福建省福州第一中学2023届高三上学期第一次调研测试数学试题含答案.pdf

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1、福建省福州第一中学福建省福州第一中学2023 届高三第一次调研测试届高三第一次调研测试数学数学一一、选择题选择题；本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1.已知集合|lg3 Ax yx,|2Bx x，则下列结论正确的是A.3A B.3BC.ABBD.ABB2.如果复数 22356 immmm是纯虚数，则实数m的值为（）A.0B.2C.0 或 3D.2 或 33.若函数 f x同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有 0f xfx；(2)对于定义域内的任意12,x x，

2、当12xx时，有 12120f xf xxx，则称函数 f x为“理想函数”.给出下列四个函数：2f xx；3f xx；1f xxx；22,0,0 xxf xxx.其中是“理想函数”的序号是A.B.C.D.4.已知函数()cos()f xx(04,0)的部分图象如图所示，(0)cos2f，则下列判断正确的是A.函数()f x的最小正周期为 4B.函数()f x的图象关于直线61x对称C.函数()f x的图象关于点(1,0)4对称D.函数()f x的图象向左平移 2 个单位得到一个偶函数的图象5.设a b c 都是正数，且469abc，则下列结论错误的是（）A.cbaB.abbcacC.4949

3、bbacD.121cba6.如图，在四棱锥CABOD中，CO 平面ABOD，/ABOD，OBOD，且212ABOD，62AD，异面直线CD与AB所成角为30，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.21B.42C.48D.847.已知sin 23sin，且2k，2k，其中Zk，则tantan（）A.1B.2C.3D.48.设函数 219ln2f xxx在区间1,1aa上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.1,2B.4,C.,2D.0,3二二、选择题选择题；本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合

4、题有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分9.已知,Ra b，则下列不等式成立的是（）A.2ababB.2222ababC.22abababD.222abab10.在锐角三角形ABC中，A、B、C是其三内角，则下列一定成立的有（）A.sinsinsinABABB.sincosABC.sincosBAD.sinsin2cosABC11.在ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，能确定C为锐角的有（）A.0AC CB B.222abcC.A、B均为锐角，且sincosABD.tantantan0ABC1

5、2.设nS是等差数列 na的前 n 项和，且12a，38a 则（）A.512a B.公差3d C.261nSnnD.数列11nna a的前 n 项和为64nn三、填空题；本题共三、填空题；本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.如图，直三棱柱111ABCABC-，60ABC，2AC，侧棱长为3，点P是侧面1ACCA内一点 当ABBC最大时，过B、1B、P三点的截面面积的最小值为_14.若函数 y12sin x 在区间,8 12上单调递减，则的取值范围是_.15.若直线1yx和曲线ln2yax相切，则实数a的值为_.16.已知函数21,0,()log,0,xxf

6、xx x在函数()1yff x的零点个数_.四、解答题；本题共四、解答题；本题共 6 个小题，共个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在ABC 中，根据下列条件，解三角形（1）A60，c2，a6；（2）a3，b2，B45.18.已知函数 22sin cos2 3cosf xxxx（1）求函数 yf x的最小正周期；（2）将函数 yf x的图象右移6个单位得到 yg x的图象，求函数 yg x的单调递增区间19.如图，要在一块矩形空地ABCD上开辟一个内接四边形EFGH为绿地，且点EFGH都落在矩形的四条边(含顶点)上.已知(2)

7、ABa a，2BC，且AEAHCFCG.设AEx，绿地EFGH的面积为y.（1）写出y关于 x 的函数关系式()yf x，并写出这个函数的定义域；（2）记()yf x的最大值为()g a，求()g a的表达式.20.在多面体111ABCC AB中，四边形11ABB A为菱形，160B BAo，平面11ABB A 平面ABC，1112BCBC，ACBC，1ABBC.（1）若O是线段AB的中点，证明：平面ABC平面1BOC；（2）求二面角1CACB的正弦值.21.已知各项均为正数的两个数列,nnab满足22112,nnnaaa 2212loglog1,nnnabb且111.ab（1）求证：数列na

8、为等差数列；（2）求数列 nb的通项公式；（3）设数列,nnab的前 n 项和分别为,nnS T求使得等式：236mmiSaT成立的有序数对*(,)(,).m i m iN22.已知函数 32f xaxbx在2x 处取得极值-14.（1）求 a，b 的值；（2）求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（3）求函数 f x在3,3上的最值.福建省福州第一中学福建省福州第一中学2023 届高三第一次调研测试届高三第一次调研测试数学数学一一、选择题选择题；本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题

9、目要求的是符合题目要求的1.已知集合|lg3 Ax yx,|2Bx x，则下列结论正确的是A.3A B.3BC.ABBD.ABB【答案】C【解析】【分析】求出集合A，再根据集合的交集运算，并集运算以及元素与集合的关系即可解出【详解】因为|lg(3)|30(3,)Ax yxx x ，|2Bx x，显然，3A，3B，所以,BA ABB故选：C.2.如果复数 22356 immmm是纯虚数，则实数m的值为（）A.0B.2C.0 或 3D.2 或 3【答案】A【解析】【分析】由纯虚数的概念求得m值，注意虚部不能为 0【详解】根据纯虚数的概念可知:230mm且2560mm，解230mm，得0m 或3m；

10、当0m 时，2566mm符合题意，当3m 时，2560mm（舍），所以0m.故选：A.3.若函数 f x同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有 0f xfx；(2)对于定义域内的任意12,x x，当12xx时，有 12120f xf xxx，则称函数 f x为“理想函数”.给出下列四个函数：2f xx；3f xx；1f xxx；22,0,0 xxf xxx.其中是“理想函数”的序号是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果【详解】解：函数()f x同时满足对于定义域上的任意x，恒有()()0f xf

11、x；对于定义域上的任意1x，2x，当12xx时，恒有1212()()0f xf xxx，则称函数()f x为“理想函数”，“理想函数”既是奇函数，又是减函数，2f xx是偶函数，且不是单调函数，故不是“理想函数”；3f xx 是奇函数，且是减函数，故是“理想函数”；1f xxx是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故不是“理想函数”22,0,0 xxf xxx是奇函数，且是减函数，故是“理想函数”故选C【点睛】本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题4.已知函数()cos()f xx(04,0)的部分图象如图所示，(0)cos2f，则下列判断正确的是A.函数()f x的最小正周期为 4

12、B.函数()f x的图象关于直线61x对称C.函数()f x的图象关于点(1,0)4对称D.函数()f x的图象向左平移 2 个单位得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】【详解】根据函数()cos()(04f xx，0)的部分图象，(0)cos2f，coscos2，2再根据五点法作图可得120，2，()cos(22)f xx故它的周期为22，故A不对令61x，22124x，()f x的值不是最值，故B不对令14x，222x，()f x的值为零，故函数()f x的图象关于点(14，0)对称，故C正确把函数()f x的图象向左平移 2 个单位，可得cos(22)yx的图象，显然所得函数不是偶函数，

13、故D错误，故选：C故选 C.5.设a b c 都是正数，且469abc，则下列结论错误的是（）A.cbaB.abbcacC.4949bbacD.121cba【答案】B【解析】【分析】首先根据指对运算，利用对数表示,a b c，再利用换底公式和对数运算，判断选项.【详解】设4691abck，所以41loglog 4kak，61loglog 6kbk，91loglog 9kck，A.由对数函数的单调性可知，0log 4log 6log 9kkk，可知cba，故 A 正确；B.log 362log 611111log 6 log 4log 9log 6 log 4 log 9log 6 log 4

14、log 9kkkkkkkkkkkb ac22log 4 log 9kkac，故 B 错误；C.2496364 949bacbbbb，故 C 正确.D.112log 4log 9log 362log 6kkkkacb，则121cba，故 D 正确.故选：B6.如图，在四棱锥CABOD中，CO 平面ABOD，/ABOD，OBOD，且212ABOD，62AD，异面直线CD与AB所成角为30，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.21B.42C.48D.84【答案】D【解析】【分析】由题意可得6OB，30CDO，可得CO的长，结合,OCOD OCOB ODOB可得三棱锥OBCD外接

15、球半径R的值，可得其表面积.【详解】解：如图，过点D作DEAB，由/ABOD，OBOD，且212ABOD，可得四边形DEBO为矩形，6BEDO，226OBDEADAE，由6OD，由于/ABOD，异面直线CD与AB所成角为30，CO 平面ABOD，故30CDO，则tan302 3COOD，设三棱锥OBCD外接球半径为R，结合,OCOD OCOB ODOB，可将以OC、OB、OD为相邻三条棱补成一个长方体，可得：222222844ROBOCODR，该球的表面积为：2484SR.故选：D.【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，以及球的表面公式，转化为长方体的外接球是解题的关键.7.已知sin 23

16、sin，且2k，2k，其中Zk，则tantan（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】将角度拆则分2，利用两角和差的正弦公式展开整理后，结合商数关系即可得.【详解】解：sin 23sin sin3sin sincoscossin3sincos3cossin 整理得：2cossincossin，由于2k，2k，所以sin0，cos0则cossin2cossin，即tan2tan.故选：B.8.设函数 219ln2f xxx在区间1,1aa上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.1,2B.4,C.,2D.0,3【答案】A【解析】【分析】利用 f x的导函数 fx，结合 f x在区间1

17、,1aa上的单调性列不等式组求得a的取值范围.【详解】由 219ln,(0)2f xxx x，则 299,(0)xfxxxxx，当(0,3)x时，0fx，则 f x单调递减；当(3,)x时，()0fx，则 f x单调递增，又函数 f x在区间1,1aa上单调递减，所以101311aaaa ，解得12a，故选：A.二二、选择题选择题；本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分9.已知,Ra

18、 b，则下列不等式成立的是（）A.2ababB.2222ababC.22abababD.222abab【答案】BD【解析】【分析】利用作差法与基本不等式，分别判断各不等式.【详解】A 选项：由选项可知a与b同号，当0a 且0b 时，由基本不等式可知2abab恒成立，当a0且0b 时，02ab，0ab 时，该不等式不成立，故 A 选项错误；B 选项：当0ab时，02ab，则2222222222202244abababababab恒成立，即2222abab恒成立，当0ab时，原不等式恒成立，故 B 选项正确；C 选项：当0ab时，222022ababab，即222abab，22ababab恒成立，

19、当0ab时，222022ababab，即222abab，22ababab，故 C 选项错误；D 选项：由重要不等式可知，,Ra b，222abab恒成立，故 D 选项正确；故选：BD.10.在锐角三角形ABC中，A、B、C是其三内角，则下列一定成立的有（）A.sinsinsinABABB.sincosABC.sincosBAD.sinsin2cosABC【答案】BC【解析】【分析】由正弦定理可判断 A；由90AB结合正弦函数的单调性、诱导公式可判断 BC；由 BC 结论可判断 D.【详解】对于 A，在三角形中，两边之和大于第三边，则abc，由正弦定理得sinsinsinsinABCAB，故 A

20、 错误.因为ABC是锐角三角形，所以90sinsin 90cosABABB所以 B 对，同理 C 对；对于 D，由于sincosAC，sincossinsin2cosBCABC，所以 D 错.故选：BC.【点睛】本题考查三角形中角对应的正弦余弦大小关系，属于基础题.11.在ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，能确定C为锐角的有（）A.0AC CB B.222abcC.A、B均为锐角，且sincosABD.tantantan0ABC【答案】BCD【解析】【分析】判断出cosC的符号，可判断 AB 选项；判断AB与2的大小关系，可判断 C 选项；判断tanC的符号，可判断 D 选项.【详

21、解】对于 A 选项，cos0ACA CBCA CCBCCB ，可得cos0C，则C为钝角，A 选项不满足条件；对于 B 选项，由余弦定理可得222cos02abcCab，则C为锐角，B 选项满足条件；对于 C 选项，因为B为锐角，则2B也为锐角，因为sincossin2ABB，且函数sinyx在0,2上单调递增，A、2B均为锐角，所以，2AB，则2AB，所以，02CAB，C 选项满足条件；对于 D 选项，若ABC为直角三角形，则tan A、tanB、tanC中有一个无意义，不合乎题意.ABC，则ABC，tantantanABCC，由两角和的正切公式可得tantantan1tantanABABA

22、B，则tantantan1 tantanABABAB，所以，tantantatan1 tantant nnaABBACACBtantan1 tantantantantan0CCABABC，由于ABC中至少有两个锐角，则tan A、tanB、tanC中至少有两个正数，进而可知tan A、tanB、tanC均为正数，从而C为锐角，D 选项满足条件.故选：BCD.【点睛】方法点睛：判断ABC的内角C为锐角，可从以下方面来进行分析；（1）三角函数值符号：cos0C 或tan0C；（2）平面向量数量积：0CA CB .12.设nS是等差数列 na的前 n 项和，且12a，38a 则（）A.512a B.

23、公差3d C.261nSnnD.数列11nna a的前 n 项和为64nn【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件求出等差数列 na的通项公式和前n项和公式，即可判断选项A、B、C，再利用裂项求和即可判断选项 D.【详解】因为数列 na是等差数列，则312228aadd，解得：3d，故选项 B 正确；所以21331nann，对于选项 A：53 5 114a ，故选项 A 不正确；对于选项 C：2222132612nnSnnn，所以故选项 C 正确；对于选项 D：11111131 323 3132nna annnn，所以前 n 项和为1 111111113 25588113132nn61 11

24、3 2322 324nnnnn，故选项 D 正确，故选：BCD.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列na的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数

25、列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如 1nnaf n 类型，可采用两项合并求解.三、填空题；本题共三、填空题；本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.如图，直三棱柱111ABCABC-，60ABC，2AC，侧棱长为3，点P是侧面1ACCA内一点 当ABBC最大时，过B、1B、P三点的截面面积的最小值为_【答案】3【解析】【分析】设,ABc BCa由余弦定理结合均值不等式可得当且仅当2ac时，ABBC取得最大值，得到此时三棱柱111ABCABC-是正三棱柱，过点P作11/DDAA,连接11,B D BD，可得过B、1B、P三点的截面即为平面11BB

26、 D D，由1113BB D DSBBBDBD，求出BD最小值，即可得到答案.【详解】在ABC中，设,ABc BCa，2AC,60ABC，由余弦定理可得：2242cos60acac，即224acac，即234acac，由0,0ac,则22acac（当且仅当ac时等号成立），所以2222314344acacacacac，所以216ac即4ac（当且仅当2ac时等号成立），即当2ABBC时，ABBC取得最大值 4.此时三棱柱111ABCABC-是正三棱柱，过点P作11/DDAA,则11/DDBB,连接11,B D BD，过B、1B、P三点的截面即为平面11BB D D.，由三棱柱111ABCABC

27、-为直三棱柱，则1BB 平面ABC，所以1AABD,由11/DDAA，则1DDBD，所以四边形11BB D D为矩形，则1113BB D DSBBBDBD，当BD最小时，11BB D DS最小.当BD平面11ACC A时，即BDAC，BD最小.此时3BD，所以11BB D DS最小值为333，故答案为：3.14.若函数 y12sin x 在区间,8 12上单调递减，则的取值范围是_.【答案】4,0)【解析】【分析】根据题意可得0，函数1sin()2yx在区间8，12上单调递增，可得()82122，由此求得的范围【详解】解：函数1sin2yx在区间8，12上单调递减，当0时，这不可能0，函数11

28、sinsin()22yxx 在区间8，12上单调递减，故函数1sin()2yx在区间8，12上单调递增，()82122，求得04，故答案为：4，0)15.若直线1yx和曲线ln2yax相切，则实数a的值为_.【答案】1【解析】【分析】首先求导的ayx，再假设切点为00,xy，根据斜率1k，得01ax，再将00,xy分别代入直线与曲线中，联立方程组，解方程即可求出参数a【详解】已知ln2yax，得ayx，设切点为00,xy，已知直线斜率1k，得01ax，再将00,xy分别代入直线与曲线中可得000001,1,2,axyxyalnx解得00112axy.故答案为：116.已知函数21,0,()lo

29、g,0,xxf xx x在函数()1yff x的零点个数_.【答案】4【解析】【分析】直接解方程()10yf f x 即可得，注意首先把()f x作为整体求解，即相当于解方程()10f t ，设其解为0t（可能多于一个），然后再解方程0()f xt【详解】当()10yf t 时，1 10t ，2t ，2log10t ，12t，当()2f x 时，由12x ，得3x ；由2log2x ，得14x，同理当1()2f x 时，12x 或2x，所以共有四个解，因此零点个数为 4 个，故答案为：4.【点睛】本题考查求函数零点个数，解题方法是解方程法直接解方程0y 即可得注意分段函数需要分段求解四、解答题

30、；本题共四、解答题；本题共 6 个小题，共个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在ABC 中，根据下列条件，解三角形（1）A60，c2，a6；（2）a3，b2，B45.【答案】（1）30,90,2 2CBb（2）6260,75,2ACc或62120,15,2ACc【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理，即可求解三角形.【详解】（1）由正弦定理可得sinsinacAC,所以32sin12sin26cACa，ca，CA30C,90B 22262 2bac（2）a3，b2，B45sinsinabAB，23sin32sin22aBAb，

31、0180A60A,75C 或120,15AC,由余弦定理得2222cosbacacB,即2223232cc ，整理得：2610cc，解得622c或622c所以6260,75,2ACc或62120,15,2ACc【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，分类讨论的思想，属于中档题.18.已知函数 22sin cos2 3cosf xxxx（1）求函数 yf x的最小正周期；（2）将函数 yf x的图象右移6个单位得到 yg x的图象，求函数 yg x的单调递增区间【答案】（1）；（2）7,1212kkkZ【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数 yf x的解析式为 2sin 233f

32、xx，利用正弦型函数的周期公式可求得函数 yf x的最小正周期；（2）利用三角函数图象变换规律得出 22sin 233g xx，然后解不等式2222232kxkkZ，可得函数 yg x的单调递增区间【详解】（1）22sin cos2 3cossin23 cos21f xxxxxxsin23cos232sin 233xxx，所以，函数 yf x的最小正周期为22T；（2）将函数 yf x的图象右移6个单位，得到函数 22sin 232sin 23633g xxx的图象，由2222232kxkkZ，解得：71212kxkkZ函数 yg x的单调递增区间为7,1212kkkZ【点睛】本题考查正弦型三

33、角函数的最小正周期、单调区间的求解，同时也考查了利用三角恒等变换思想化简三角函数解析式以及利用图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.19.如图，要在一块矩形空地ABCD上开辟一个内接四边形EFGH为绿地，且点EFGH都落在矩形的四条边(含顶点)上.已知(2)ABa a，2BC，且AEAHCFCG.设AEx，绿地EFGH的面积为y.（1）写出y关于 x 的函数关系式()yf x，并写出这个函数的定义域；（2）记()yf x的最大值为()g a，求()g a的表达式.【答案】（1）2()2(2)f xxax，其定义域为|02xx；（2）2(2),26()824,6aag aaa.【解析】

34、【分析】（1）由题意可知212AEHCFGSSx，1()(2)2BEFDGHSSaxx，而绿地EFGH的面积等于矩形空地ABCD的面积减去,AEHCFGBEFDGH的面积，从而可得()yf x的函数关系式；（2）由于2()2(2)f xxax 的对称轴为24ax，所以分224a和224a两种情况讨论求函数的最值【详解】（1）212AEHCFGSSx，1()(2)2BEFDGHSSaxx.22222()(2)2(2)ABCDAEHBEFySSSaxaxxxax.2()2(2)f xxax，其定义域为|02xx.（2）当224a即6a 时，则24ax时，y取最大值2(2)8a.当224a即6a 时

35、，()f x在(0,2上是增函数，则2x 时，y取最大值24a.综上所述，2(2),26()824,6aag aaa20.在多面体111ABCC AB中，四边形11ABB A为菱形，160B BAo，平面11ABB A 平面ABC，1112BCBC，ACBC，1ABBC.（1）若O是线段AB的中点，证明：平面ABC平面1BOC；（2）求二面角1CACB的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）105.【解析】【分析】（1）连接1AB、1OB、OC，可知1ABB为等边三角形，利用三线合一的性质可得1BOAB，利用面面垂直的性质定理可得出1BO 平面ABC，再利用面面垂直的判定定理可得出平面ABC

36、平面1BOC；（2）证明出ABOC，然后设2AB，以点O为坐标原点，OB、OC、1OB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，利用空间向量法可求得二面角1CACB的余弦值，结合同角三角函数的基本关系可求得二面角1CACB的正弦值.【详解】（1）连接1AB、1OB、OC，如图所示：四边形11ABB A为菱形，1ABBB，160B BA，则1ABB为等边三角形，O为AB的中点，1BOAB，平面11ABB A 平面ABC，平面11ABB A 平面ABCAB，1BO 平面11ABB A，1BO平面ABC，1BO 平面1BOC，因此，平面ABC平面1BOC；（2）由（1）可知，1BOAB，

37、1ABBC，111BOBCB，AB平面1BOC，OC Q平面1BOC，OCAB，O为AB的中点，则ACBC，ACBCQ，则ABC是等腰直角三角形，以点O为坐标原点，OB、OC、1OB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设2AB，则1,0,0A、1,0,0B、0,1,0C、10,0,3B，1,1,0BC uuu r，则1122,2,0BCBC ，11,0,3AB，11111,2,3ACABBC ，1,1,0AC，设平面1ACC的法向量为,mx y z，由100m ACm AC，得0230 xyxyz，令1x，可得1y ，3z，所以，平面1ACC的一个法向量为1,1,3m，易知平

38、面ABC的一个法向量为0,0,1n，设二面角1CACB的平面角为，则为钝角，315cos,55 1m nm nmn ，所以，15cos5，210sin1 cos5.因此，二面角1CACB的正弦值为105.【点睛】本题考查面面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21.已知各项均为正数的两个数列,nnab满足22112,nnnaaa 2212loglog1,nnnabb且111.ab（1）求证：数列na为等差数列；（2）求数列 nb的通项公式；（3）设数列,nnab的前 n 项和分别为,nnS T求使得等式：236mmiSaT成立的有序数对

39、*(,)(,).m i m iN【答案】（1）证明见解析（2）12nnb（3）(9,6)【解析】【分析】（1）根据递推关系可得2211nnaa，从而得到数列 na是等差数列；（2）分别求出数列 nb的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列 nb的通项公式；（3）求出nS，nT，代入236mmlSaT中，则存在*,s tN，使得27sm，25tm，从而2212st，再证明5s不成立，从而得到4s，9m，6l【详解】（1）由22112,nnnaaa 即2221211nnnnaaaa 因为数列 na各项均为正数，所以11nnaa，即11nnaa，故数列 na是公差为 1 的等差数列（2）由（1）及1

40、1a 知nan由2212loglog1nnnabb，得2112nn nb b所以21122nnnbb，上面两式相除得24nnbb，所以数列 nb的奇数项和偶数项都是公比为 4 的等比数列由11b 及2112nn nb b知22b，所以1(21)1211 42kkkb ，121*22 42kkkbkN，所以12nnb综上，数列 nb的通项公式为12nnb（3）由（1）和（2）知(1)2nnnS，1 2211 2nnnT由236mmiSaT，得(1)236212immm，即(7)(5)2imm则必存在*,s tN，使得27sm，25tm，从而2212st若5s，则2212 20ts，故5t又因为s

41、t，所以12222232stttt这与2212st矛盾，所以4s由于2212st，则只能4s，2t 此时9m，6i 满足题意数对为(9,6).【点睛】关键点点睛：通过递推关系的变形化简证明数列为等差等比数列，要注意变形的方向性，24nnbb这种类型的递推关系，注意要分奇偶项分析，探索性问题要注意利用问题的特殊化，特殊性，提供方向.22.已知函数 32f xaxbx在2x 处取得极值-14.（1）求 a，b 的值；（2）求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（3）求函数 f x在3,3上的最值.【答案】（1）1,12ab（2）940 xy（3）函数()f x在 3,3上的最小值为(2)14

42、f ，最大值为(2)18f.【解析】【分析】(1)求导，利用在2x 处的导数值为 0，并且(2)14f ，解之检验即可求解；(2)结合（1）的结果，求出函数在1x 处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；(3)结合（1）的结果，列出在 3,3x 时，随x的变化，(),()fxf x的变化情况，进而即可求解.【小问 1 详解】因为函数 32f xaxbx，所以2()3fxaxb，又函数()f x在2x 处取得极值14.则有(2)14(2)0ff，即82214120abab，解得：112ab，经检验，1,12ab 时，符合题意，故1,12ab.【小问 2 详解】由（1）知：函数3()122f

43、 xxx，则2()312fxx，所以(1)9f，又因为(1)1 12213f ，所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为139(1)yx，也即940 xy.【小问 3 详解】由（1）知：函数3()122f xxx，则2()312fxx，令()0fx，解得：122,2xx，在 3,3x 时，随x的变化，(),()fxf x的变化情况如下表所示：x3(3,2)2(2,2)2(2,3)3()fx00()f x7单调递减14单调递增18单调递减11由表可知：当2x 时，函数()f x有极小值(2)14f ；当2x 时，函数()f x有极大值(2)18f；因为(2)14(3)11ff，(2)18(3)7ff，故函数()f x在 3,3上的最小值为(2)14f ，最大值为(2)18f.