第3章扭转变形精选PPT.ppt

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1、第3章扭转变形第1页，本讲稿共64页 第第3 3章章 扭转扭转3-1 3-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3-33-3 纯剪切纯剪切3-2 3-2 外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图3-4 3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3-5 3-5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3-6 3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能3-73-7 矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆扭转理论简介2023/1/15第2页，本讲稿共64页l工程实例：汽车传动轴工程实例：汽车传动轴传动轴传动轴3-13-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例传动轴受扭传动轴受扭2023/1/15

2、第3页，本讲稿共64页2023/1/15l工程实例：汽车方向盘工程实例：汽车方向盘第4页，本讲稿共64页l工程实例：齿轮传动轴工程实例：齿轮传动轴2023/1/15第5页，本讲稿共64页l工程实例：螺栓、螺母工程实例：螺栓、螺母第6页，本讲稿共64页 本章研究杆件发生本章研究杆件发生扭转变形扭转变形，其它变形可忽略的，其它变形可忽略的情况，以情况，以圆截面圆截面(实心圆截面或空心圆截面实心圆截面或空心圆截面)杆为主要杆为主要研究对象研究对象。研究的问题限于研究的问题限于杆在线弹性范围内工作杆在线弹性范围内工作的的情况。情况。2023/1/15第7页，本讲稿共64页l变形特点：变形特点：1.1.

3、杆件各杆件各横截面绕轴线作相对转动横截面绕轴线作相对转动；2.2.杆表面的杆表面的纵向线倾斜了一个角度纵向线倾斜了一个角度 。l受力特点受力特点：圆截面直杆受到与杆轴线垂直平面圆截面直杆受到与杆轴线垂直平面内的内的外力偶外力偶M M作用作用。2023/1/15 MMeMMe e 第8页，本讲稿共64页3-2 3-2 外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图1.1.传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 当传动轴稳定转动时，外力偶在当传动轴稳定转动时，外力偶在单位时间内所作单位时间内所作之功之功等于外力偶之矩等于外力偶之矩M M 与相应角速度的乘积。与相应角速度的乘积。2023/1/1

4、5主动轮主动轮从动轮从动轮从动轮从动轮第9页，本讲稿共64页 l从动轮从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。l主动轮主动轮上的外力偶其转向与传动轴的上的外力偶其转向与传动轴的转动方向转动方向相同，相同，2023/1/15从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮注意注意转向转向第10页，本讲稿共64页2.2.扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 传动轴横截面上的扭矩传动轴横截面上的扭矩T T 可利用可利用截面法截面法来计算。来计算。T=M2023/1/15保留左端保留左端保留右端保留右端第11页，本讲稿共64页2023/1/15l扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法

5、则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),负负(-)(-)l扭矩图扭矩图 表示各横截面上的扭矩沿轴线的变化表示各横截面上的扭矩沿轴线的变化情况的图。情况的图。第12页，本讲稿共64页 例题例题3-13-1 已知：已知：,P PA A =36KW=36KW，P PB B =P PC C =11KW=11KW，P PD D=14KW=14KW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。解：解：1.1.计算外力偶矩计算外力偶矩2023/1/15第13页，本讲稿共64页2.2.计算各段的扭矩计算各段的扭矩BC段内：CA段内：2023/1/15AD段内：第14页，本讲稿共6

6、4页2.2.计算各段的扭矩计算各段的扭矩l扭矩等于保留段的全部外力偶矩的代数和扭矩等于保留段的全部外力偶矩的代数和。l外力偶矩外力偶矩投影箭头向上投影箭头向上为正为正,l外力偶矩外力偶矩投影箭头向下投影箭头向下为负。为负。保留左端保留左端2023/1/15保留右端保留右端符号相反符号相反第15页，本讲稿共64页3.3.作扭矩图作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩T Tmaxmax在在CACA段内，段内，其值为其值为700N.m700N.m。2023/1/15第16页，本讲稿共64页思考：思考：如果将从动轮如果将从动轮D D 与与C C 的位置对调，试作该传动轴

7、的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？的扭矩图。这样的布置是否合理？2023/1/15第一种方案第一种方案第二种方案第二种方案第17页，本讲稿共64页2023/1/15第二种方案第二种方案第一种方案第一种方案那个方那个方案好案好?第18页，本讲稿共64页2023/1/15a aa a2 2a aMMe e2 2MMe e3 3MMe eA AB BC CDl试求各段的扭矩，画扭矩图试求各段的扭矩，画扭矩图第19页，本讲稿共64页3-33-3 纯剪切纯剪切试验中观察到：试验中观察到：(1)(1)当变形很小时，当变形很小时，各圆周线的大小与间距不变各圆周线的大小与间距不变，仅仅绕轴

8、线作相对旋转绕轴线作相对旋转；(2)(2)各纵向线倾斜一角度各纵向线倾斜一角度，矩形网格均变成同样大小，矩形网格均变成同样大小的平行四边形。的平行四边形。1.1.薄壁圆管扭转时的切应力薄壁圆管扭转时的切应力2023/1/15第20页，本讲稿共64页(1)(1)只有与只有与圆周相切的切应力圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切，且圆周上所有点处的切应力相同，横截面上应力相同，横截面上无正应力无正应力。(2)(2)对于薄壁圆筒，可认为对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布。切应力沿壁厚均匀分布。横截面上的应力：横截面上的应力：2023/1/15A A放大放大第21页，本讲稿共64页2023/1/

9、151.1.薄壁圆管扭转时的切应力薄壁圆管扭转时的切应力第22页，本讲稿共64页2.2.切应力互等定理切应力互等定理微小单元体上的力偶平衡微小单元体上的力偶平衡,即即结论：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对结论：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，方向则均指向或均离开该交线。方向则均指向或均离开该交线。切应力互等定切应力互等定理理2023/1/15第23页，本讲稿共64页纯剪切的概念纯剪切的概念 如果单元体的两对互相垂直的平面上如果单元体的两对互相垂直的平面上只有切应力只有切应力，而在另一对平面上而在

10、另一对平面上没有任何应力没有任何应力，则该单元体处于，则该单元体处于纯纯剪切状态剪切状态。2023/1/15第24页，本讲稿共64页3.3.剪切胡克定律剪切胡克定律 在切应力的作用下在切应力的作用下,微体发生了直角改变，这种角变量微体发生了直角改变，这种角变量称为称为切应变切应变 。扭转试验表明扭转试验表明:当切应力不超过材料的剪切比例极限当切应力不超过材料的剪切比例极限 时时,切应力与切应变成正比切应力与切应变成正比,引入比例系数引入比例系数G,G,则则切变模量切变模量,其值随材料而异其值随材料而异剪切虎克定律剪切虎克定律钢材的切变模量的钢材的切变模量的约值为：约值为：G G=80GPa=8

11、0GPa2023/1/15第25页，本讲稿共64页3-4 3-4 圆杆扭转的应力圆杆扭转的应力一一.横截面上的应力横截面上的应力表面变表面变形情况形情况推断推断横截面的横截面的变形情况变形情况(问题的几何方面问题的几何方面)横截面上横截面上应变的变应变的变化规律化规律横截面上应横截面上应力变化规律力变化规律应力应力-应变应变 关系关系(问题的物理方面问题的物理方面)内力与应力内力与应力 关系关系横截面上应力横截面上应力的计算公式的计算公式(问题的静力学方面问题的静力学方面)2023/1/15第26页，本讲稿共64页2023/1/15第27页，本讲稿共64页1.1.表面变形情况：表面变形情况：(

12、a)(a)各圆周线各圆周线的的大小、形状和间距不变大小、形状和间距不变，仅绕轴线作相对，仅绕轴线作相对转动；转动；(b)(b)纵向线纵向线倾斜了一个倾斜了一个角度角度 。平面假设平面假设变形后横截面仍保持为平面。变形后横截面仍保持为平面。推知：杆的横截面上只有推知：杆的横截面上只有切应力切应力，且垂直于半径。，且垂直于半径。(1)(1)变形几何关系变形几何关系一一.圆柱扭转横截面上的应力圆柱扭转横截面上的应力2023/1/15第28页，本讲稿共64页2.2.切应变随点的位置的变化规律切应变随点的位置的变化规律2023/1/15根据变形后横截面任为根据变形后横截面任为平面、半径任为直线的平面、半

13、径任为直线的假设，求假设，求矩圆心为矩圆心为 处处的切应变：的切应变：第29页，本讲稿共64页2023/1/15第30页，本讲稿共64页 式中式中 相对扭转角相对扭转角 沿杆长的变化率，常用沿杆长的变化率，常用 来表示，对于来表示，对于给定的横截面给定的横截面为常量为常量。可见，在横截面的同一半径可见，在横截面的同一半径r r 的圆周上各点处的的圆周上各点处的切应变切应变 r r 均相同；均相同；r r 与与r r 成正比，且发生在与半径垂直的成正比，且发生在与半径垂直的平面内。平面内。bbTTO1O2dj GGDDaadxAEggrr2023/1/15第31页，本讲稿共64页(2)(2)物理

14、关系物理关系由剪切胡克定律由剪切胡克定律 t=Gg 知知此式表明：此式表明：扭转切应力沿截面径向线性变化。扭转切应力沿截面径向线性变化。空心圆轴空心圆轴切应力分布切应力分布实心圆轴实心圆轴切应力分布切应力分布2023/1/15圆周上任一点圆周上任一点都是危险点都是危险点 第32页，本讲稿共64页(3)(3)静力学方面静力学方面其中其中 称为横截面的称为横截面的极惯性矩极惯性矩I Ip p，它是横截面的几何性质。，它是横截面的几何性质。切应力计算公式切应力计算公式以以 代入上式得：代入上式得：2023/1/15（3.83.8）第33页，本讲稿共64页抗扭截面系数抗扭截面系数，单位为，单位为m m

15、3 3横截面周边上各点处横截面周边上各点处(r r=R)R)的最大切的最大切应力为应力为极惯性矩极惯性矩扭矩扭矩二二.最大扭转切应力最大扭转切应力2023/1/15第34页，本讲稿共64页l实心圆截面实心圆截面二二.圆截面的圆截面的极惯性矩极惯性矩I Ip p和和扭转截面系数扭转截面系数W Wp p2023/1/15第35页，本讲稿共64页思考：思考：思考：思考：对于空心圆截面，对于空心圆截面，对于空心圆截面，对于空心圆截面，,其原因是其原因是其原因是其原因是什么？什么？l空心圆截面空心圆截面2023/1/15第36页，本讲稿共64页解：（解：（1 1）内力分析）内力分析 ABAB段段:BC

16、BC段段:2023/1/152112 补充例题补充例题 轴左段为实心圆截面，轴左段为实心圆截面，d=20 mmd=20 mm，右段为，右段为空心圆截面，空心圆截面，d=15mmd=15mm、D=25mmD=25mm。，试计算轴内的最大扭转切应力。，试计算轴内的最大扭转切应力。第37页，本讲稿共64页（2 2）应力分析）应力分析2023/1/152211第38页，本讲稿共64页低碳钢扭转破坏断口低碳钢扭转破坏断口 2023/1/15第39页，本讲稿共64页铸铁扭转破坏断口铸铁扭转破坏断口2023/1/15第40页，本讲稿共64页 思考：思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的低碳钢和铸铁的圆截

17、面试件其扭转破坏的断口分别如图断口分别如图a a及图及图b b所示，试问为什么它们的断口所示，试问为什么它们的断口形式不同？形式不同？2023/1/15第41页，本讲稿共64页2023/1/15三、强度条件三、强度条件三、强度条件三、强度条件强度校核强度校核强度校核强度校核设计截面设计截面设计截面设计截面确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷应用应用第42页，本讲稿共64页 补充例题补充例题 图示阶梯空心圆轴，图示阶梯空心圆轴，M MA A=150N.m,=150N.m,M MB B=50N.m=50N.m，M MC C=100N.m,=100N.m,t t =90 MPa=90 M

18、Pa。试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。解：解：(1)(1)求求ABAB与与BCBC段的扭矩段的扭矩AB段：T1=MA=150 NmBC段：T2=Mc=100 Nm2023/1/15182418221122第43页，本讲稿共64页(2)(2)强度校核强度校核故该轴的扭转强度符合要求。故该轴的扭转强度符合要求。第44页，本讲稿共64页 例例3.23.2题题 图示传动轴，图示传动轴，材料为材料为45钢钢，。试根据强度要求确定轴的直径试根据强度要求确定轴的直径。解解:(1)求外力矩求外力矩(2)(2)作扭矩图作扭矩图第45页，本讲稿共64页(3)(3)强度校核强度校核故有故有可见可见,按强度要求可

19、取按强度要求可取 。第46页，本讲稿共64页 例例3-3 3-3 汽车传动轴。汽车传动轴。T=1.5 kN.mT=1.5 kN.m，=60 MPa=60 MPa，无缝钢管的无缝钢管的D=90mmD=90mm ,d=85mm,d=85mm,试校核轴的强度。若保持最大试校核轴的强度。若保持最大切应力不变，将轴改为实心轴，试比较实心轴和空心轴的切应力不变，将轴改为实心轴，试比较实心轴和空心轴的重量。重量。解：解：(1)(1)空心轴强度校核空心轴强度校核2023/1/15故轴满足强度条件。故轴满足强度条件。第47页，本讲稿共64页(2)(2)确定实心与空心圆轴的重量比确定实心与空心圆轴的重量比2023

20、/1/15由此求出由此求出 可见：空心轴远比实心轴轻。可见：空心轴远比实心轴轻。第48页，本讲稿共64页3-5 3-5 圆杆扭转时的变形圆杆扭转时的变形1.1.扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角相对扭转角(相对角位移相对角位移)来度量。来度量。MeADBCMe 2023/1/15第49页，本讲稿共64页 当等直圆杆相距当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩的两横截面之间，扭矩T T及材料及材料的切变模量的切变模量G G为常量时有为常量时有2023/1/15 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(

21、亦称亦称单位单位长度扭转角长度扭转角)为为 。可知，杆的相距可知，杆的相距 的两横截面之间的相对扭转角的两横截面之间的相对扭转角j为第50页，本讲稿共64页2.2.刚度条件刚度条件式中的许可单位长度扭转角式中的许可单位长度扭转角 的常用单位是的常用单位是()/m。此时，此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：l对于精密机器的轴对于精密机器的轴 0.150.30 ()/m；l对于一般的传动轴对于一般的传动轴 2()/m。2023/1/15第51页，本讲稿共64页 例例3-4 3-4 图示例图示例3.23.2 钢制实心圆截面轴钢制实心圆截面轴。2023/1/15已知

22、已知：试按刚度要求计算该轴的直径及的总扭转角试按刚度要求计算该轴的直径及的总扭转角 。解：解：1、按刚度条件计算直径、按刚度条件计算直径选取选取第52页，本讲稿共64页2 2、各段轴的两个端面间的相对扭转角、各段轴的两个端面间的相对扭转角：123BC2023/1/15第53页，本讲稿共64页3 3、齿轮、齿轮3 3 相对于齿轮相对于齿轮1 1的扭转角的扭转角2023/1/15第54页，本讲稿共64页3-6 3-6 等直圆杆扭转时的应变能（选讲）等直圆杆扭转时的应变能（选讲）1.1.纯剪切应力状态下的应变能密度纯剪切应力状态下的应变能密度l计算外力所作功计算外力所作功dWdW 使左侧面不动，右侧

23、面上的外力使左侧面不动，右侧面上的外力tdtdy yd dz z在相应的位移在相应的位移gdgdx x上作功。上作功。2023/1/15纯剪切应力状纯剪切应力状态的单元体态的单元体第55页，本讲稿共64页 当材料在线弹性范围内工作时当材料在线弹性范围内工作时(t tp，见图见图b)b)，有有2023/1/15纯剪切应力状纯剪切应力状态的单元体态的单元体第56页，本讲稿共64页 单元体内蓄积的应变能单元体内蓄积的应变能dV数值上等于单元体上外力所数值上等于单元体上外力所作功作功dW，即即dV=dW。单元体单位体积内的应变能，亦单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为即纯剪切应

24、力状态下的应变能密度为 由剪切胡克定律由剪切胡克定律t=Gg，该应变能密度的表达式可写为该应变能密度的表达式可写为2023/1/15第57页，本讲稿共64页 在扭矩在扭矩T T为常量时，长度为为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的等直圆杆所蓄积的应变能为的应变能为l 等直圆杆在扭转时积蓄的应变能等直圆杆在扭转时积蓄的应变能由由 可知可知，亦有亦有2023/1/15第58页，本讲稿共64页 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为积的应变能为应变能亦可如下求得：应变能亦可如下求得：2023/1/15第59页，本讲稿共64页 例题例

25、题3-7 3-7 图示图示ABAB、CD CD 为等直圆杆，扭转刚度均为为等直圆杆，扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块，为刚性块，D D 截面处作用有外力偶截面处作用有外力偶矩矩Me。试试求：求：（1 1）杆系内的应变能）杆系内的应变能；（；（2 2）利用外力偶矩所作功在数值）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求上等于杆系内的应变能求D D 截面的扭转角截面的扭转角 jD。ABCDMel/2l2023/1/15第60页，本讲稿共64页T2=MeD MeT1=-MeBCD Me解解:1.:1.静力平衡求扭矩静力平衡求扭矩2.2.杆系应变能杆系应变能其转向与其转向与M Me e相同相同。

26、ABCDMe3.3.求求D D 截面的扭转角截面的扭转角 jD2023/1/15第61页，本讲稿共64页3-8 3-8 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形1.1.等直非圆形截面杆扭转时的变形特点等直非圆形截面杆扭转时的变形特点 横截面不再保持为平面而发生横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立翘曲。平面假设不再成立。自由扭转自由扭转(纯扭转纯扭转)等直杆，等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力。截面上只有切应力而无正应力。20

27、23/1/15第62页，本讲稿共64页 约束扭转约束扭转非等直杆，或非两端受外力偶作用，或非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度不同，横截面端面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度不同，横截面上除上除切应力外还有附加的正应力切应力外还有附加的正应力。2023/1/15h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 0.2080.2190.2310.2460.2560.2670.2820.2990.3070.3130.333 0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.333 1.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743P77,P77,表表3.13.1 矩形截面扭转时的因数矩形截面扭转时的因数第63页，本讲稿共64页l横截面上横截面上长边长边中点处的中点处的最大切应力最大切应力l横截面上横截面上短边短边中点处的中点处的切应力切应力：t=ntmaxl单位长度扭转角：单位长度扭转角：2023/1/15式中式中 也称为也称为杆件的抗扭刚度。杆件的抗扭刚度。2.2.矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解第64页，本讲稿共64页