2023年向量证明重心.docx

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1、2023年向量证明重心 第一篇：向量证明重心 向量证明重心三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD(1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF/BE则EF=EC/2=AC/4=3c。平行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。2 设BC中点为MPA

2、+PB+PC=0PA+2PM=0PA=2MPP为三角形ABC的重心。上来步步可逆、P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0 3 如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1 设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1 证明：用归一法 不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b 因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

3、在三角形ABO中，AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因为向量a和b线性无关，所以-y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以A0：AD=BO：BE=2：3 故AO：OD=BO：OE=2:1 设AD与CF交于O,同理有AO：OD=CO:OF=2:1 所以有AO:OD=AO:OD=2:1,留意到O和O都在AD上，因此O=O 因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1 证毕!4 设三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)证明：三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的

4、坐标(X,Y)满意：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3 设:AB的中点为D.Dx=(x1+x2)/2，又M为三角形的重心,CD=3MD,x3-(x1+x2)/2=3=x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3 5 如图。 其次篇：向量证明重心 向量证明重心 三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD (1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF/BE则EF=EC/2=AC/4=3c。平行

5、线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。 2设BC中点为MpA+pB+pC=0pA+2pM=0pA=2Mpp为三角形ABC的重心。上来步步可逆、p是三角形ABC重心的充要条件是pA+pB+pC=0 3如何用向量证明三角形的重心将中线分为2： 1设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2： 1证明：用归一法 不妨设AD与BE交于点O，向量BA=

6、a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b 因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b) 同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形ABO中，AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因为向量a和b线性无关，所以 -y=x/2-1 y/2=x/ 2解得x=y=2/ 3所以A0：AD=BO：BE=2：3 故AO：OD=BO：OE=2:1 设AD与CF交于O,同理有AO：OD=CO:OF=2:1 所以有AO:OD=AO:OD

7、=2:1,留意到O和O都在AD上，因此O=O 因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1 证毕! 4设三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)证明：三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的坐标(X,Y)满意：X=X1+X2+X3/3Y=Y1+Y2+Y3/3 设:AB的中点为D.Dx=(x1+x2)/2，又M为三角形的重心,CD=3MD,x3-(x1+x2)/2=3=x=(x1+x2+x3)/3同理:y=(y1+y2+y3)/3 5如图。设AB=a(向量)，AC=b,AD=(a+b)/2,AO=tAB=ta/2+tb/2.BE=b/2-a.A

8、O=a+sBE=(1-s)a+sb/2.t/2=1-s,t/2=s/2.消去s.t=2/3.AO=(2/3)AB.OD=(1/3)AB,AO=2OD.如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1 设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1 证明：用归一法 不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b 因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b) 同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(

9、y/2)b 在三角形ABO中，AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因为向量a和b线性无关，所以 -y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以A0：AD=BO：BE=2：3 故AO：OD=BO：OE=2:1 设AD与CF交于O,同理有AO：OD=CO:OF=2:1 所以有AO:OD=AO:OD=2:1,留意到O和O都在AD上，因此O=O 因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1 证毕! 第三篇：向量与三角形的重心 向量与三角形的重心 uuuruuuruuur例1 已知A，B，C是不共线的三点，G是ABC内一点

10、，若GA+GB+GC=0求 证：G是ABC的重心 uuuruuuruuuruuuruuuruuur证明：如图1所示，因为GA+GB+GC=0，所以GA=-(GB+GC) uuuruuuruuuruuuruuur以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，则有GD=GB+GC，uuuruuur所以GD=-GA uuuruuur又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E，所以BE=EC，uuuruuuruuuruuurGE=ED所以AE是ABC的边BC的中线，且GA=2GE 故G是ABC的重心 点评：解此题要联系重心的性质和向量加法的意义；把平面几何学问和向量学问结合起来解决问题是解此类问题的常用

11、方法 变式引申：已知D，E，F分别为ABC的边BC，AC，AB的中点求证： uuuruuuruuurAD+BE+CF=0 证明：如图2的所示，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAD=AC+CDuuuruuuruuur2AD=AC+AB+CD+BD，即2AD=AC+AB AD=AB+BD uuuruuuruuuruuuruuuruuur同理2BE=BA+BC，2CF=CA+CB uuuruuuruuur2A(D+BE+C)F=A+C uuuruuuruuur0+C=FAD+BE uuuruuuruuuruuur+AB+BA+B0C+ CA=C

12、Buuuruuur 点评：该例考查了三角形法则和向量的加法 例2 如图3所示，ABC的重心为G，O为坐标原点，uuuruuuruuuruuurOA=a，OB=b，OC=c，试用a，b，c表示OG 解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点，uuuruuuruuurb-aAB=AC=BC=c-b则，c-a，uuuur1uuuruu1ur1AM=ABb=C-a+(c-b)=(c+b-2a) 22 2uuuruu21uurAGA(c+b-2a)3 3uuuruuuruuur11故OG=OA+AG=a+(c+b-2a)=(a+b+c) 33 点评：重心问题是三角形的一个重要学问点，充分利用重心性质及向量

13、加、减运算的几何意义是解决此类题的关键 变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，uuur1uuuruuuruuuruuurP为该平面上随便一点，则PO=(PA+PB+PC+PD) 4 uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurQPO=PA+AO，PO=PB+BO，PO=PC+CO，证法1： uuuruuuruuurPO=PD+DO，uuuruuuruuuruuur+P+BP+C PD4PO=PA，uuur uuur1uuuruuuruuuruuur即PO=(PA+PB+PC+PD) 4 uuur1uuuruuuruuur1uuuruuur证法2：QPO=(

14、PA+PC)，PO=(PB+PD)，22 uuur1uuuruuuruuuruuurPO=(PA+PB+PC+PD) 4 点评：1证法1运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则 uuuruuuruuuruuur2若P与O重合，则上式变为OA+OB+OC+OD=0 第四篇：向量空间证明 向量空间证明解题的基本方法： 1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题 证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量

15、求数积，只要分别为零，即可说明结论。 证明直线与平面平行的关键是在平面中找寻一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出阅历和方法 2 解： 因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为随便实数 则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c)

16、=ia+ib+ic =acos(180-(C-90)+b0+ccos(90-A)=-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。 第五篇：向量空间证明 向量空间证明 解题的基本方法： 1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题 证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。 证明直线与平面平行的关键是在平面中找寻一个与直线向量

17、平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出阅历和方法 解： 因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z (x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为随便实数 则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =ia+ib+ic =acos(180-(C-90)+b0+ccos(90-A) =-a

18、sinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2.在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 随便三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式.盼望对你有所关心! 设向量AB=a,向量AC=b，

19、向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形 则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c 平方(1) 向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d 平方(2) (1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方 c平方=1/2(a+b)-d平方 AM2=1/2(AB2+AC2)-BM2 已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD/BC，用向量法证明梯形的中位线定理 过A做AGDC交EF于p点 由三角形中位线定理有： 向量Ep=向量BG 又ADpFGC且AGDC向量pF=向量AD=向量GC(平行四边形

20、性质) 向量pF=(向量AD+向量GC) 向量Ep+向量pF=(向量BG+向量AD+向量GC) 向量EF=(向量AD+向量BC) EFADBC且EF=(AD+BC) 得证 先假设两条中线AD,BE交与p点 连接Cp,取AB中点F连接pF pA+pC=2pE=Bp pB+pC=2pD=Ap pA+pB=2pF 三式相加 2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF 3pA+3pB+2pC=2pF 6pF+2pC=2pF pC=-2pF 所以pC,pF共线，pF就是中线 所以ABC的三条中线交于一点p 连接OD,OE,OF OA+OB=2OF OC+OB=2OD OC+OC=2OE 三式相加 OA+OB+OC=OD+OE+OF OD=Op+pD OE=Op+pE OF=Op+pF OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp 由第一问结论 2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp 2pA+2pB+2pC=0 1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp 所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op 向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)