2020版高中数学第一章推理与证明1.2.1综合法课件北师大版选修2_2.ppt

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1、2综合法与分析法2.1综合法1.1.综合法的定义及特点综合法的定义及特点【思考思考】综合法的证明过程是综合法的证明过程是归纳推理归纳推理还是演绎推理？还是演绎推理？提示：提示：不是不是归纳推理归纳推理，是演绎推理，是演绎推理.2.2.综合法的框图表示综合法的框图表示(P(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q Q表示表示所要证明的结论所要证明的结论)【思考思考】综合法的证明过程是什么？综合法的证明过程是什么？提示：提示：综合法的证明过程如下：综合法的证明过程如下：【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”

2、)”)(1)(1)综合法是由因导果的顺推证法综合法是由因导果的顺推证法.()(2)(2)综合法证明的依据是三段论综合法证明的依据是三段论.()(3)(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.()提示：提示：(1).(1).由综合法的定义可知该说法正确由综合法的定义可知该说法正确.(2).(2).综合法的逻辑依据是三段论综合法的逻辑依据是三段论.(3).(3).综合法从综合法从“已知已知”看看“可知可知”，逐步推出，逐步推出“未未知知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件.2.2.设设a=lg 2+lg 5a=lg

3、 2+lg 5，b=eb=ex x(x0)(xbA.abB.abB.abC.a=bC.a=bD.abD.ab【解析解析】选选A.A.因为因为a=lg 2+lg 5=lg 10=1a=lg 2+lg 5=lg 10=1，而，而b=eb=ex xeb.ab.3.3.【解析解析】因为因为f(x)f(x)是增函数，是增函数，所以当所以当abab时，必然有时，必然有f(a)f(b).f(a)f(b).答案：答案：abab4.4.在不等式在不等式“a a2 2+b+b2 22ab”2ab”的证明中：因为的证明中：因为a a2 2+b+b2 2-2ab-2ab=(a-b)=(a-b)2 200所以所以a a

4、2 2+b+b2 22ab2ab，该证明用的方法是，该证明用的方法是_._.【解析解析】由因导果，易知该证法为综合法由因导果，易知该证法为综合法.答案：答案：综合法综合法类型一用综合法证明三角问题类型一用综合法证明三角问题【典例典例】在在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别为内角分别为内角A A，B B，C C的对的对边，且边，且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)(1)求证：求证：A A的大小为的大小为60.60.(2)(2)若若sin B+sin C=.sin B+sin C=.证明

5、证明ABCABC为等边三角形为等边三角形.【思维思维引引】(1)(1)利用正弦定理转化，然后利用余弦定理求利用正弦定理转化，然后利用余弦定理求A.A.(2)(2)结合结合(1)(1)中中A A的大小利用三角恒等变形证明的大小利用三角恒等变形证明A=B=C=60.A=B=C=60.【解析解析】(1)(1)由正弦定理由正弦定理 得得 因为因为2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C，所以所以 =(2b-c)=(2b-c)+(2c-b)+(2c-b)，即即2a2a2 2=(2b-c)b+(2c-b)c=(2b-c)b

6、+(2c-b)c，得：得：b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=bc=bc，由余弦定理得：由余弦定理得：cos A=cos A=所以所以A=60A=60.(2)(2)由由A=60A=60，所以，所以B=120B=120-C-C，因为因为sin B+sin C=sin B+sin C=，所以所以sin(120sin(120-C)+sin C=-C)+sin C=，即即sin 120sin 120cos C-cos 120cos C-cos 120sin C+sin C=sin C+sin C=，可得可得 cos C+cos C+sin C=sin C=.从而得从而得 所以所以sin(30+C

7、)sin(30+C)=1=1，又又0 0C120C120，则，则30303030+C150+C0 x0，y0y0，x+y=1x+y=1，求证：，求证：9.9.【思维思维引引】证明本题可用综合法解决，把不等式的左边展开用基证明本题可用综合法解决，把不等式的左边展开用基本不等式即可本不等式即可.【证明证明】方法一：因为方法一：因为x0 x0，y0y0，1=x+y2 1=x+y2 ，所以所以xy .xy .所以所以 方法二：因为方法二：因为1=x+y1=x+y，所以所以 又因为又因为x0 x0，y0y0，所以，所以 2.2.所以所以 5+25+22=9.2=9.【内化内化悟悟】利用基本不等式证明命题

8、的一般步骤是什么？利用基本不等式证明命题的一般步骤是什么？提示：提示：一正、二定、三相等一正、二定、三相等.【类题类题通通】1.1.综合法证明不等式的依据与注意点综合法证明不等式的依据与注意点(1)(1)依据：不等式的基本性质和已知的重要不等式依据：不等式的基本性质和已知的重要不等式.(2)(2)注意点：注意不等式的性质和已证过的不等式各自注意点：注意不等式的性质和已证过的不等式各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误.2.2.综合法证明不等式时常用的不等式综合法证明不等式时常用的不等式(1)a(1)a2 2+b+b2 22ab(2ab(当且仅当当且

9、仅当a=ba=b时取等号时取等号).).(2)(2)(a0,b0,(a0,b0,当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号).).(3)a(3)a2 20,|a|0,(a-b)0,|a|0,(a-b)2 20.0.(4)(4)2(a,b2(a,b同号同号),),-2(a,b-2(a,b异号异号).).(5)a,b(5)a,bR,a,a2 2+b+b2 2 (a+b)(a+b)2 2.(6)(6)不等式的性质：不等式的性质：对对称性称性ababbab0,b0,c0,a0,b0,c0,且且abc=1,abc=1,所以所以 =bc+ca+ab.=bc+ca+ab.又又bc+ca bc+ca 同理同

10、理bc+ab2 ,ca+ab2 .bc+ab2 ,ca+ab2 .因为因为a,b,ca,b,c不全相等不全相等,所以上述三个不等式中的所以上述三个不等式中的“=”号不能同时成立号不能同时成立.所以所以2(bc+ca+ab)2(),2(bc+ca+ab)2(),即即bc+ca+ab bc+ca+ab 故故 【加练加练固固】已知已知a a，b b，c0c0，求证：，求证：a a3 3+b+b3 3+c+c3 3 (a (a2 2+b+b2 2+c+c2 2)(a+b+c).(a+b+c).【证明证明】因为因为a a2 2+b+b2 22ab2ab，a a，b b，c0c0，所以所以(a(a2 2+

11、b+b2 2)(a+b)2ab(a+b)(a+b)2ab(a+b)，所以所以a a3 3+b+b3 3+a+a2 2b+abb+ab2 22ab(a+b)=2a2ab(a+b)=2a2 2b+2abb+2ab2 2，所以所以a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2.同理，同理，b b3 3+c+c3 3bb2 2c+bcc+bc2 2，a a3 3+c+c3 3aa2 2c+acc+ac2 2，将三式相加得，将三式相加得，2(a2(a3 3+b+b3 3+c+c3 3)a)a2 2b+abb+ab2 2+b+b2 2c+bcc+bc2 2+a+a2 2c+acc+ac2 2.

12、所以所以3(a3(a3 3+b+b3 3+c+c3 3)(a)(a3 3+a+a2 2b+ab+a2 2c)+(bc)+(b3 3+b+b2 2a+ba+b2 2c)+(cc)+(c3 3+c+c2 2a+a+c c2 2b)=(a+b+c)(ab)=(a+b+c)(a2 2+b+b2 2+c+c2 2).).所以所以a a3 3+b+b3 3+c+c3 3 (a(a2 2+b+b2 2+c+c2 2)(a+b+c).)(a+b+c).类型三综合法在数列中的应用类型三综合法在数列中的应用【典例典例】已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且满足，且满足S Sn n-

13、n=-n=2(a2(an n-2)(n-2)(nN*).).试证明数列试证明数列aan n-1-1为等比数列并求数为等比数列并求数列列aan n 的通项公式的通项公式.【思维思维引引】由由a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1(n2)(n2)将前将前n n项和化为通项公式项和化为通项公式a an n的关系式，的关系式，利用等比数列定义证明利用等比数列定义证明aan n-1-1是等比数列是等比数列.【解析解析】因为因为S Sn n-n=2(a-n=2(an n-2)-2)，当当n2n2时，时，S Sn-1n-1-(n-1)=2(a-(n-1)=2(an-1n-1-2)-2)，两式相减，得

14、两式相减，得a an n-1=2a-1=2an n-2a-2an-1n-1，所以所以a an n=2a=2an-1n-1-1-1，所以，所以a an n-1=2(a-1=2(an-1n-1-1)-1)，所以所以 =2(n2)(=2(n2)(常数常数).).又当又当n=1n=1时，时，a a1 1-1=2(a-1=2(a1 1-2)-2)得得a a1 1=3=3，a a1 1-1=2-1=2，所以数列所以数列aan n-1-1是以是以2 2为首项，为首项，2 2为公比的等比数列为公比的等比数列.所以所以a an n-1=2-1=22 2n-1n-1=2=2n n，所以，所以a an n=2=2n

15、 n+1.+1.【内化内化悟悟】如何证明一个数列如何证明一个数列aan n 是等比数列？是等比数列？提示：提示：证明一个数列是等比数列，只需证明相邻两项证明一个数列是等比数列，只需证明相邻两项之比是一个与之比是一个与n n无关的常数即可无关的常数即可(或或 =a=an-1n-1a an+1n+1).).【类题类题通通】综合法证明数列问题的依据综合法证明数列问题的依据【习练习练破破】在数列在数列aan n 中，中，a a1 1=1=1，a an+1n+1=2a=2an n+2+2n n.设设b bn n=，求证，求证数列数列bbn n 是等差数列，并求出是等差数列，并求出bbn n 的通项公式的

16、通项公式.【解析解析】因为因为a an+1n+1=2a=2an n+2+2n n，所以所以 因为因为b bn n=，所以所以b bn+1n+1=b=bn n+1+1，所以数列所以数列bbn n 是等差数列且是等差数列且b b1 1=1=1，所以所以b bn n=n.=n.【加练加练固固】已知数列已知数列aan n 中，中，S Sn n是它的前是它的前n n项和，并且项和，并且S Sn+1n+1=4a=4an n+2(n=1+2(n=1，2 2，)，a a1 1=1.=1.设设b bn n=a=an+1n+1-2a-2an n(n=1(n=1，2 2，)，求证数列，求证数列bbn n 是等比数列

17、，并求出是等比数列，并求出bbn n 的通的通项公式项公式.【解析解析】因为因为S Sn+1n+1=4a=4an n+2+2，所以所以S Sn+2n+2=4a=4an+1n+1+2+2，两式相减，得两式相减，得S Sn+2n+2-S-Sn+1n+1=4a=4an+1n+1-4a-4an n(n=1(n=1，2 2，3 3，)，即即a an+2n+2=4a=4an+1n+1-4a-4an n，变形得变形得a an+2n+2-2a-2an+1n+1=2(a=2(an+1n+1-2a-2an n).).因为因为b bn n=a=an+1n+1-2a-2an n(n=1(n=1，2 2，)，所以所以b bn+1n+1=2b=2bn n(n=1(n=1，2 2，).).由此可知数列由此可知数列bbn n 是公比为是公比为2 2的等比数列的等比数列.因为因为S S2 2=a=a1 1+a+a2 2=4a=4a1 1+2+2，a a1 1=1=1，所以所以a a2 2=5=5，b b1 1=a=a2 2-2a-2a1 1=3.=3.故故b bn n=3=32 2n-1n-1.