在与补集有关的问题中用到,要注意它是求补集的要注意它是求补集的条件条件,研究补集问题需先确定全集研究补集问题需先确定全集,此外要注意集合元素的互此外要注意集合元素的互异性异性.【变式训练】【变式训练】已知集合已知集合U=n|n是小于是小于9的正整数的正整数,A=nU|n是奇数是奇数,B=nU|n是是3的倍数的倍数,则则 U(AB)=.解析解析:由题意知由题意知U

15、=n|n是小于是小于9的正整数的正整数=1,2,3,4,5,6,7,8,则则A=nU|n是奇数是奇数=1,3,5,7,B=nU|n是是3的倍数的倍数=3,6,所以所以AB=1,3,5,6,7,所以所以 U(AB)=2,4,8.答案答案:2,4,81.设全集设全集U=x|x0,集合集合P=1,则则 UP等于等于()A.x|0 x1B.x|x1C.x|x1D.x|x1解析解析:因为因为U=x|x0,P=1,所以所以 UP=x|x0,且且x1=x|0 x1.答案答案:A2.若全集若全集U=1,2,3,4,5,且且 UA=xN|1x3,则集合则集合A的真子的真子集共有集共有()个个.A.3B.4C.7

16、D.8解析解析:根据题意根据题意,全集全集U=1,2,3,4,5,且且 UA=xN|1x3=1,2,3,则则A=4,5,故故A的真子集有的真子集有,4,5,共共3个个.答案答案:A3.已知已知U=x|x0,A=x|2x6,则则 UA=.解析解析:如图如图,分别在数轴上表示出集合分别在数轴上表示出集合U,A,则由补集的定义可则由补集的定义可知知,UA=x|0 x2,或或x6.答案答案:x|0 x2,或或x64.设全集设全集U=R,集合集合A=x|1x3,B=x|2axa+3.(1)当当a=1时时,求求(UA)B;(2)若若(UA)B=B,求实数求实数a的取值范围的取值范围.解解:(1)当当a=1时时,B=x|2x4,又又A=x|1x3,UA=x|x3.(UA)B=x|3x4.(2)(UA)B=B,BUA.当当B=时时,有有2aa+3,解得解得a3;当当B 时时,在数轴上表示出集合在数轴上表示出集合B,UA,如图如图,