第3讲逆矩阵精选PPT.ppt

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1、第3讲逆矩阵第1页，本讲稿共29页一一 数的除法数的除法在数的乘法运算中，有一个特殊的数在数的乘法运算中，有一个特殊的数1，对任意数对任意数 a 有有1）1 a=a 1=a;（乘法单位元乘法单位元）2）若）若 ab=1，则可得，则可得 a0；b0；ba=1；且对给定的；且对给定的a,b是惟一的。是惟一的。由于由于b是被是被a惟一确定的数，故可用惟一确定的数，故可用a的函数式的函数式 a-1表示，即表示，即 b=a-1。3）当）当b0时，可定义除法如下：时，可定义除法如下：4）从而当）从而当a0时，可求解如下方程时，可求解如下方程 a x=b 第第3节节 逆矩阵逆矩阵第2页，本讲稿共29页二二

2、矩阵的逆矩阵的逆1)1)矩阵的乘法单位元，在矩阵的乘法单位元，在有限条件有限条件下，只有矩阵下，只有矩阵E满足满足 E A=A E =A；有限条件指的是在上式中若有限条件指的是在上式中若 A 不为方阵时，则两个不为方阵时，则两个 E 并不相同。并不相同。当要求上式中的当要求上式中的E一致时，则要求一致时，则要求A为方阵，此时为方阵，此时E可看作单位元，可看作单位元，其地位类似于数字其地位类似于数字1在数的乘法运算中的地位。在数的乘法运算中的地位。2）参照参照 ab=ba=1，能否由，能否由 AB=BA=E 推出推出 B 是惟一确定的？是惟一确定的？若能则可将若能则可将B表示成表示成A的映射形式

3、，即有形式的映射形式，即有形式B=A-1。3)应用上，此时当应用上，此时当 A满足条件时，满足条件时，A X=B X=?第3页，本讲稿共29页定义定义 n 级方阵 A 称为可逆的可逆的，如果有 n 级方阵 B，使得 AB =BA =E,这里 E 是 n 级单位矩阵，并称 B 为 A 的逆矩阵逆矩阵，简称逆阵逆阵。性质：如果矩阵 A 是可逆的，那么 A 的逆矩阵是惟一的。证明证明：若 B,C 都是 A 的逆阵，则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.由于逆矩阵是惟一的，故可用矩阵 A 的某种映射形式表示其逆矩阵。具体地若 A 可逆，使用 A-1 表示 A 的逆矩阵。第4页，本讲稿共29

4、页性质性质：如果矩阵：如果矩阵 A 可逆，则方程可逆，则方程 AX=B有惟一解有惟一解 X=A-1B。矩阵矩阵 A 可逆的条件与求法？可逆的条件与求法？定理：若矩阵定理：若矩阵 A 可逆，则可逆，则|A|0。证明：由于证明：由于 A 可逆，则存在可逆，则存在 A-1，使得，使得 从而从而|A|0。第5页，本讲稿共29页定理定理：若矩阵：若矩阵 A 满足满足|A|0，则矩阵，则矩阵A 可逆，且有可逆，且有其中其中 A*为矩阵为矩阵 A 的伴随阵。的伴随阵。证明：由于证明：由于 A A*=A*A=|A|E，因，因|A|0，故有，故有所以，按逆矩阵定义，即知所以，按逆矩阵定义，即知 A 可逆，且有可

5、逆，且有当当|A|=0 时，时，A 称为称为奇异矩阵奇异矩阵或或退化的退化的，否则称为，否则称为非奇异矩阵非奇异矩阵或或非非退化的退化的。第6页，本讲稿共29页定理定理：方阵：方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 A为非奇异或非退化矩阵，即为非奇异或非退化矩阵，即|A|0，且，且定理定理：对方阵：对方阵 A,若方阵若方阵 B 满足满足 AB=E，则，则 B是惟一的，且满足是惟一的，且满足 BA=E,即即 A,B都可逆且互为逆矩阵。都可逆且互为逆矩阵。证明证明：由：由 AB=E|A|B|=1|A|0，从而，从而|A|-1A*存在，存在，故有故有 AB=E|A|-1A*AB=|A|-1A

6、*EB=|A|-1A*即即B是惟一的，且有是惟一的，且有 BA=|A|-1A*A=|A|-1|A|E=E。第7页，本讲稿共29页例例：计算逆矩阵：计算逆矩阵第8页，本讲稿共29页方阵的逆阵满足下述运算律：方阵的逆阵满足下述运算律：证明：证明：第9页，本讲稿共29页第10页，本讲稿共29页例：设例：设求矩阵求矩阵 X 使其满足使其满足 AXB=C.此例为矩阵方程。此例为矩阵方程。请判定该解是否为该请判定该解是否为该方程的惟一解？方程的惟一解？第11页，本讲稿共29页矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X，求X？例：例：第12页，本讲稿共29页例：例：第13页，本讲稿共29页例：例：第14页，本讲稿

7、共29页例：例：第15页，本讲稿共29页例：例：解解第16页，本讲稿共29页三初等矩阵及其作用定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵初等矩阵。1)对调两行或对调两列第17页，本讲稿共29页2)以数 k(0)乘某行或某列3)以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去第18页，本讲稿共29页初等矩阵的作用初等矩阵的作用用初等矩阵左乘与右乘矩阵用初等矩阵左乘与右乘矩阵 的效果为的效果为第19页，本讲稿共29页第20页，本讲稿共29页类似地可以验知：类似地可以验知：定理定理：对一个：对一个 sn 矩阵矩阵A 作一初等行变换就相当于在作一初等行变换就相当于在 A 的左边乘的左边乘

8、上相应的上相应的 ss 初等矩阵；对初等矩阵；对 A 作一初等列变换就相当于在作一初等列变换就相当于在 A 的右边乘的右边乘上相应的上相应的 nn 的初等矩阵。的初等矩阵。第21页，本讲稿共29页定理表明，借助于初等矩阵可将等价的矩阵写成等式形式，从定理表明，借助于初等矩阵可将等价的矩阵写成等式形式，从而有助于更细致地讨论。而有助于更细致地讨论。第22页，本讲稿共29页四 逆矩阵的求法u 初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵还是初等矩阵。初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵还是初等矩阵。第23页，本讲稿共29页特别地当 A 为方阵且可逆时，由于初等矩阵是可逆阵，故A的标准形 F 也必可逆，从而有r

9、=n，即F=En为单位阵。由于初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，从而当 A 为可逆方阵时，A 必能表示成一些初等矩阵的乘积形式。第24页，本讲稿共29页定理定理：方阵 A 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积,推论推论1 1：可逆矩阵与某一矩阵相乘不改变该矩阵的秩，即若设A是mn矩阵，Pm,m 与 Qn,n 是可逆的方阵，则有 R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).推论推论2 2：mn 矩阵 A 与 B 等价的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ=B。第25页，本讲稿共29页推论推论3：方阵 A 可逆的充分必要条件是 A与单位矩阵行行等价。证明：若矩阵A与单位矩阵行等价，即存在初等矩阵第26页，本讲稿共29页 推论3表明可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。这提供了一个求逆矩阵的方法。即若A是一 n 级可逆矩阵,则存在一系列初等矩阵 P1,Pm 使得从而有因此只需记录注意到对分块矩阵(A,E)有从而上式就给出了一个具体求逆矩阵的方法。第27页，本讲稿共29页例：求矩阵例：求矩阵A的逆矩阵。的逆矩阵。第28页，本讲稿共29页例例：求矩阵 X 使其满足 A X=B，其中第29页，本讲稿共29页