2019_2020学年高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质讲末复习与小结课件新人教A版选修4_1.ppt

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1、讲末复习与小结 一、知识结构一、知识结构(一)平行线等分线段定理1平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等2推论1：经过三角形一边的中点与另外一边平行的直线必平分第三边3推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰二、要点提示二、要点提示(二)平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例2推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(三)相似三角形的判定及性质1相似三角形的判定(1)相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相

2、似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似(3)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似(4)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(5)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(6)判定定理3：对于任意两个

3、三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似(7)两个直角三角形相似的判定定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似2相似三角形的性质(1)相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方(2)两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比

4、与相似比的关系：两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方(3)两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系：两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方(四)直角三角形的射影定理1射影的有关概念(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影(2)一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正射影(3)点和线段的正射影简称为射影2直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项

5、【例1】如图所示，已知在梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，EFBC交AB于点F，FGBD交AD于点G.求证：AGDG.三、题型探究三、题型探究【解题探究】要证明AGDG，只要证明G是AD的中点即可因为FGBD，所以只要证明F是AB的中点又ADBC，EFBC，E是CD的中点，所以由平行线等分线段定理，问题得证【规范解答】因为ADBC，EFBC，所以ADBCEF.又E是CD的中点，所以由平行线等分线段定理，知F是AB的中点又因为FGBD，所以G是AD的中点所以AGDG.本题的关键是利用平行线等分线段定理，先证明F是AB的中点，再证明G是AD的中点【例2】如图所示，已知平面平面，点P是平面，

6、外一点，且直线PAB，PCD分别与平面，相交于A，B，C，D四点(1)求证：ACBD；(2)若PA4 cm，AB5 cm，PC3 cm，求PD的长本题将立体几何与平面几何的知识相结合，第(1)问主要考查立体几何中面面平行的性质定理，第(2)问主要考查平面几何中平行线分线段成比例定理【例3】如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F分别是AD，BC上的点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_【解题探究】本题可先作辅助线CGAD，然后在CGB中，因为EFAB，所以HFGB，再利用相似三角形的性质定理，可推得F是BC边的中点，从而有EF是梯形ABCD的中位线

7、，进而可求得梯形ABFE和梯形EFCD的面积本题综合考查了相似三角形的性质定理、梯形中位线和梯形的面积等知识【例4】如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.(1)求证：OMOPOA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于点B，过B点的切线交直线ON于点K.求证：OKM90.【解题探究】(1)在RtOMA中，利用射影定理证明即可；(2)可在RtOKB中利用射影定理证明【规范解答】(1)因为MA是圆O的切线，所以OAAM.又因为APOM，所以在RtOAM中，由射影定理，得OA2OMOP.本题主要考查射影定理与圆的切线的性质，由于圆的切线与半径可围成直角三角形，因此常用射影定理来解四、素质训练四、素质训练5(2015年汕头模拟)如图，在ABC中，DEBC，DFAC，AE2，EC1，BC4，则BF_.6三角形的周长扩大为原来的12倍，若形状不变，则面积为原来的_倍【答案】1447(2015年广东)如图，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD_.【答案】8