湖北襄阳四中2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、此卷只装订不密封姓名准考证号考场号座位号绝密 启用前2022 年襄阳四中高二上期末测试卷数学本试卷共 4 页，22 题全卷满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共 8 小题，每

2、小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设 R,则“=3”是“直线 1 +2 1=0 与直线 2(+1)+2=0 垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若函数 =()在 =0处的导数为 1,则 lim0(0)(0+2)=A.2B.3C.2D.33.已知圆 1 2+2=1 与圆 2(2)2+(2)2=16,圆 I 与圆 1、2均相切,则圆 的圆心 的轨迹中包含了哪条曲线A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4.已知等比数列 满足:2+4+6+8=20,2 8=8,则12+14+16+18的值为A.20B.10C.5

3、D.525.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852 年英国来华传教伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年,英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被 3 除余 1 且被 7 除余 4 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列,则 6=A.103B.107C.109D.1056.直三棱柱 111中,=90,分别是 11,11的中点,=1,则 与 所成角的余弦值为A.110B.25C.3010D.6187.已知抛物线 2=

4、4 的焦点为,准线为,直线 7+2=0,动点 在 上运动,记点 到直线 与 的距离分别为 1,2,为坐标原点,则当 1+2最小时,sin=A.22B.23C.24D.268.已知点(1,0)，(3,0)，为直线 +5=0 上一动点,当 最大时,点 的坐标是A.(3,2)B.(2,3)C.(73,83)D.(1,4)二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选择的得 2 分，有选错的得 0 分9.已知方程216+29 =1(),则下列说法中正确的有A.方程216+29 =1 可表示圆B.当 9 时,方程216+2

5、9 =1 表示焦点在 轴上的椭圆C.当 16 0)上任意一点,的离心率为 ,若圆:2+2=2上存在点,使得 =150,则 2的最大值为四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤17.（10 分）已知圆 C:2+2 2 4 20=0（1）求圆 关于直线 2 2=0 对称的圆 的标准方程;（2）当 取何值时,直线 +3+1=0 与圆 相交的弦长最短,并求出最短弦长.18.（12 分）已知数列 满足 1=2，log2+1=log2+1.（1）求数列 的通项公式;（2）求(3 1)的前 项和.19.（12 分）如图,线段 1是圆柱 1的母线,是圆柱下底面 的内接

6、正三角形,1=3.（1）劣弧 上是否存在点,使得 1/平面 1?若存在,求出劣弧 的长度;若不存在,请说明理由.（2）求平面 1和平面 1夹角的余弦值.20.（12 分）已知函数()=e1+,函数()=+ln,R.（1）若曲线 =()与直线 =相切,求 的值;（2）若 4=0,证明:()()+1;21.（12 分）已知椭圆 22+22=1(0)的左、右焦点分别为 1(,0)和 2(,0),离心率是32,直线 =被椭圆截得的弦长等于 2.（1）求椭圆 的标准方程;（2）若直线 +2 2=0 与椭圆相交于,两点,为坐标原点,求 的面积.22.（12 分）设各项均为正数的数列 的前 项和为,满足对任

7、意 N,都 31+32+3=2.（1）求证:数列 为等差数列;（2）若=(1)()2,求数列 的前 项和.数学试题第 3 页（共 4 页）数学试题第 4 页（共 4 页）答案第 1页，共 3页参考答案：参考答案：1-5ADBDC6-8DCA9-12BCDCDACDAC133141x2115:916：23411ABD【详解】因为11a，212aa，323aa，1nnaan，以上n个式子累加可得：(1)1232nn nan，所以512345136101535Saaaaa，故选项 A 正确；由递推关系可知：11nnaan，故选项 B 正确；当2n，1(1)2nnnn nSSa，故选项 C 不正确；因

8、为12112(1)1nan nnn，所以12100111111112 122223100101aaa12002 1101101，故选项 D 正确；故选：ABD.12AC【详解】不妨设,P m n在第二象限，可得2214mn，即2244mn，而tan2nm，tan2nm，22221444tantannnmn 为定值，A 正确；由倍角正切公式及0,2 22，可得21tan1tan2tan，21tan1tan2tan，22tantan41tan11tan122不为定值，B 排除；tantan4tan1 tantan5n，而1422PABSnn，故8tan5PABS 为定值，C 正确；由 C 知：8c

9、ossin5PABS 不为定值，D 排除；故选：AC.16234【详解】连接OP，当P不为C的上、下顶点时，设直线PM，PN分别与圆O切于点M，N，设OPM，由题意知150MPN，即7590，所以sinsin75，连接OM，所以|sin|OMbOPOP624，所以4|62bOP，又因为max|OPa，所以有462ba，即624ba，结合222abc得2222314bea 故答案为：23417(1)223225xy；(2)4k ，4 2.(1)圆心1,2C，=5r，设,D m n，因为圆心 C 与 D 关于直线对称，所以12220223,2221mnDnm ，=5r所以圆D标准方程为：22322

10、5xy；(2)直线l过定点3,1M，当CMl时，弦长最短，14CMk，4k 此时最短弦长为2222222 25(3 1)(1 2)4 2rCM.答案第 2页，共 3页18(1)*2nnanN；(2)=9+(3 4)2+1【详解】（1）在数列 na中，因12122,loglog1nnaaa，则12212logloglog1nnnnaaaa，于是得12nnaa，因此数列 na是首项为12a，公比为 2 的等比数列，所以1*222nnnanN.19(1)存在，劣弧BD的长度为36(2)3913【详解】（1）如图过点O作AB的平行线OD交劣弧BC于点 D，连接1OO，1O D，因为1OO1AA，1AA

11、 平面1AAB，1OO 平面1AAB，则1OO平面1AAB同理可证OD平面1AAB，1OOODO，且1OO 平面1OO D，OD 平面1OO D所以平面1AAB平面1OO D，又因为1O D 平面1OO D，所以1O D平面1A AB故存在点D满足题意.因为ABC为底面O的内接正三角形，所以3BAC，即6ABOBOD，又因为3AB，所以O的半径为332sin3，所以劣弧BD的长度为362326.（2）如图取BC的中点为M，连接MA，以MB为x轴，MA为y轴，过M作1OO平行线为z轴，建立空间直角坐标系，又因为13AAAB，设AB中点为N.故0,0,0M，3,0,02B，3 30,02A，3,0

12、,02C，30,02O，130,32O，3 3 3,044N，易知平面1AAB的法向量33,044ON设平面1CBO的法向量为,nx y z，又因为130,32MO，3,0,02MB故100n MOn MB即3302302yzx，令2 3y 得0,2 3,1n 易知平面1CBO和平面1BAA夹角为锐角，所以平面1CBO和平面1BAA夹角的余弦值为3392132 3134n ONn ON 20（）0a；（）证明见解析；【详解】解：（）设曲线 yf x在11,Q x y点处切线是yx，则 1111yxfx,由于 111exfx,所以111,1xy，由题意知：111exya，于是0a;（）令 111

13、eln,e(0)xxF xfxg xx Fxxx，当0,1x时，10e1x，所以110e1xx，即 11e0 xFxx，当1,x时，11ex，所以11e1xx，即 11e0 xFxx，于是 1elnxF xf xg xx在（0,1）单调递减，1,单调递增，其最小值是 11F，所以 1F xf xg x，于是原不等式成立;答案第 3页，共 3页21(1)221164xy(2)7（1）由22221xyab令xc得22221cyab，解得2bya，所以222ba，结合2223,2cabca，解得4,2ab，所以椭圆C的标准方程为221164xy.（2）由221164220 xyxy解得1117172

14、xy 或2217172xy 不妨设设1122,A x yB xy，即171717,17,22AB，所以222 7735AB，原点到直线:220l xy的距离为2255，所以1235725OABS.22（1）证明见解析；（2）=(+1)2为偶数(+1)2为奇数【详解】（1）333212nnaaaS当1n 时，322111aSa，11a，当2n时，33321211nnaaaS，两式相减得3221111+nnnnnnnnnnaSSSSSSaSS，21+nnnaSS，则2+1+1+nnnaSS，两式相减得2211+nnnnaaaa，即111+nnnnnnaaaaaa，因为各项为正，11nnaa，当2n 时，则2331212+aaaa，即23221+1+aa，解得22a，满足211aa，所以数列 na是首项为 1，公差为 1 的等差数列；