第2章逻辑代数及其应用精选PPT.ppt
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1、第2章逻辑代数及其应用第1页,此课件共62页哦2.1 2.1 概述概述为什么学习本章内容?为什么学习本章内容?例:例:100100人的表决会议,每人有权选择人的表决会议,每人有权选择“赞同赞同”、“反对反对”或者或者“弃权弃权”,根据与会,根据与会人员的表决情况决定议案是否通过,即最后的结果有两个,要么人员的表决情况决定议案是否通过,即最后的结果有两个,要么“通过通过”,要么,要么“不不通过通过”。主要规则如下:。主要规则如下:1 1)无弃权票情况下,多数人赞同则通过,否则不通过;)无弃权票情况下,多数人赞同则通过,否则不通过;2 2)有)有1010票及以上弃权票情况下,无论如何都不通过议案;
2、票及以上弃权票情况下,无论如何都不通过议案;组委会要求:组委会要求:设计一套复杂的表决电路,每个人面前有三个按钮分别代表设计一套复杂的表决电路,每个人面前有三个按钮分别代表“赞同赞同”“”“反对反对”“”“弃权弃权”,按下按钮后会自动发出一个最终表决通过与否的信号。按下按钮后会自动发出一个最终表决通过与否的信号。学完本章即可为该项工作奠定基础!学完本章即可为该项工作奠定基础!学完本章即可为该项工作奠定基础!学完本章即可为该项工作奠定基础!第2页,此课件共62页哦2023/1/1532.1 2.1 概述概述在数字电路中,主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系,因此数字电路又在数字电路中,主要研
3、究的是电路的输入输出之间的逻辑关系,因此数字电路又称逻辑电路,其研究工具是称逻辑电路,其研究工具是逻辑代数逻辑代数(布尔代数布尔代数或或开关代数开关代数-1849-1849年年)。)。逻辑变量逻辑变量为进行逻辑推理,引入逻辑变量,以代表事物的两种逻辑状态;为进行逻辑推理,引入逻辑变量,以代表事物的两种逻辑状态;逻辑:逻辑:事物间的因果关系。事物间的因果关系。二值逻辑二值逻辑只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。题目题目 答对、答错答对、答错;考试考试 通过、不通过通过、不通过;开关开关 闭合、不闭合闭合、不闭合;灯灯 亮、不亮亮、不亮;不论因还
4、是果,都分别有不论因还是果,都分别有两种情况,这两种两种情况,这两种“情况情况”就是就是“逻辑状态逻辑状态”不再表示数量的大小,只代表两种不同的状态不再表示数量的大小,只代表两种不同的状态;逻辑变量用字母表示,如因可以用逻辑变量用字母表示,如因可以用x x表示,果可以用表示,果可以用Y Y表示;表示;不论不论X X还是还是Y Y,取值只有,取值只有0 0和和1;1;第3页,此课件共62页哦2023/1/1542.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算 与(与(ANDAND)、或(或(OROR)、)、非(非(NOTNOT)1 1)逻辑与(与运算):逻辑与(与运算):假设条假设条件(件(
5、A A,B B)与事件)与事件Y Y存在因果关系,存在因果关系,如果仅当上述条件(如果仅当上述条件(A A,B B)均满足时,事件()均满足时,事件(Y Y)才发生,则这种因果)才发生,则这种因果关系为逻辑与。关系为逻辑与。A A、B B都闭合,灯才亮都闭合,灯才亮。以开关以开关 闭合为条件闭合为条件,以以 灯亮为结果灯亮为结果条件都满足,结果才发生。条件都满足,结果才发生。第4页,此课件共62页哦2023/1/155 2 2)或逻辑(或运算)或逻辑(或运算):当决定事件(当决定事件(Y Y)发生的各种条件)发生的各种条件(A(A,B B,)中,只要有一个或多个条件满足,事件(中,只要有一个或
6、多个条件满足,事件(Y Y)就发)就发生。生。只要有一个条件满足,结果就发生。只要有一个条件满足,结果就发生。2.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算以开关以开关 闭合为条件闭合为条件,以以 灯亮为结果灯亮为结果只要有一个开关闭合,灯就亮。只要有一个开关闭合,灯就亮。第5页,此课件共62页哦2023/1/1563)非逻辑(非运算):非逻辑(非运算):条件事件条件事件A A满足时,事件满足时,事件Y Y不发生;条件不发生;条件A A不满足,事件不满足,事件Y Y反反而发生。而发生。2.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算开关闭合,灯就不亮;开关闭合,灯就不亮;以开关以开关
7、 闭合为条件闭合为条件,以以 灯亮为结果灯亮为结果条件满足,结果就不发生;条件满足,结果就不发生;第6页,此课件共62页哦以以A、B作为开关的状态,作为开关的状态,Y作为灯的状态,并作为灯的状态,并人为约定人为约定人为约定人为约定:1)开关闭合:开关闭合:1;开关断开:开关断开:02)灯亮:灯亮:1;灯灭:灯灭:0逻辑真值表逻辑真值表truth tabletruth table2.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算+Y YAA+7第7页,此课件共62页哦与、或、非等逻辑功能可以通过电路实现,相应的电路单与、或、非等逻辑功能可以通过电路实现,相应的电路单元分别称为:元分别称为:与门
8、(与门(and gateand gate)、或门或门(or gate)(or gate)和和非门非门(not(not gate)gate)。与、或、非与、或、非-基本逻辑单元,组合后可以表达任意逻辑关系。基本逻辑单元,组合后可以表达任意逻辑关系。与非、或非、异或等与非、或非、异或等 简单的复合逻辑单元简单的复合逻辑单元2.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算8第8页,此课件共62页哦2023/1/159(a)(a)与非运算:与非运算:逻辑表达式为:逻辑表达式为:2.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算-几几种常用复合逻辑运算种常用复合逻辑运算CD4011第9页,此课件共
9、62页哦10(b)(b)或非运算:或非运算:逻辑表达式为:逻辑表达式为:2.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算-几几种常用复合逻辑运算种常用复合逻辑运算第10页,此课件共62页哦2023/1/1511(c)(c)异或运算异或运算同同0,异,异12.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算-几几种常用复合逻辑运算种常用复合逻辑运算第11页,此课件共62页哦2023/1/1512(d)(d)同或运算同或运算AB同同1,异,异02.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算-几几种常用复合逻辑运算种常用复合逻辑运算第12页,此课件共62页哦2023/1/1513(e)(e
10、)与或非运算:逻辑表达式为与或非运算:逻辑表达式为2.2 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算-几几种常用复合逻辑运算种常用复合逻辑运算第13页,此课件共62页哦2023/1/15142.3 基本公式和若干导出公式基本公式和若干导出公式1.基本公式基本公式根据与、或、非的定义,得表根据与、或、非的定义,得表2.3.12.3.1的逻辑代数的基本公式的逻辑代数的基本公式序号公 式序号公 式(1a)0 A=0(1b)1+A=1(2a)1 A=A(2b)0+A=A(3a)A A=A(3b)A+A=A(4a)A A=0(4b)A+A=1(5a)A B=B A(5b)A+B=B+A(6a)A (B
11、 C)=(A B)C(6b)A+(B+C)=(A+B)+C(7a)A (B+C)=A B+A C(7b)A+B C=(A+B)(A+C)(8a)(A B)=A+B(8b)(A+B)=AB(9)(A)=A证明方法:真值表第14页,此课件共62页哦2023/1/1515式式(8a)(8a)和和(8b)(8b)是著名的是著名的德德摩根摩根(De Morgan)(De Morgan)定理,亦称反演律定理,亦称反演律,在,在逻辑化简和变换中经常要用到这一对公式。逻辑化简和变换中经常要用到这一对公式。00111100A0001111011011110B例:例:用真值表法证明公式(用真值表法证明公式(8a8
12、a):):(A B)=A+B(A B)=A+B同理可证明公式(同理可证明公式(8b8b)。)。第15页,此课件共62页哦162.2.常用的导出公式常用的导出公式序号公 式序号公 式(11a)A+A B=A(11b)A(A+B)=A(12a)A+A B=A+B(12b)A(A+B)=A B(13a)A B+A B=A(13b)(A+B)(A+B)=A(14a)A B+AC+B C=A B+ACA B+AC+B CD=A B+AC(14b)(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)(A+B)(A+C)(B+C+D)=(A+B)(A+C)证明方法:推导 真值表第16页,此课件共62页哦谢谢
13、 谢!谢!17第17页,此课件共62页哦2023/1/15182.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1 1)代入定理代入定理:在任意一个包含变量在任意一个包含变量A的等式中,若用任何一个逻辑的等式中,若用任何一个逻辑 式式 代替等式中的代替等式中的A,则等式仍然成立。,则等式仍然成立。v应用举例:应用举例:(AB)=A+B ,如果将,如果将“B”换为换为 “BC”(A(BC)=A+(BC)=A+B+C 第18页,此课件共62页哦2023/1/1519v应用举例应用举例第19页,此课件共62页哦2 2)反演定理反演定理:对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y,若将其中所有的,若将其中所有的
14、“与与”换成换成“或或”,“或或”换成换成“与与”,并且将所有逻辑变量和常量取反,则得到的结果是,并且将所有逻辑变量和常量取反,则得到的结果是Y。意义意义:为求取已知逻辑式的为求取已知逻辑式的反反提供了方便。提供了方便。步骤及注意事项步骤及注意事项:a)先括号,再乘,最后加;)先括号,再乘,最后加;b)不属于单个变量上的反号应保留;不属于单个变量上的反号应保留;例:例:已知已知 Y=A(B+C)+CD,求求Y 已知已知Y=(AB+C)+D)+C 求求Y第20页,此课件共62页哦Y=A(B+C)+CD(C+D)BC(A+BC).+A(C+D).Y=(AB+C)+D)+C C.(?)(AB+C)+
15、D?D.(?)(A+B)C)D(A+B)C)D)C(A+B).Ca)先括号,再乘,最后加;)先括号,再乘,最后加;b)不属于单个变量上的反号应保留;不属于单个变量上的反号应保留;第21页,此课件共62页哦3 3)对偶定理对偶定理:两逻辑式相等,则对应的对偶式也成立。两逻辑式相等,则对应的对偶式也成立。对偶式:对偶式:对于任意逻辑式对于任意逻辑式Y Y,将,将“.”与与“+”互换,互换,“1 1”与与“0 0”互换,则得到对偶式互换,则得到对偶式Y YD D。意义意义:欲证明逻辑式成立,可以先证明两边的对偶式相等。欲证明逻辑式成立,可以先证明两边的对偶式相等。-有时候相应的对偶式相等更容易证明。
16、有时候相应的对偶式相等更容易证明。证明:证明:A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)AB+AC=第22页,此课件共62页哦2023/1/15232.5 逻辑函数及其描述方法逻辑函数及其描述方法逻辑函数:逻辑函数:如果以逻辑变量作为输入,以运算结果作为输出,当输入变量的取如果以逻辑变量作为输入,以运算结果作为输出,当输入变量的取值确定之后,输出的取值便随之而定。值确定之后,输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为输出与输入之间的函数关系称为逻辑逻辑函数函数(Logical FunctionLogical Function)。Y=F(A,B,C,)Y=F(A,B,C,)逻辑函数表示方
17、法:逻辑函数表示方法:常用逻辑函数的表示方法有:常用逻辑函数的表示方法有:逻辑真值表逻辑真值表(真值表)、(真值表)、逻辑函数式逻辑函数式(逻辑式(逻辑式或函数式)、或函数式)、逻辑图逻辑图、波形图波形图、卡诺图卡诺图及硬件描述语言。它们之间可以相及硬件描述语言。它们之间可以相互转换。互转换。输入变量及输出的取值都只有输入变量及输出的取值都只有0 0、1 1两种状态,所以这里讨论的都是两种状态,所以这里讨论的都是二值二值逻辑函数。逻辑函数。第23页,此课件共62页哦2023/1/15242.5.1 2.5.1 逻辑函数的几种表示方法逻辑函数的几种表示方法输入变量A B C输出Y1 Y2 输入变
18、量所有可能的取值输出对应的取值例:例:一举重裁判电路,一举重裁判电路,A A为主裁为主裁判,判,B B、C C为两位副裁判。只有主裁为两位副裁判。只有主裁判通过以及两位副裁判当中的一位判通过以及两位副裁判当中的一位或全部通过,举重成绩有效,否则或全部通过,举重成绩有效,否则无效。无效。a.a.真值表真值表描述逻辑函数描述逻辑函数第24页,此课件共62页哦2023/1/1525解:解:设设A、B、C闭合用闭合用“1”表示,断表示,断开用开用“0”表示;表示;Y亮用亮用“1”表示,灯灭用表示,灯灭用“0”表示。得到函数表示形式:表示。得到函数表示形式:真值表真值表第25页,此课件共62页哦2023
19、/1/15262023/1/1526b.b.逻辑图逻辑图描述逻辑函数描述逻辑函数用逻辑图形符号连接起来表示逻辑函数,得到的连接图,用逻辑图形符号连接起来表示逻辑函数,得到的连接图,称为称为逻辑图。逻辑图。第26页,此课件共62页哦2023/1/15272023/1/1527 将输入变量所有可能的取值与对应的输出按时间顺序依次将输入变量所有可能的取值与对应的输出按时间顺序依次将输入变量所有可能的取值与对应的输出按时间顺序依次将输入变量所有可能的取值与对应的输出按时间顺序依次排列起来画成的时间波形,称为函数的排列起来画成的时间波形,称为函数的排列起来画成的时间波形,称为函数的排列起来画成的时间波形
20、,称为函数的波形图波形图波形图波形图。c.c.波形图波形图描述逻辑函数描述逻辑函数第27页,此课件共62页哦2023/1/15282.5.2 2.5.2 逻辑函数描述方法之间的逻辑函数描述方法之间的相互转换相互转换a.逻辑函数式逻辑函数式&真值表真值表例:给出逻辑函数的真值例:给出逻辑函数的真值表,试写出它的逻辑函数式。表,试写出它的逻辑函数式。ABCY备注 0 000 0 011 0 101 0 110 1 001 1 010 1 100 1 1101)1)真值表真值表逻辑式逻辑式方法:方法:将真值表中为将真值表中为1 1的项的项相或。相或。第28页,此课件共62页哦2023/1/15南京信
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