2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.2复数的有关概念课件北师大版选修2_2.ppt

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1、1.2复数的有关概念1.1.复数相等的充要条件复数相等的充要条件a+bi=c+dia+bi=c+di的充要条件是：的充要条件是：a=ca=c且且b=db=d(a(a，b b，c c，dR).dR).【思考思考】两个虚数能比较大小吗？两个虚数能比较大小吗？提示：提示：两个虚数只有相等或不相等，而没有大小关系，两个虚数只有相等或不相等，而没有大小关系，即两个虚数不能比较大小即两个虚数不能比较大小.2.2.复平面复平面复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)可以用可以用直角坐标平面内的一个点直角坐标平面内的一个点Z Z来表示，如图：来表示，如图：【思考思考】实轴上的点表示的都是实数，那

2、么虚轴上的点表示的实轴上的点表示的都是实数，那么虚轴上的点表示的都是纯虚数吗？都是纯虚数吗？提示：提示：实轴上的点表示的都是实数，除了原点外，虚实轴上的点表示的都是实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数轴上的点都表示纯虚数.3.3.复数的几何意义复数的几何意义复数复数z=a+biz=a+bi，既可以与点，既可以与点Z(aZ(a，b)b)建立一一对应关系，建立一一对应关系，又可以与平面向量又可以与平面向量 建立一一对应关系，三者的关建立一一对应关系，三者的关系如下：系如下：【思考思考】有序实数对有序实数对(a(a，b)b)的几何意义是什么？复数的几何意义是什么？复数z=a+biz=a+bi(a

3、(a，bR)bR)可以用什么几何量来表示？可以用什么几何量来表示？提示：提示：有序实数对有序实数对(a(a，b)b)的几何意义是在直角坐标平的几何意义是在直角坐标平面内对应的点，复数面内对应的点，复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)可以用直角坐标可以用直角坐标系中的点系中的点Z(aZ(a，b)b)来表示来表示.4.4.复数的模或绝对值复数的模或绝对值(1)(1)定义：设复数定义：设复数z=a+biz=a+bi在复平面内对应的点是在复平面内对应的点是Z(aZ(a，b)b)，点，点Z Z到到原点原点的距离的距离|OZ|OZ|叫作复数叫作复数z z的模或绝对值的模或绝对值.(2)(2)

4、表示：复数表示：复数z=a+biz=a+bi的模记为的模记为|z|z|或或|a+bi|a+bi|.(3)(3)公式：公式：|z|=|a+bi|=_(a|z|=|a+bi|=_(a，bR).bR).【思考思考】两个复数差的模的几何意义是什么？两个复数差的模的几何意义是什么？提示：提示：两个复数差的模的几何意义是复平面内与这两两个复数差的模的几何意义是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离个复数对应的两点间的距离.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()(2

5、)(2)复数的模一定是正实数复数的模一定是正实数.()(3)(3)复数复数z z1 1zz2 2的充要条件是的充要条件是|z|z1 1|z|z2 2|.|.()提示：提示：(1).(1).根据实轴的定义，根据实轴的定义，x x轴叫实轴，实轴上的轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点如实轴上的点(2(2，0)0)表示实数表示实数2.2.(2).(2).复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0 0也是复数，它的模为也是复数，它的模为0 0不是正实数不是正实数.(3)(3).

6、两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小总能比较大小.2.2.若若a-3i=2+bia-3i=2+bi，则，则a+b=a+b=()A.1A.1B.-1B.-1C.5C.5D.-5D.-5【解析解析】选选B.B.由复数相等的条件可得由复数相等的条件可得a=2a=2，b=-3b=-3，所以，所以a+b=-1.a+b=-1.3.3.设复数设复数z=3-4iz=3-4i，则，则|z|=|z|=()A.A.B.2B.2C.5C.5D.25D.25【解析解析】选选C.|z|=C.|z|=4.4.若复数若复数z z满足满足z+|z|=2z+|z|=2，则，

7、则z=_.z=_.【解析解析】设设z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)，所以所以z+|z|=a+bi+=2z+|z|=a+bi+=2，所以所以 解得解得 所以所以z=1.z=1.答案：答案：1 1类型一复数相等类型一复数相等【典例典例】1.1.若关于若关于x x的方程的方程3x3x2 2-1=(10-x-2x-1=(10-x-2x2 2)i)i有有实根，则实数实根，则实数a a的值为的值为_._.2.2.已知复数已知复数z=-x+(xz=-x+(x2 2-4x+3)i0-4x+3)i0，求实数，求实数x x的值的值.【思维思维引引】1.1.等号左右两边式子相等，即左右式子等号左右两边

8、式子相等，即左右式子实部和虚部均相等，而左边只有实部，右边只有虚部，实部和虚部均相等，而左边只有实部，右边只有虚部，则左右均为则左右均为0.0.2.z02.z0，则，则zRzR，虚部为，虚部为0.0.【解析解析】1.1.设方程的实数根为设方程的实数根为x=mx=m，则原方程可变为，则原方程可变为3m3m2 2-1=(10-m-2m-1=(10-m-2m2 2)i)i，所以所以 解得解得a=11a=11或或 答案：答案：1111或或 2.2.因为因为z0z0，所以，所以zRzR，所以所以x x2 2-4x+3=0-4x+3=0，解得解得x=1x=1或或x=3.x=3.因为因为z0z0，所以，所以

9、 -x0-x0，且，且x x2 2-4x+3=0.-4x+3=0.对于不等式对于不等式 -x0-x0，x=1x=1满足，满足，x=3x=3不满足，故不满足，故x=1.x=1.【内化内化悟悟】若一个复数能大于若一个复数能大于0 0，则这个复数的实部与虚部应满足，则这个复数的实部与虚部应满足什么条件？什么条件？提示：提示：实部大于实部大于0 0，虚部一定为，虚部一定为0.0.【类题类题通通】解决复数相等问题的步骤解决复数相等问题的步骤(1)(1)等号两侧都写成复数代数形式的标准形式，即等号两侧都写成复数代数形式的标准形式，即a+bia+bi=c+di(a=c+di(a，b b，c c，dR)dR)

10、的形式的形式.(2)(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程组即根据两个复数相等的充要条件列出方程组即 (3)(3)解方程组得解解方程组得解.提醒：根据两个复数相等的意义，可知在提醒：根据两个复数相等的意义，可知在a=ca=c，b=db=d中，中，只要有一个不成立，那么只要有一个不成立，那么a+bic+di.a+bic+di.所以两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关所以两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小系，而不能比较它们的大小.【习练习练破破】已知复数已知复数z z1 1=m+(4-m=m+(4-m2 2)i)i，z z2 2=2cos+(+3sin)i=

11、2cos+(+3sin)i，mRmR，z z1 1=z=z2 2，求，求的取值范围的取值范围.【解析解析】由由z z1 1=z=z2 2，mRmR，可得，可得 整理，得整理，得=4sin=4sin2 2-3sin=-3sin=因为因为 所以所以sin 0sin 0，11，所以所以 【加练加练固固】已知复数已知复数x x2 2-1+(y+1)i-1+(y+1)i大于复数大于复数2x+3+(y2x+3+(y2 2-1)i-1)i，试求实数试求实数x x，y y的范围的范围.【解析解析】由题意知由题意知(x(x2 2-1)+(y+1)i-1)+(y+1)i与与2x+3+(y2x+3+(y2 2-1)

12、i-1)i均为均为实数，即实数，即 且且x x2 2-12x+3.-12x+3.所以所以y=-1y=-1，x1-x1+.x1+.故实数故实数x x，y y的取值范围是的取值范围是x|x1-x|x1+x1+，y|y=-1.y|y=-1.类型二复平面与复数的几何意义类型二复平面与复数的几何意义【典例典例】1.1.在复平面内，复数在复平面内，复数6+5i6+5i，-2+3i-2+3i对应的点分对应的点分别为别为A A，B B，若，若C C为线段为线段ABAB的中点，则点的中点，则点C C对应的复数是对应的复数是()A.4+8iA.4+8iB.8+2iB.8+2iC.2+4iC.2+4iD.4+iD.

13、4+i2.2.实数实数m m取什么值时，复数取什么值时，复数z=2m+(4-mz=2m+(4-m2 2)i)i在复平面内对在复平面内对应的点在：应的点在：(1)(1)虚轴上？虚轴上？(2)(2)第一、三象限？第一、三象限？(3)(3)以原点为圆心，以原点为圆心，4 4为半径的圆上？为半径的圆上？【思维思维引引】1.1.利用复数的几何意义求点利用复数的几何意义求点C C对应的复数对应的复数.2.2.先确定复数先确定复数z z的实部、虚部，再根据要求列出关于的实部、虚部，再根据要求列出关于m m的方程的方程(组组)或不等式或不等式(组组)求解求解.【解析解析】1.1.选选C.C.复数复数6+5i6

14、+5i对应的点为对应的点为A(6A(6，5)5)，复数，复数-2+3i-2+3i对应的点为对应的点为B(-2B(-2，3).3).利用中点坐标公式得线段利用中点坐标公式得线段ABAB的中点的中点C(2C(2，4)4)，故点，故点C C对应的复数为对应的复数为2+4i.2+4i.2.(1)2.(1)若复数若复数z z在复平面内的对应点位于虚轴上，则在复平面内的对应点位于虚轴上，则2m=02m=0，即，即m=0.m=0.(2)(2)若复数若复数z z在复平面内的对应点位于第一、三象限，在复平面内的对应点位于第一、三象限，则则2m(4-m2m(4-m2 2)0)0，解得解得m-2m-2或或0m2.0

15、m2.(3)(3)若复数若复数z z的对应点位于以原点为圆心，的对应点位于以原点为圆心，4 4为半径的圆为半径的圆上，上，则则 即即m m4 4-4m-4m2 2=0=0，解得解得m=0m=0或或m=m=2.2.【内化内化悟悟】复数的几何意义是什么？复数的几何意义是什么？提示：提示：(1)(1)复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)一一对应复平面内一一对应复平面内的点的点Z(aZ(a，b).b).(2)(2)复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)一一对应平面向量一一对应平面向量 【类题类题通通】复数的几何背景复数的几何背景数形结合法数形结合法(1)(1)复数的几

16、何意义实际上是把复数、向量、解析几何复数的几何意义实际上是把复数、向量、解析几何有机地结合在一起，体现了数形结合思想方法的应用，有机地结合在一起，体现了数形结合思想方法的应用，能够更加灵活地解决问题能够更加灵活地解决问题.(2)(2)高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义与计算等点的位置、加减法的几何意义、模的意义与计算等.【习练习练破破】在复平面内，若复数在复平面内，若复数z=(mz=(m2 2-m-2)+(m-m-2)+(m2 2-3m+2)i-3m+2)i对应点对应点(1)(1)在虚轴上在虚轴上.(2)

17、.(2)在第二象限在第二象限.(3).(3)在直线在直线y=xy=x上，分别求实上，分别求实数数m m的取值范围的取值范围.【解析解析】复数复数z=(mz=(m2 2-m-2)+(m-m-2)+(m2 2-3m+2)i-3m+2)i的实部为的实部为m m2 2-m-2-m-2，虚部为，虚部为m m2 2-3m+2.-3m+2.(1)(1)由题意得由题意得m m2 2-m-2=0.-m-2=0.解得解得m=2m=2或或m=-1.m=-1.(2)(2)由题意得由题意得 所以所以 所以所以-1m1.-1m121，所以，所以|z|z1 1|z|z2 2|.|.(2)(2)由由(1)(1)知知|z|z2

18、 2|z|z|z|z1 1|，则，则1|z|2.1|z|2.因为不等式因为不等式|z|1|z|1的解集是圆的解集是圆|z|=1|z|=1上和该圆外部所有上和该圆外部所有点的集合，不等式点的集合，不等式|z|2|z|2的解集是圆的解集是圆|z|=2|z|=2上和该圆的上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|21|z|2的点的点Z Z的集合是以原点的集合是以原点O O为圆心，以为圆心，以1 1和和2 2为半径的两圆及所为半径的两圆及所夹的圆环夹的圆环.【内化内化悟悟】两个复数能否比较大小？两个复数能否比较大小？提示：提示：两个复数不全为实数时不能比较大

19、小；而任意两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小两个复数的模均可比较大小.【类题类题通通】注意复数的模与距离问题注意复数的模与距离问题(1)(1)复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)的模表示对应的点的模表示对应的点(a(a，b)b)到到原点的距离，也表示向量对应线段的长度原点的距离，也表示向量对应线段的长度.(2)(2)注意复平面上两点间的距离公式的多角度应用：注意复平面上两点间的距离公式的多角度应用：其中其中z z1 1=a+=a+bibi，z z2 2=c+di(a=c+di(a，b b，c c，dR).dR).【习练习练破破】(2019(201

20、9全国卷全国卷)设复数设复数z z满足满足|z-i|=1|z-i|=1，z z在复平面内在复平面内对应的点为对应的点为(x(x，y)y)，则，则()A.(x+1)A.(x+1)2 2+y+y2 2=1=1B.(x-1)B.(x-1)2 2+y+y2 2=1=1C.xC.x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1D.xD.x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1【解析解析】选选C.z=x+yiC.z=x+yi，z-i=x+(y-1)iz-i=x+(y-1)i，|z-i|=|z-i|=则则x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1.=1.故选故选C.C.【加练加练固固】设设zCzC，

21、在复平面内对应点，在复平面内对应点Z Z，试说明满足，试说明满足|z|=2|z|=2的点的点Z Z的集合是什么图形的集合是什么图形.【解析解析】方法一：方法一：|z|=2|z|=2说明复数说明复数z z在复平面内对应的在复平面内对应的点点Z Z到原点的距离为到原点的距离为2 2，这样的点，这样的点Z Z的集合是以原点的集合是以原点O O为为圆心，圆心，2 2为半径的圆为半径的圆.方法二：设方法二：设z=a+biz=a+bi，由，由|z|=2|z|=2，得，得a a2 2+b+b2 2=4.=4.故点故点Z Z对应的对应的集合是以原点集合是以原点O O为圆心，为圆心，2 2为半径的圆为半径的圆.